登录
1. 一台起重机的工作简图如图所示，吊杆$OA_1$与吊绳的夹角为$80°$. 在同一平面内，将$OA_1$逆时针旋转$45°$后到$OA_2$的位置(吊绳移动前后平行)，则吊杆$OA_2$与所连吊绳的夹角$α$为(
A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$45°$
C
).A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$45°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先提取题目核心条件：①OA₁逆时针旋转45°得到OA₂，可得旋转角∠A₁OA₂=45°；②移动前后两根吊绳互相平行。我们可以通过平行线的性质，结合角度的和差关系推导α的度数：先利用平行线的性质得到已知的80°角与45°、α之间的等量关系，再计算α的值即可。
【解析】
设吊杆OA₂与吊绳A₁B的交点为P。
∵ OA₁逆时针旋转45°到OA₂的位置，
∴ 旋转角∠A₁OA₂=45°。
又
∵ 两条吊绳互相平行，
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠OA₁B=∠A₂PO=80°。
∵ ∠A₂PO是△A₂OP的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠A₂PO=∠A₁OA₂ + α，
即80°=45°+α，
解得α=80°-45°=35°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合起重机工作的实际场景考查几何性质的应用，解题的关键是准确识别旋转角，再结合平行线和三角形外角的性质建立角度间的等量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先提取题目核心条件：①OA₁逆时针旋转45°得到OA₂，可得旋转角∠A₁OA₂=45°；②移动前后两根吊绳互相平行。我们可以通过平行线的性质，结合角度的和差关系推导α的度数：先利用平行线的性质得到已知的80°角与45°、α之间的等量关系，再计算α的值即可。
【解析】
设吊杆OA₂与吊绳A₁B的交点为P。
∵ OA₁逆时针旋转45°到OA₂的位置，
∴ 旋转角∠A₁OA₂=45°。
又
∵ 两条吊绳互相平行，
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠OA₁B=∠A₂PO=80°。
∵ ∠A₂PO是△A₂OP的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠A₂PO=∠A₁OA₂ + α，
即80°=45°+α，
解得α=80°-45°=35°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合起重机工作的实际场景考查几何性质的应用，解题的关键是准确识别旋转角，再结合平行线和三角形外角的性质建立角度间的等量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在矩形$ABCD$中，$BC=2AB=4\sqrt{3}$，点$P$为边$AD$上的一个动点，线段$BP$绕点$B$顺时针旋转$60°$得到线段$BP'$，连接$PP'$，$CP'$.当点$P'$落在边$BC$上时，$P'C=\_\_\_\_\_\_$.
答案
2. 4√3−4
解析
【分析】
解题时首先根据已知的边长关系求出矩形的AB、BC的长度；再结合旋转的性质，得到BP=BP'，旋转角∠PBP'=60°，当P'落在BC上时，可得∠PBC=60°；利用矩形对边平行的性质，得到Rt△ABP中∠APB=60°，通过解直角三角形求出BP的长度即BP'的长度，最后用BC的长度减去BP'的长度即可得到P'C的长。
【解析】
解：
∵$BC=2AB=4\sqrt{3}$，
∴$AB=2\sqrt{3}$，$BC=4\sqrt{3}$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，$∠ A=90°$。
∵线段BP绕点B顺时针旋转$60°$得到线段$BP'$，且点$P'$落在BC上，
∴$BP=BP'$，$∠ PBP'=60°$，即$∠ PBC=60°$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ APB=∠ PBC=60°$（两直线平行，内错角相等）。
在$Rt△ ABP$中，$∠ A=90°$，$∠ APB=60°$，$AB=2\sqrt{3}$，
由$\sin∠ APB=\frac{AB}{BP}$，得：
$BP=\frac{AB}{\sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，
∴$BP'=BP=4$，
∴$P'C=BC-BP'=4\sqrt{3}-4$。
【答案】
$4\sqrt{3}-4$
【知识点】
旋转的性质；矩形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是基础综合题，将旋转、矩形性质与直角三角形计算结合考察，解题的关键是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的性质，结合特殊角的三角函数值快速求解线段长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的边长关系求出矩形的AB、BC的长度；再结合旋转的性质，得到BP=BP'，旋转角∠PBP'=60°，当P'落在BC上时，可得∠PBC=60°；利用矩形对边平行的性质，得到Rt△ABP中∠APB=60°，通过解直角三角形求出BP的长度即BP'的长度，最后用BC的长度减去BP'的长度即可得到P'C的长。
【解析】
解：
∵$BC=2AB=4\sqrt{3}$，
∴$AB=2\sqrt{3}$，$BC=4\sqrt{3}$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，$∠ A=90°$。
∵线段BP绕点B顺时针旋转$60°$得到线段$BP'$，且点$P'$落在BC上，
∴$BP=BP'$，$∠ PBP'=60°$，即$∠ PBC=60°$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ APB=∠ PBC=60°$（两直线平行，内错角相等）。
在$Rt△ ABP$中，$∠ A=90°$，$∠ APB=60°$，$AB=2\sqrt{3}$，
由$\sin∠ APB=\frac{AB}{BP}$，得：
$BP=\frac{AB}{\sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，
∴$BP'=BP=4$，
∴$P'C=BC-BP'=4\sqrt{3}-4$。
【答案】
$4\sqrt{3}-4$
【知识点】
旋转的性质；矩形的性质；解直角三角形
【点评】
本题是基础综合题，将旋转、矩形性质与直角三角形计算结合考察，解题的关键是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的性质，结合特殊角的三角函数值快速求解线段长度。
【难度系数】
0.7
3. 如图，点P是等边三角形ABC内的一点，PA=6，PB=8，PC=10.
