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知识点三 三角形的稳定性
只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小是固定不变的，即三角形具有
只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小是固定不变的，即三角形具有
稳定性
。答案
三角形具有稳定性。
解析
【分析】
解题时首先明确题目考查的是三角形的特有性质，题干已经给出了该性质的特征：三边长度确定后，三角形的形状和大小固定不变，我们只需要回忆对应这个特征的性质名称，就能直接得出答案。
【解析】
根据三角形的相关性质，若三角形的三边长度确定，它的形状和大小就不会发生改变，这种固定不变的特性就是三角形的稳定性，因此横线处应填入稳定性。
【答案】
稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，只要熟记三角形稳定性的定义即可正确作答，属于基础送分题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目考查的是三角形的特有性质，题干已经给出了该性质的特征：三边长度确定后，三角形的形状和大小固定不变，我们只需要回忆对应这个特征的性质名称，就能直接得出答案。
【解析】
根据三角形的相关性质，若三角形的三边长度确定，它的形状和大小就不会发生改变，这种固定不变的特性就是三角形的稳定性，因此横线处应填入稳定性。
【答案】
稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，只要熟记三角形稳定性的定义即可正确作答，属于基础送分题。
【难度系数】
0.9
例1 如图，已知$AB=AD$，$BE=DE$，$BC=DC$，则图中的全等三角形有（
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
[点拨] 本题考查全等三角形的判定，属于基础题，注意掌握三角形全等的判定定理。
[解] 根据$AB=AD$，$BE=DE$，$BC=DC$，再分别结合另一边相等，用“SSS”可以证明三角形全等。图中全等的三角形有：$△ ABC ≌ △ ADC$，$△ ABE ≌ △ ADE$，$△ CDE ≌ △ CBE$，共3对。
C
）A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
[点拨] 本题考查全等三角形的判定，属于基础题，注意掌握三角形全等的判定定理。
[解] 根据$AB=AD$，$BE=DE$，$BC=DC$，再分别结合另一边相等，用“SSS”可以证明三角形全等。图中全等的三角形有：$△ ABC ≌ △ ADC$，$△ ABE ≌ △ ADE$，$△ CDE ≌ △ CBE$，共3对。
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆全等三角形的SSS判定定理：三边对应相等的两个三角形全等。结合题目给出的边相等的已知条件，再找出图中的公共边，按顺序逐一排查全等三角形：首先看最大的△ABC和△ADC，已知AB=AD、BC=DC，加公共边AC即可判定全等；再看含BE、DE的△ABE和△ADE，已知AB=AD、BE=DE，加公共边AE即可判定全等；最后看△CBE和△CDE，已知BC=DC、BE=DE，加公共边CE即可判定全等，最后统计总对数即可。
【解析】
我们根据SSS判定定理（三边对应相等的两个三角形全等）逐一证明：
1. 对于$△ ABC$和$△ ADC$：
已知$AB=AD$，$BC=DC$，且二者有公共边$AC=AC$，三边对应相等，故$△ ABC ≌ △ ADC$（SSS）。
2. 对于$△ ABE$和$△ ADE$：
已知$AB=AD$，$BE=DE$，且二者有公共边$AE=AE$，三边对应相等，故$△ ABE ≌ △ ADE$（SSS）。
3. 对于$△ CBE$和$△ CDE$：
已知$BC=DC$，$BE=DE$，且二者有公共边$CE=CE$，三边对应相等，故$△ CBE ≌ △ CDE$（SSS）。
综上，图中共有3对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形SSS判定，公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是结合已知条件找准图中的公共边，按顺序排查全等三角形，避免漏数或重复计数。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆全等三角形的SSS判定定理：三边对应相等的两个三角形全等。结合题目给出的边相等的已知条件，再找出图中的公共边，按顺序逐一排查全等三角形：首先看最大的△ABC和△ADC，已知AB=AD、BC=DC，加公共边AC即可判定全等；再看含BE、DE的△ABE和△ADE，已知AB=AD、BE=DE，加公共边AE即可判定全等；最后看△CBE和△CDE，已知BC=DC、BE=DE，加公共边CE即可判定全等，最后统计总对数即可。
【解析】
我们根据SSS判定定理（三边对应相等的两个三角形全等）逐一证明：
1. 对于$△ ABC$和$△ ADC$：
