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4. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点(网格线的交点)A，B，C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4)。
(1)以点D为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A₁B₁C₁，请画出△A₁B₁C₁；
(2)以点D为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂，请画出△A₂B₂C₂；
(3)直接写出以B₁，C₂，B₂，C₁为顶点的四边形的面积。
(1)以点D为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A₁B₁C₁，请画出△A₁B₁C₁；
(2)以点D为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂，请画出△A₂B₂C₂；
(3)直接写出以B₁，C₂，B₂，C₁为顶点的四边形的面积。
答案
4. (1)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求；(2)如图所示，△A₂B₂C₂即为所求；
(3)40。(提示：由网格线的性质，得B₁C₂⊥B₂C₂，B₁C₂⊥B₁C₁，C₁B₂⊥B₂C₂，
∴四边形B₁C₂B₂C₁是矩形。由勾股定理，得B₂C₂=√(4²+8²)=4√5，B₁C₂=√(2²+4²)=2√5。
∴以B₁，C₂，B₂，C₁为顶点的四边形的面积为B₂C₂·B₁C₂=40。)
解析
【分析】
对于(1)(2)问的旋转作图，首先明确旋转三要素：旋转中心为点D，旋转角均为90°，方向分别为逆时针、顺时针。作图时，先将△ABC的三个顶点A、B、C分别与点D连接，将所得线段按要求的方向旋转90°，保证旋转后线段长度不变，即可得到各顶点的对应点A₁、B₁、C₁和A₂、B₂、C₂，最后顺次连接对应点即可得到旋转后的三角形。对于(3)问，先根据旋转后各点的位置判断四边形的形状，再利用勾股定理计算对应边长，代入对应面积公式求解即可。
【解析】
(1) ① 连接DA、DB、DC；② 分别将线段DA、DB、DC绕点D逆时针旋转90°，得到长度相等的线段DA₁、DB₁、DC₁，确定点A₁、B₁、C₁的位置；③ 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 同理，将线段DA、DB、DC绕点D顺时针旋转90°，得到对应线段DA₂、DB₂、DC₂，确定点A₂、B₂、C₂的位置后顺次连接，得到△A₂B₂C₂即为所求。
(3) 首先判断四边形形状：由网格性质可得，B₁C₂与B₂C₂垂直，同理可证B₁C₂⊥B₁C₁、C₁B₂⊥B₂C₂，因此四边形B₁C₂B₂C₁是矩形。
由勾股定理计算邻边长度：
$B_2C_2 = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16+64} = 4\sqrt{5}$，
$B_1C_2 = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5}$，
因此四边形面积 = $B_2C_2 × B_1C_2 = 4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 40$。
【答案】
(1)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求；(2)如图所示，△A₂B₂C₂即为所求；
(3)40
【知识点】
旋转作图，勾股定理，矩形面积计算
【点评】
本题综合考查旋转的性质与作图、平面直角坐标系中图形面积的计算，解题关键是熟练掌握旋转的三要素，准确找到旋转后对应点的位置，能根据图形特征选择合适的方法计算面积，是旋转章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
对于(1)(2)问的旋转作图，首先明确旋转三要素：旋转中心为点D，旋转角均为90°，方向分别为逆时针、顺时针。作图时，先将△ABC的三个顶点A、B、C分别与点D连接，将所得线段按要求的方向旋转90°，保证旋转后线段长度不变，即可得到各顶点的对应点A₁、B₁、C₁和A₂、B₂、C₂，最后顺次连接对应点即可得到旋转后的三角形。对于(3)问，先根据旋转后各点的位置判断四边形的形状，再利用勾股定理计算对应边长，代入对应面积公式求解即可。
【解析】
(1) ① 连接DA、DB、DC；② 分别将线段DA、DB、DC绕点D逆时针旋转90°，得到长度相等的线段DA₁、DB₁、DC₁，确定点A₁、B₁、C₁的位置；③ 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 同理，将线段DA、DB、DC绕点D顺时针旋转90°，得到对应线段DA₂、DB₂、DC₂，确定点A₂、B₂、C₂的位置后顺次连接，得到△A₂B₂C₂即为所求。
(3) 首先判断四边形形状：由网格性质可得，B₁C₂与B₂C₂垂直，同理可证B₁C₂⊥B₁C₁、C₁B₂⊥B₂C₂，因此四边形B₁C₂B₂C₁是矩形。
由勾股定理计算邻边长度：
$B_2C_2 = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16+64} = 4\sqrt{5}$，
$B_1C_2 = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5}$，
因此四边形面积 = $B_2C_2 × B_1C_2 = 4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 40$。
【答案】
(1)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求；(2)如图所示，△A₂B₂C₂即为所求；
(3)40
【知识点】
旋转作图，勾股定理，矩形面积计算
【点评】
本题综合考查旋转的性质与作图、平面直角坐标系中图形面积的计算，解题关键是熟练掌握旋转的三要素，准确找到旋转后对应点的位置，能根据图形特征选择合适的方法计算面积，是旋转章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
1. 如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，$∠ FOG=120°$. 绕点O旋转$∠ FOG$，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE. 给出下列四个结论：
