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5. 如图，在边长为1的方格纸中建立平面直角坐标系，将△OAB旋转可得到△OA'B'，观察图形并回答问题：
(1)请将作图过程补充完整，并说明△OAB如何旋转可得到△OA'B'；
(2)判断△OAA'的形状，并说明理由。
(1)请将作图过程补充完整，并说明△OAB如何旋转可得到△OA'B'；
(2)判断△OAA'的形状，并说明理由。
答案
(1)如图所示，△OA'B'即为所求。观察图象可知，将△OAB绕点O顺时针旋转90°可得到△OA'B'。
(2)△OAA'是等腰直角三角形。理由如下：由题意，得OA=OA'=5，AA'=5√2，
∴OA²+A'O²=AA'²，
∴∠AOA'=90°，
∴△OAA'是等腰直角三角形。
解析
【分析】
(1) 解决旋转作图和旋转方式判断问题，首先明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。观察图形可知点O是公共点，即为旋转中心；再看对应点的位置变化，点B原坐标为(0,3)，对应点B'坐标为(3,0)，可判断是绕点O顺时针旋转90°，按此规则作出A的对应点A'，顺次连接各对应点即可得到旋转后图形，再总结旋转方式。
(2) 判断△OAA'的形状时，首先根据旋转性质可得旋转前后对应边相等，即OA=OA'，可知三角形为等腰三角形；再结合网格用勾股定理分别计算OA、OA'、AA'的长度，用勾股定理逆定理判断是否存在直角，即可确定三角形的具体形状。
【解析】
(1) 作图步骤：①确定旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°；②分别作出点A、B绕点O顺时针旋转90°后的对应点A'、B'；③顺次连接O、A'、B'，得到△OA'B'。
观察对应边位置关系：OB在y轴正半轴，长度为3，旋转后OB'在x轴正半轴，长度为3，二者夹角为90°，因此△OAB绕点O顺时针旋转90°可得到△OA'B'。
(2) 判定△OAA'的形状：
由网格坐标得点A(-3,4)，A'(4,3)，根据勾股定理计算得：
$OA=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$，
由旋转的性质可知$OA'=OA=5$，
再计算$AA'$的长度：$AA'=\sqrt{(4-(-3))^2+(3-4)^2}=\sqrt{7^2+(-1)^2}=\sqrt{49+1}=5\sqrt{2}$，
验证三边关系：$OA^2+OA'^2=5^2+5^2=50$，$AA'^2=(5\sqrt{2})^2=50$，
因此$OA^2+OA'^2=AA'^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ AOA'=90°$，
又因为$OA=OA'$，所以△OAA'是等腰直角三角形。
【答案】
(1)如图所示，△OA'B'即为所求。观察图象可知，将△OAB绕点O顺时针旋转90°可得到△OA'B'。
(2)△OAA'是等腰直角三角形。理由如下：由题意，得OA=OA'=5，AA'=5√2，
∴OA²+A'O²=AA'²，
∴∠AOA'=90°，
∴△OAA'是等腰直角三角形。
【知识点】
旋转的性质与作图，勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的判定
【点评】
本题结合网格考查旋转相关知识和三角形形状的判定，解题关键是掌握旋转三要素，能熟练运用勾股定理计算网格内线段长度，同时会用勾股定理逆定理判断直角，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
(1) 解决旋转作图和旋转方式判断问题，首先明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。观察图形可知点O是公共点，即为旋转中心；再看对应点的位置变化，点B原坐标为(0,3)，对应点B'坐标为(3,0)，可判断是绕点O顺时针旋转90°，按此规则作出A的对应点A'，顺次连接各对应点即可得到旋转后图形，再总结旋转方式。
(2) 判断△OAA'的形状时，首先根据旋转性质可得旋转前后对应边相等，即OA=OA'，可知三角形为等腰三角形；再结合网格用勾股定理分别计算OA、OA'、AA'的长度，用勾股定理逆定理判断是否存在直角，即可确定三角形的具体形状。
【解析】
(1) 作图步骤：①确定旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°；②分别作出点A、B绕点O顺时针旋转90°后的对应点A'、B'；③顺次连接O、A'、B'，得到△OA'B'。
观察对应边位置关系：OB在y轴正半轴，长度为3，旋转后OB'在x轴正半轴，长度为3，二者夹角为90°，因此△OAB绕点O顺时针旋转90°可得到△OA'B'。
(2) 判定△OAA'的形状：
由网格坐标得点A(-3,4)，A'(4,3)，根据勾股定理计算得：
$OA=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$，
由旋转的性质可知$OA'=OA=5$，
再计算$AA'$的长度：$AA'=\sqrt{(4-(-3))^2+(3-4)^2}=\sqrt{7^2+(-1)^2}=\sqrt{49+1}=5\sqrt{2}$，
验证三边关系：$OA^2+OA'^2=5^2+5^2=50$，$AA'^2=(5\sqrt{2})^2=50$，
因此$OA^2+OA'^2=AA'^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ AOA'=90°$，
又因为$OA=OA'$，所以△OAA'是等腰直角三角形。
【答案】
(1)如图所示，△OA'B'即为所求。观察图象可知，将△OAB绕点O顺时针旋转90°可得到△OA'B'。
(2)△OAA'是等腰直角三角形。理由如下：由题意，得OA=OA'=5，AA'=5√2，
∴OA²+A'O²=AA'²，
∴∠AOA'=90°，
∴△OAA'是等腰直角三角形。
【知识点】
旋转的性质与作图，勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的判定
【点评】
本题结合网格考查旋转相关知识和三角形形状的判定，解题关键是掌握旋转三要素，能熟练运用勾股定理计算网格内线段长度，同时会用勾股定理逆定理判断直角，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠BAD=60°.
(1)尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D，点C的对应点为点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求证△ADC≌△ADE.
(1)尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D，点C的对应点为点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求证△ADC≌△ADE.
答案
(1)如图所示，△ADE为所求三角形。
(2)证明：
∵在菱形ABCD中，∠BAC=∠DAC。由旋转可知AC=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠DAC=∠DAE，AD=AD，
∴△ADC≌△ADE(SAS)。
解析
【分析】
(1) 尺规作图思路：旋转作图需明确三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。本题旋转中心为点A，旋转方向是逆时针，点B对应点D，因此旋转角为∠BAD。根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，只需将线段AC绕点A逆时针旋转与∠BAD相等的角度得到AE，保证AE=AC，连接DE即可得到△ADE。
(2) 证明思路：要证△ADC≌△ADE，首先结合菱形性质，对角线平分内角可得∠BAC=∠DAC；再根据旋转的性质，得对应边AC=AE、对应角∠BAC=∠DAE，进而推出∠DAC=∠DAE，最后结合公共边AD，即可用SAS判定两个三角形全等。
【解析】
(1) 作图：以点A为顶点，作∠DAE=∠BAC，在∠DAE的边上截取AE=AC，连接DE，△ADE即为所求，需保留作图的弧线痕迹。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，AC为对角线，
∴ ∠BAC=∠DAC，
由旋转的性质可知：AC=AE，∠BAC=∠DAE，
∴ ∠DAC=∠DAE，
在△ADC和△ADE中：
$\begin{cases}AD=AD(\mathrm{公共边})\\∠DAC=∠DAE\\AC=AE\end{cases}$
∴ △ADC≌△ADE(SAS)。
【答案】
(1) 如图所示，△ADE为所求三角形。
(2) 证明：
∵在菱形ABCD中，∠BAC=∠DAC。由旋转可知AC=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠DAC=∠DAE，AD=AD，
∴△ADC≌△ADE(SAS)。
【知识点】
旋转的作图、菱形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题是基础综合题，既考查了旋转作图的动手操作能力，也考查了菱形性质和全等三角形判定的应用，解题关键是熟练掌握旋转的性质，准确找到全等的判定条件。
【难度系数】
0.8
(1) 尺规作图思路：旋转作图需明确三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。本题旋转中心为点A，旋转方向是逆时针，点B对应点D，因此旋转角为∠BAD。根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，只需将线段AC绕点A逆时针旋转与∠BAD相等的角度得到AE，保证AE=AC，连接DE即可得到△ADE。
(2) 证明思路：要证△ADC≌△ADE，首先结合菱形性质，对角线平分内角可得∠BAC=∠DAC；再根据旋转的性质，得对应边AC=AE、对应角∠BAC=∠DAE，进而推出∠DAC=∠DAE，最后结合公共边AD，即可用SAS判定两个三角形全等。
【解析】
(1) 作图：以点A为顶点，作∠DAE=∠BAC，在∠DAE的边上截取AE=AC，连接DE，△ADE即为所求，需保留作图的弧线痕迹。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，AC为对角线，
∴ ∠BAC=∠DAC，
由旋转的性质可知：AC=AE，∠BAC=∠DAE，
∴ ∠DAC=∠DAE，
在△ADC和△ADE中：
$\begin{cases}AD=AD(\mathrm{公共边})\\∠DAC=∠DAE\\AC=AE\end{cases}$
∴ △ADC≌△ADE(SAS)。
【答案】
(1) 如图所示，△ADE为所求三角形。
(2) 证明：
∵在菱形ABCD中，∠BAC=∠DAC。由旋转可知AC=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠DAC=∠DAE，AD=AD，
∴△ADC≌△ADE(SAS)。
【知识点】
旋转的作图、菱形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题是基础综合题，既考查了旋转作图的动手操作能力，也考查了菱形性质和全等三角形判定的应用，解题关键是熟练掌握旋转的性质，准确找到全等的判定条件。
【难度系数】
0.8
