登录
3. 在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，点 D 为底边 BC 上一点(不与端点 B，C 重合)，连接 AD. 将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转得到线段 AE，旋转角为 α，连接 DE.
(1)如图 1，若 α=∠BAC=90°，BD＜CD，连接 CE，试探究以下问题：
①∠ACE=
②过点 D 作 DF⊥BC，DF 交 CA 的延长线于点 F，连接 BF. 点 M 是 DE 的中点，点 N 是 BF 的中点，连接 CM，MN. 用等式表示线段 CM 与 MN 的数量关系是：
(2)如图 2，若∠BAC=120°，α=60°，AB=4，连接 BE，CE. 当 CE 取得最小值时，求△ABE 的面积.
(1)如图 1，若 α=∠BAC=90°，BD＜CD，连接 CE，试探究以下问题：
①∠ACE=
45
°.②过点 D 作 DF⊥BC，DF 交 CA 的延长线于点 F，连接 BF. 点 M 是 DE 的中点，点 N 是 BF 的中点，连接 CM，MN. 用等式表示线段 CM 与 MN 的数量关系是：
MN=√2 CM
.(2)如图 2，若∠BAC=120°，α=60°，AB=4，连接 BE，CE. 当 CE 取得最小值时，求△ABE 的面积.
答案
3. (1)①45 ②MN=√2 CM(提示：连接 DN，证 △BDF ≌ △ECD 及△MDN 是等腰直角三角形。)
(2)如图1，取 BC 的中点 U，AC 的中点 V，连接 AU，EV，UV。
∵AB = AC = 4，∠BAC = 120°，
∴∠ACU=30°，∠CAU=1/2∠BAC=60°，AU⊥BC，
∴AU=1/2AC=2。
∵V 是 AC 的中点，
∴AV=1/2AC，
∴AU=AV。由旋转的性质，得 AD = AE，∠DAE = 60°，
∴△ADE 是等边三角形，∠DAE = ∠CAU = 60°，
∴∠DAU = ∠EAV，
∴△ADU ≌ △AEV(SAS)，
∴∠AVE=∠AUD=90°。由点 V 为固定点，∠AVE=90°，得点 E 在过点 V 且垂直于 AC 的直线上运动，由点到直线的最短距离，可得当 CE 取最小值时，即 CE 垂直于点 E 运动轨迹的直线，即点 E 和点 V 重合时，CE 最小。此时，如图 2，过点 E 作 BA 延长线的垂线，垂足为 H。则∠EAH = 180°−∠BAC = 60°，∠AEH = 30°，
∴AH = 1/2AE=1，由勾股定理得 HE=√3，
∴S△ABE=1/2AB·HE=2√3。
解析
【分析】
(1)① 要求∠ACE的度数，可先通过旋转性质和已知角的关系推导∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE证明△BAD≌△CAE，将∠ACE转化为等腰直角△ABC的底角∠B即可求解；
② 要探究CM与MN的数量关系，先连接DN，先证明△BDF≌△ECD得到边的等量关系，再结合直角三角形斜边中线的性质，推导△MDN为等腰直角三角形，即可得到两条线段的数量关系；
(2) 要求CE最小时△ABE的面积，首先通过构造全等三角形确定点E的运动轨迹，结合垂线段最短找到CE取最小值时点E的位置，再作高利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)①
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAD=∠ CAE\\ AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE=45°。
② 连接DN，
∵DF⊥BC，∠ACB=45°，
∴△DFC为等腰直角三角形，
∴DF=DC，∠BDF=90°，
由①得∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，即∠BDF=∠DCE=90°，
在△BDF和△ECD中：
$\{\begin{array}{l}BD=CE\\ ∠ BDF=∠ ECD\\ DF=DC\end{array} $
∴△BDF≌△ECD(SAS)，
∴BF=DE，
∵∠DAE=90°，AD=AE，M是DE中点，
∴CM=DM=ME=$\frac{1}{2}$DE，
同理N是BF中点，
∴DN=BN=NF=$\frac{1}{2}$BF，
∴DN=CM=DM，
可证∠MDN=90°，即△MDN为等腰直角三角形，
∴MN=$\sqrt{2}$DM=$\sqrt{2}$CM。
(2) 取BC的中点U，AC的中点V，连接AU，EV，UV。
∵AB = AC = 4，∠BAC = 120°，
∴∠ACU=30°，∠CAU=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°，AU⊥BC，
∴AU=$\frac{1}{2}$AC=2。
∵V 是 AC 的中点，
∴AV=$\frac{1}{2}$AC，
∴AU=AV。
由旋转的性质，得 AD = AE，∠DAE = 60°，
∴△ADE 是等边三角形，∠DAE = ∠CAU = 60°，
∴∠DAU = ∠EAV，
在△ADU和△AEV中：
$\{\begin{array}{l}AD=AE\\ ∠ DAU=∠ EAV\\ AU=AV\end{array} $