①$OD=OE$；②$S_{△ ODE}=S_{△ BDE}$；③四边形ODBE的面积始终等于$\frac{4}{3}\sqrt{3}$；④$△ BDE$周长的最小值为6. 上述结论中正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
①$OD=OE$；②$S_{△ ODE}=S_{△ BDE}$；③四边形ODBE的面积始终等于$\frac{4}{3}\sqrt{3}$；④$△ BDE$周长的最小值为6. 上述结论中正确的个数是(
C
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先连接OB、OC，利用等边三角形中心的性质得到OB=OC、∠BOC=120°、∠OBD=∠OCE=30°，结合∠FOG=120°推出∠BOD=∠COE，证明△BOD≌△COE，再逐个分析四个结论：①由全等直接可得OD=OE；②根据旋转过程中D、E的位置变化，判断两个三角形面积无恒等关系；③将四边形ODBE的面积转化为固定的△OBC的面积计算；④利用全等把BD+BE转化为BC的长度，再通过找DE的最小值得到△BDE周长的最小值。
【解析】
解：连接OB、OC，
∵△ABC是等边三角形，点O是△ABC的中心，
∴OB=OC，∠OBD=∠OCE=30°，∠BOC=120°，
∵∠FOG=120°=∠BOC，
∴∠BOC - ∠BOE = ∠FOG - ∠BOE，即∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠OBD=∠OCE \\OB=OC \\∠BOD=∠COE\end{array} $
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，BD=CE，故①正确；
对于②：旋转过程中D、E位置不断变化，△ODE和△BDE的高没有恒等关系，面积不一定相等，故②错误；
对于③：
∵△BOD≌△COE，
∴$S_{△BOD}=S_{△COE}$，
∴$S_{四边形ODBE}=S_{△BOD}+S_{△BOE}=S_{△COE}+S_{△BOE}=S_{△OBC}$，
等边△ABC边长为4，面积$S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$，
中心将△ABC分为3个面积相等的小三角形，
∴$S_{△OBC}=\frac{1}{3}S_{△ABC}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即四边形ODBE的面积始终等于$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，故③正确；
对于④：△BDE的周长$C=BD+BE+DE$，
∵BD=CE，
∴BD+BE=CE+BE=BC=4，
∴周长$C=4+DE$，要使周长最小，需DE最小，
∵OD=OE，∠DOE=120°，由等腰三角形性质可得$DE=\sqrt{3}OD$，
当OD⊥AB时，OD最小，为点O到AB的距离：等边三角形高为$2\sqrt{3}$，中心到边的距离为高的$\frac{1}{3}$，即$OD_{min}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$DE_{min}=\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=2$，
∴周长最小值为$4+2=6$，故④正确；
综上，正确的结论是①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，解题关键是构造全等三角形找到旋转过程中的不变量，将分散的未知量转化为已知量分析，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先连接OB、OC，利用等边三角形中心的性质得到OB=OC、∠BOC=120°、∠OBD=∠OCE=30°，结合∠FOG=120°推出∠BOD=∠COE，证明△BOD≌△COE，再逐个分析四个结论：①由全等直接可得OD=OE；②根据旋转过程中D、E的位置变化，判断两个三角形面积无恒等关系；③将四边形ODBE的面积转化为固定的△OBC的面积计算；④利用全等把BD+BE转化为BC的长度，再通过找DE的最小值得到△BDE周长的最小值。
【解析】
解：连接OB、OC，
∵△ABC是等边三角形，点O是△ABC的中心，
∴OB=OC，∠OBD=∠OCE=30°，∠BOC=120°，
∵∠FOG=120°=∠BOC，
∴∠BOC - ∠BOE = ∠FOG - ∠BOE，即∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠OBD=∠OCE \\OB=OC \\∠BOD=∠COE\end{array} $
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，BD=CE，故①正确；
对于②：旋转过程中D、E位置不断变化，△ODE和△BDE的高没有恒等关系，面积不一定相等，故②错误；
对于③：
∵△BOD≌△COE，
∴$S_{△BOD}=S_{△COE}$，
∴$S_{四边形ODBE}=S_{△BOD}+S_{△BOE}=S_{△COE}+S_{△BOE}=S_{△OBC}$，
等边△ABC边长为4，面积$S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$，
中心将△ABC分为3个面积相等的小三角形，
∴$S_{△OBC}=\frac{1}{3}S_{△ABC}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即四边形ODBE的面积始终等于$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，故③正确；
对于④：△BDE的周长$C=BD+BE+DE$，
∵BD=CE，
∴BD+BE=CE+BE=BC=4，
∴周长$C=4+DE$，要使周长最小，需DE最小，
∵OD=OE，∠DOE=120°，由等腰三角形性质可得$DE=\sqrt{3}OD$，
当OD⊥AB时，OD最小，为点O到AB的距离：等边三角形高为$2\sqrt{3}$，中心到边的距离为高的$\frac{1}{3}$，即$OD_{min}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$DE_{min}=\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=2$，
∴周长最小值为$4+2=6$，故④正确；
综上，正确的结论是①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，解题关键是构造全等三角形找到旋转过程中的不变量，将分散的未知量转化为已知量分析，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