已知$AB=AD$，$BC=DC$，且二者有公共边$AC=AC$，三边对应相等，故$△ ABC ≌ △ ADC$（SSS）。
2. 对于$△ ABE$和$△ ADE$：
已知$AB=AD$，$BE=DE$，且二者有公共边$AE=AE$，三边对应相等，故$△ ABE ≌ △ ADE$（SSS）。
3. 对于$△ CBE$和$△ CDE$：
已知$BC=DC$，$BE=DE$，且二者有公共边$CE=CE$，三边对应相等，故$△ CBE ≌ △ CDE$（SSS）。
综上，图中共有3对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形SSS判定，公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是结合已知条件找准图中的公共边，按顺序排查全等三角形，避免漏数或重复计数。
【难度系数】
0.8
变式训练1 | 如图，在$5×5$的正方形网格中，$△ ABC$的顶点都在小正方形的顶点上，像$△ ABC$这样的三角形叫作格点三角形。画出与$△ ABC$有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画
6
个。答案
解:如图，以BC为公共边可画出△BDC,△BEC,△BFC和原三角形全等；
以AB为公共边可画出△ABG,△ABM,△ABH和原三角形全等。
所以可画出6个。
解析
【分析】
解题时采用分类讨论的思路，分别以△ABC的三条边作为公共边，结合全等三角形的SSS判定条件（三边对应相等的两个三角形全等），在网格中寻找符合条件的格点：
1. 先明确网格中线段长度的判断规律：若两条线段横向、纵向偏移的格数分别相等，则两条线段长度相等；
2. 依次讨论以BC、AB、AC为公共边的情况，统计每种情况符合条件的三角形个数，最后相加得到总个数即可。
【解析】
我们分三种情况讨论，结合全等三角形SSS判定规则与网格线段特征寻找符合要求的格点三角形：
1. 以BC为公共边：BC是水平方向长度为3个单位的线段，寻找异于A的格点，使得该点到B、C的连线分别与AB、AC长度相等，共找到3个符合条件的格点，对应画出△BDC、△BEC、△BFC，三者均与△ABC全等；
2. 以AB为公共边：同理，寻找异于C的格点，使得该点到A、B的连线分别与AC、BC长度相等，共找到3个符合条件的格点，对应画出△ABG、△ABM、△ABH，三者均与△ABC全等；
3. 以AC为公共边：网格中不存在异于B的格点，能满足另外两边分别与AB、BC长度相等的要求，因此没有符合条件的三角形。
综上，符合条件的格点三角形总个数为3+3=6个。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形判定；格点图形；分类讨论
【点评】
本题是格点与全等三角形结合的典型题，解题的关键是按公共边分类逐一排查，避免漏解，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，同时熟悉网格中线段长度的判断规律。
【难度系数】
0.6
解题时采用分类讨论的思路，分别以△ABC的三条边作为公共边，结合全等三角形的SSS判定条件（三边对应相等的两个三角形全等），在网格中寻找符合条件的格点：
1. 先明确网格中线段长度的判断规律：若两条线段横向、纵向偏移的格数分别相等，则两条线段长度相等；
2. 依次讨论以BC、AB、AC为公共边的情况，统计每种情况符合条件的三角形个数，最后相加得到总个数即可。
【解析】
我们分三种情况讨论，结合全等三角形SSS判定规则与网格线段特征寻找符合要求的格点三角形：
1. 以BC为公共边：BC是水平方向长度为3个单位的线段，寻找异于A的格点，使得该点到B、C的连线分别与AB、AC长度相等，共找到3个符合条件的格点，对应画出△BDC、△BEC、△BFC，三者均与△ABC全等；
2. 以AB为公共边：同理，寻找异于C的格点，使得该点到A、B的连线分别与AC、BC长度相等，共找到3个符合条件的格点，对应画出△ABG、△ABM、△ABH，三者均与△ABC全等；
3. 以AC为公共边：网格中不存在异于B的格点，能满足另外两边分别与AB、BC长度相等的要求，因此没有符合条件的三角形。
综上，符合条件的格点三角形总个数为3+3=6个。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形判定；格点图形；分类讨论
【点评】
本题是格点与全等三角形结合的典型题，解题的关键是按公共边分类逐一排查，避免漏解，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，同时熟悉网格中线段长度的判断规律。
【难度系数】
0.6
例2 雨伞的截面如图所示，伞骨$AB=AC$，支撑杆$OE=OF$，$AE=\frac{1}{3}AB$，$AF=\frac{1}{3}AC$。当$O$沿$AD$滑动时，雨伞开闭。在雨伞开闭过程中，$∠ BAD$与$∠ CAD$有什么关系？请说明理由。
[点拨] 解答本题的关键是明确题意，找出解决所求问题需要的条件，然后灵活运用三角形全等的知识解决实际问题。
[解] $∠ BAD=∠ CAD$。理由如下：
因为$AB=AC$，$AE=\frac{1}{3}AB$，$AF=\frac{1}{3}AC$，
所以$AE=AF$。