(1)将△PAC绕点A逆时针旋转60°，点P旋转后的对应点为P'，请画出旋转后的示意图；
(2)求∠APB的度数.
(1)将△PAC绕点A逆时针旋转60°，点P旋转后的对应点为P'，请画出旋转后的示意图；
(2)求∠APB的度数.
答案
3. (1)如图所示，△P'AB即为所求。
(2)连接PP'。由旋转可知，△PAC≌△P'AB，∠P'AP=∠BAC=60°，
∴PA=P'A=6，∠P'AB=∠PAC，PC=P'B=10。
∴△APP'为等边三角形。
∴PP'=AP=AP'=6。
∵PP'²+BP²=BP'²，
∴△BPP'为直角三角形，且∠BPP'=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°。
解析
【分析】
（1）作图思路：旋转中心为点A，旋转方向是逆时针，旋转角度为60°，由于△ABC是等边三角形，AC旋转60°后与AB重合，只需将AP绕点A逆时针旋转60°得到AP'，连接P'B即可得到旋转后的△P'AB。
（2）解题思路：要求∠APB的度数，先连接PP'，利用旋转的性质可得△PAC≌△P'AB，同时得到∠P'AP=60°、PA=P'A，可判定△APP'是等边三角形，得到PP'的长度和∠APP'的度数；再观察△BPP'的三边长，利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，得到∠BPP'的度数，二者相加即可求出∠APB的度数。
【解析】
（1）将AP、AC分别绕点A逆时针旋转60°，使AC与AB重合，得到对应线段AP'、AB，连接P'B，△P'AB即为旋转后的图形。
（2）连接PP'，由旋转的性质可得：△PAC≌△P'AB，∠P'AP=∠BAC=60°，
∴PA=P'A=6，P'B=PC=10，
∵P'A=PA，∠P'AP=60°，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'=PA=6，∠APP'=60°，
在△BPP'中，PP'=6，PB=8，P'B=10，
∵$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即$PP'^2 + PB^2 = P'B^2$，
∴△BPP'是直角三角形，且∠BPP'=90°，
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=60°+90°=150°。
【答案】
（1）如图所示，△P'AB即为所求。
（2）$\boxed{150°}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转性质应用的典型题型，核心是通过旋转将原本分散的三条线段PA、PB、PC转化到同一组三角形中，结合特殊三角形的性质求解角度，体现了几何中的转化思想，需熟练掌握该类题型的解题方法。
【难度系数】
0.6
（1）作图思路：旋转中心为点A，旋转方向是逆时针，旋转角度为60°，由于△ABC是等边三角形，AC旋转60°后与AB重合，只需将AP绕点A逆时针旋转60°得到AP'，连接P'B即可得到旋转后的△P'AB。
（2）解题思路：要求∠APB的度数，先连接PP'，利用旋转的性质可得△PAC≌△P'AB，同时得到∠P'AP=60°、PA=P'A，可判定△APP'是等边三角形，得到PP'的长度和∠APP'的度数；再观察△BPP'的三边长，利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，得到∠BPP'的度数，二者相加即可求出∠APB的度数。
【解析】
（1）将AP、AC分别绕点A逆时针旋转60°，使AC与AB重合，得到对应线段AP'、AB，连接P'B，△P'AB即为旋转后的图形。
（2）连接PP'，由旋转的性质可得：△PAC≌△P'AB，∠P'AP=∠BAC=60°，
∴PA=P'A=6，P'B=PC=10，
∵P'A=PA，∠P'AP=60°，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'=PA=6，∠APP'=60°，
在△BPP'中，PP'=6，PB=8，P'B=10，
∵$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即$PP'^2 + PB^2 = P'B^2$，
∴△BPP'是直角三角形，且∠BPP'=90°，
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=60°+90°=150°。
【答案】
（1）如图所示，△P'AB即为所求。
（2）$\boxed{150°}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转性质应用的典型题型，核心是通过旋转将原本分散的三条线段PA、PB、PC转化到同一组三角形中，结合特殊三角形的性质求解角度，体现了几何中的转化思想，需熟练掌握该类题型的解题方法。
【难度系数】
0.6
