2. 在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C=α(0°＜α＜45°)$，$AM⊥ BC$于点$M$，$D$是线段$MC$上的动点(不与点$M$，$C$重合)，将线段$DM$绕点$D$顺时针旋转$2α$得到线段$DE$.
(1)如图1，当点$E$在线段$AC$上时，求证：$D$是$MC$的中点；
(2)如图2，若在线段$BM$上存在点$F$，连接$AF$. 请画出$△ ABF$绕点$A$逆时针方向旋转后的$△ ACG$，使得点$B$与点$C$重合；
(3)如图3，若在线段$BM$上存在点$F$，满足$DF=DC$，连接$AE$，$EF$. 求$∠ AEF$的大小.

2. (1)证明：由旋转的性质，得DM = DE，∠MDE = 2α。
∵ ∠C = α，
∴∠DEC = ∠MDE − ∠C = α，
∴∠C = ∠DEC，
∴DE = DC，
∴DM = DC，即 D 是 MC 的中点。
(2)作图，如图1所示。
(3)如图2，延长 FE 到 H，使 FE=EH，连接 CH，AH。
∵DF=DC，
∴DE是△FCH 的中位线，
∴DE//CH，CH=2DE。由旋转的性质，得 DM=DE，∠MDE=2α，
∴∠FCH=2α。
∵∠B=∠C=α，
∴∠ACH=α，△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠ACH，AB=AC。设 DM=DE=m，CD=n，则 CH=2m，CM=m+n，DF=CD=n，
∴FM=DF−DM=n−m。
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=m+n，
∴BF=BM−FM=m+n−(n−m)=2m，
∴CH = BF。在△ABF 和△ACH 中，AB = AC，∠B = ∠ACH，BF = CH，
∴△ABF≌△ACH(SAS)，
∴AF=AH。
∵FE=EH，
∴AE⊥FH，即∠AEF=90°。

【分析】
(1) 要证明D是MC中点，即证DM=DC。首先利用旋转的性质得到DM=DE、∠MDE=2α，再结合三角形外角的性质推导∠DEC与∠C相等，得到DE=DC，等量代换即可得证。
(2) 旋转作图需明确三要素：旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角等于∠BAC（AB旋转后与AC重合），只需作∠CAG=∠BAF且AG=AF，连接CG即可得到所求三角形。
(3) 要求∠AEF的度数，结合DF=DC的条件，可构造中位线转化线段与角的关系：延长FE到H使FE=EH，可得DE是△FCH的中位线，得到CH与DE的数量、位置关系；再结合旋转性质和等腰△ABC的性质推导BF=CH，证明△ABF≌△ACH得到AF=AH，最后利用等腰三角形三线合一的性质即可推出AE⊥FH，得到∠AEF的度数。
【解析】
(1) 证明：由旋转的性质，得$DM = DE$，$∠MDE = 2α$。
∵ $∠C = α$，根据三角形外角的性质，$∠DEC = ∠MDE − ∠C = 2α-α=α$，
∴$∠C = ∠DEC$，
∴$DE = DC$，
∴$DM = DC$，即 D 是 MC 的中点。
(2) 以A为顶点、AC为边，在AC外侧作$∠CAG=∠BAF$，截取$AG=AF$，连接CG，所得△ACG即为所求，如图1所示。
(3) 解：如图2，延长 FE 到 H，使$FE=EH$，连接 CH，AH。
∵$DF=DC$，$FE=EH$，
∴DE是△FCH 的中位线，
∴$DE// CH$，$CH=2DE$。
由旋转的性质，得 $DM=DE$，$∠MDE=2α$，
∴$∠FCH=∠MDE=2α$。
∵$∠B=∠ACB=α$，
∴$∠ACH=∠FCH-∠ACB=α$，即$∠B=∠ACH$，
又$△ABC$中$∠B=∠ACB$，
∴$AB=AC$。
设 $DM=DE=m$，$CD=n$，则 $CH=2m$，$CM=m+n$，
∵$DF=CD=n$，
∴$FM=DF−DM=n−m$。
∵$AM⊥BC$，△ABC为等腰三角形，
∴$BM=CM=m+n$，
∴$BF=BM−FM=m+n−(n−m)=2m$，
∴$CH = BF$。
在△ABF 和△ACH 中，
$\begin{cases} AB = AC \\ ∠ B = ∠ ACH \\ BF = CH \end{cases}$
∴△ABF≌△ACH(SAS)，
∴$AF=AH$。
又
∵$FE=EH$，
∴AE⊥FH（等腰三角形三线合一），即$∠AEF=90°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 作图如图1所示：
(3) $\boldsymbol{∠AEF=90°}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了旋转、三角形外角、中位线、全等三角形、等腰三角形等多个知识点，重点考查逻辑推理能力和辅助线构造能力，解题的核心是通过构造中位线搭建线段、角的等量关系，结合全等与等腰三角形的性质推导所求角度。
【难度系数】
0.6