在$△ AOE$和$△ AOF$中，$\begin{cases} AO=AO, \\ AE=AF, \\ OE=OF, \end{cases}$
所以$△ AOE ≌ △ AOF(\mathrm{SSS})$。
所以$∠ EAO=∠ FAO$，
即$∠ BAD=∠ CAD$。
[点拨] 解答本题的关键是明确题意，找出解决所求问题需要的条件，然后灵活运用三角形全等的知识解决实际问题。
[解] $∠ BAD=∠ CAD$。理由如下：
因为$AB=AC$，$AE=\frac{1}{3}AB$，$AF=\frac{1}{3}AC$，
所以$AE=AF$。
在$△ AOE$和$△ AOF$中，$\begin{cases} AO=AO, \\ AE=AF, \\ OE=OF, \end{cases}$
所以$△ AOE ≌ △ AOF(\mathrm{SSS})$。
所以$∠ EAO=∠ FAO$，
即$∠ BAD=∠ CAD$。
答案
解：$∠ BAD=∠ CAD$，理由如下：
$\because AB=AC$，$AE=\dfrac{1}{3}AB$，$AF=\dfrac{1}{3}AC$，
$\therefore AE=AF$。
在$△ AOE$和$△ AOF$中，
$\begin{cases}AO=AO, \\AE=AF, \\OE=OF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ AOF(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ EAO=∠ FAO$，
即$∠ BAD=∠ CAD$。
$\because AB=AC$，$AE=\dfrac{1}{3}AB$，$AF=\dfrac{1}{3}AC$，
$\therefore AE=AF$。
在$△ AOE$和$△ AOF$中，
$\begin{cases}AO=AO, \\AE=AF, \\OE=OF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ AOF(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ EAO=∠ FAO$，
即$∠ BAD=∠ CAD$。
解析
【分析】
要判断∠BAD与∠CAD的关系，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先根据已知AB=AC，且AE、AF分别为AB、AC的三分之一，可先推出AE=AF；再观察△AOE和△AOF，有已知条件OE=OF，还有公共边AO=AO，满足三边对应相等的全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应角相等即可得出两角的关系。
【解析】
$∠ BAD=∠ CAD$，理由如下：
$\because AB=AC$，$AE=\dfrac{1}{3}AB$，$AF=\dfrac{1}{3}AC$，
$\therefore AE=AF$。
在$△ AOE$和$△ AOF$中，
$\begin{cases}AO=AO, \\AE=AF, \\OE=OF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ AOF(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ EAO=∠ FAO$，
即$∠ BAD=∠ CAD$。
【答案】
$∠ BAD=∠ CAD$
【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形全等的应用，解题时需先从已知边的关系推导出证明全等所需的等长边，再利用全等三角形对应角相等的性质得到结论，是对基础全等知识的常规考查。
【难度系数】
0.8
要判断∠BAD与∠CAD的关系，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先根据已知AB=AC，且AE、AF分别为AB、AC的三分之一，可先推出AE=AF；再观察△AOE和△AOF，有已知条件OE=OF，还有公共边AO=AO，满足三边对应相等的全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应角相等即可得出两角的关系。
【解析】
$∠ BAD=∠ CAD$，理由如下：
$\because AB=AC$，$AE=\dfrac{1}{3}AB$，$AF=\dfrac{1}{3}AC$，
$\therefore AE=AF$。
在$△ AOE$和$△ AOF$中，
$\begin{cases}AO=AO, \\AE=AF, \\OE=OF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ AOF(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ EAO=∠ FAO$，
即$∠ BAD=∠ CAD$。
【答案】
$∠ BAD=∠ CAD$
【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形全等的应用，解题时需先从已知边的关系推导出证明全等所需的等长边，再利用全等三角形对应角相等的性质得到结论，是对基础全等知识的常规考查。
【难度系数】
0.8