∴△ADU ≌ △AEV(SAS)，
∴∠AVE=∠AUD=90°。
∴点E在过点V且垂直于AC的直线上运动，根据垂线段最短，当CE⊥该直线时CE最小，此时点E与点V重合。
过点E作BA延长线的垂线，垂足为H。则∠EAH = 180°−∠BAC = 60°，∠AEH = 30°，
∵AE=AV=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴AH = $\frac{1}{2}$AE=1，由勾股定理得 HE=$\sqrt{AE^2-AH^2}=\sqrt{3}$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB·HE=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{45}$；②$\boldsymbol{MN=\sqrt{2}CM}$
(2)$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题综合考查了旋转、全等三角形、特殊三角形的性质以及动点最值问题，解题核心是通过全等转化边角关系，准确确定动点轨迹求解最值，对几何综合推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1)① 要求∠ACE的度数，可先通过旋转性质和已知角的关系推导∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE证明△BAD≌△CAE，将∠ACE转化为等腰直角△ABC的底角∠B即可求解；
② 要探究CM与MN的数量关系，先连接DN，先证明△BDF≌△ECD得到边的等量关系，再结合直角三角形斜边中线的性质，推导△MDN为等腰直角三角形，即可得到两条线段的数量关系；
(2) 要求CE最小时△ABE的面积，首先通过构造全等三角形确定点E的运动轨迹，结合垂线段最短找到CE取最小值时点E的位置，再作高利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)①
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAD=∠ CAE\\ AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE=45°。
② 连接DN，
∵DF⊥BC，∠ACB=45°，
∴△DFC为等腰直角三角形，
∴DF=DC，∠BDF=90°，
由①得∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，即∠BDF=∠DCE=90°，
在△BDF和△ECD中：
$\{\begin{array}{l}BD=CE\\ ∠ BDF=∠ ECD\\ DF=DC\end{array} $
∴△BDF≌△ECD(SAS)，
∴BF=DE，
∵∠DAE=90°，AD=AE，M是DE中点，
∴CM=DM=ME=$\frac{1}{2}$DE，
同理N是BF中点，
∴DN=BN=NF=$\frac{1}{2}$BF，
∴DN=CM=DM，
可证∠MDN=90°，即△MDN为等腰直角三角形，
∴MN=$\sqrt{2}$DM=$\sqrt{2}$CM。
(2) 取BC的中点U，AC的中点V，连接AU，EV，UV。
∵AB = AC = 4，∠BAC = 120°，
∴∠ACU=30°，∠CAU=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°，AU⊥BC，
∴AU=$\frac{1}{2}$AC=2。
∵V 是 AC 的中点，
∴AV=$\frac{1}{2}$AC，
∴AU=AV。
由旋转的性质，得 AD = AE，∠DAE = 60°，
∴△ADE 是等边三角形，∠DAE = ∠CAU = 60°，
∴∠DAU = ∠EAV，
在△ADU和△AEV中：
$\{\begin{array}{l}AD=AE\\ ∠ DAU=∠ EAV\\ AU=AV\end{array} $
∴△ADU ≌ △AEV(SAS)，
∴∠AVE=∠AUD=90°。
∴点E在过点V且垂直于AC的直线上运动，根据垂线段最短，当CE⊥该直线时CE最小，此时点E与点V重合。
过点E作BA延长线的垂线，垂足为H。则∠EAH = 180°−∠BAC = 60°，∠AEH = 30°，
∵AE=AV=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴AH = $\frac{1}{2}$AE=1，由勾股定理得 HE=$\sqrt{AE^2-AH^2}=\sqrt{3}$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB·HE=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{45}$；②$\boldsymbol{MN=\sqrt{2}CM}$
(2)$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题综合考查了旋转、全等三角形、特殊三角形的性质以及动点最值问题，解题核心是通过全等转化边角关系，准确确定动点轨迹求解最值，对几何综合推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
