4. 已知抛物线 $ y=a(x-4)^2 -3 $ 与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (1, 0) $，则抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点的坐标是().

A.$ (5, 0) $
B.$ (6, 0) $
C.$ (7, 0) $
D.$ (8, 0) $

4. C

【分析】
首先观察抛物线解析式为顶点式，可直接得到其对称轴为直线$x=4$。根据二次函数的性质，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，即两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的$x$值。已知一个交点坐标为$(1,0)$，利用对称性即可快速求出另一个交点的横坐标；也可先代入已知交点求出参数$a$，再令$y=0$解方程得到另一个交点坐标。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性求解
抛物线$ y=a(x-4)^2 -3 $的顶点式中$h=4$，因此对称轴为直线$x=4$。
设抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，由于抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，因此两个交点横坐标的中点在对称轴上，即：
$\frac{1+x}{2}=4$
解得$x=7$，因此另一个交点坐标为$(7,0)$。
方法二：代入求参数解方程求解
将交点$(1,0)$代入抛物线解析式得：
$0=a(1-4)^2 -3$
整理得$9a-3=0$，解得$a=\frac{1}{3}$。
因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}(x-4)^2 -3$，令$y=0$，则：
$\frac{1}{3}(x-4)^2 -3=0$
移项得$(x-4)^2=9$，开方得$x-4=\pm3$，解得$x_1=1$，$x_2=7$。
因此另一个交点坐标为$(7,0)$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的对称性；抛物线与x轴交点
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，利用对称性解题可以省略求参数的步骤，大幅提升解题速度，建议优先选择对称法求解这类题型，同时要熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义。
【难度系数】
0.8

5. 二次函数$y=a(x-m)^2 -k$的图象如图所示，则下列选项正确的是().

A.$m＜0$，$k＜0$
B.$m＞0$，$k＞0$
C.$m＞0$，$k＜0$
D.$m＜0$，$k＞0$

5. A

【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。先根据给出的解析式确定该二次函数的顶点坐标，再观察图像得到顶点所在的象限，结合象限内点的坐标符号特征，即可推导出$m$和$k$的符号，进而选出正确选项。
【解析】
$\because$ 二次函数的解析式为$y=a(x-m)^2 -k$
$\therefore$ 该二次函数的顶点坐标为$(m, -k)$
观察图像可得，抛物线的顶点位于第二象限
$\because$ 第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0
$\therefore$ $m＜0$，且$-k＞0$
解$-k＞0$可得$k＜0$
综上，$m＜0$，$k＜0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式的性质，象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数图像与参数的对应关系，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的顶点坐标，结合图像位置即可快速判断参数符号，是二次函数图像性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.8

6. 先填表，再在平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)$y=2(x+1)^2 -1$;
(2)$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2 +5$.



第6题(1)
第6题(2)

解：
(1) 函数$y=2(x+1)^2-1$的顶点坐标为$(-1,-1)$，对称轴为直线$x=-1$，选取7个对称的自变量值，计算对应函数值，填表如下：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $7$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $7$ | $17$| $31$|
在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到开口向上的抛物线图象。
(2) 函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+5$的顶点坐标为$(2,5)$，对称轴为直线$x=2$，选取7个对称的自变量值，计算对应函数值，填表如下：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|-----|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\dfrac{1}{2}$ | $3$ | $\dfrac{9}{2}$ | $5$ | $\dfrac{9}{2}$ | $3$ | $\dfrac{1}{2}$ |
在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到开口向下的抛物线图象。

【分析】
要绘制顶点式二次函数的图象，首先根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的结构特征，直接确定函数的顶点坐标$(h,k)$和对称轴直线$x=h$；再以对称轴为中心，在其左右两侧对称选取若干个自变量$x$的取值，分别代入解析式计算对应的函数值$y$，完成填表；最后在平面直角坐标系中描出所有坐标点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到对应的抛物线图象。
【解析】
(1) 对于函数$y=2(x+1)^2 -1$，属于顶点式，其中$h=-1$，$k=-1$，因此顶点坐标为$(-1,-1)$，对称轴为直线$x=-1$。以对称轴为中心选取对称的自变量值，代入计算得对应函数值，填表如下：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $7$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $7$ | $17$| $31$|
在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到开口向上的抛物线图象。
(2) 对于函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2 +5$，属于顶点式，其中$h=2$，$k=5$，因此顶点坐标为$(2,5)$，对称轴为直线$x=2$。以对称轴为中心选取对称的自变量值，代入计算得对应函数值，填表如下：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|-----|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\dfrac{1}{2}$ | $3$ | $\dfrac{9}{2}$ | $5$ | $\dfrac{9}{2}$ | $3$ | $\dfrac{1}{2}$ |
在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到开口向下的抛物线图象。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(-1,-1)$，对称轴为直线$x=-1$，填表如下：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $7$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $7$ | $17$| $31$|
图象为开口向上的抛物线；
(2) 顶点坐标为$(2,5)$，对称轴为直线$x=2$，填表如下：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|-----|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\dfrac{1}{2}$ | $3$ | $\dfrac{9}{2}$ | $5$ | $\dfrac{9}{2}$ | $3$ | $\dfrac{1}{2}$ |
图象为开口向下的抛物线。
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数图象画法、二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数图象相关的基础题型，重点考察对顶点式二次函数基本特征的识别能力和图象绘制的实操能力，掌握对称取点的技巧既可以简化计算，也能更直观地理解抛物线的对称特性，是后续学习二次函数性质与应用的必备基础。
【难度系数】
0.8

1. 已知二次函数$y=a(x+2)^2+3(a＜0)$，有以下结论：
①当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大；
②不论$a$为任何负数，该二次函数的最大值总是3；
③当$a=-1$时，抛物线必过原点；
④该抛物线和$x$轴总有两个公共点.
其中正确的结论是________（填序号）.

②④

【分析】
解决本题首先要明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。先确定本题中二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，再逐一分析4个结论的正误即可。
【解析】
已知二次函数$y=a(x+2)^2+3(a＜0)$，可得：
开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,3)$。
逐一判断结论：
1. 分析结论①：开口向下的二次函数，在对称轴右侧（$x＞-2$）时，$y$随$x$的增大而减小，故①错误；
2. 分析结论②：顶点是函数图象的最高点，顶点纵坐标为3，因此不论$a$为任何负数，函数的最大值恒为3，故②正确；
3. 分析结论③：当$a=-1$时，函数解析式为$y=-(x+2)^2+3$，将$x=0$代入得$y=-4+3=-1≠0$，因此抛物线不过原点，故③错误；
4. 分析结论④：令$y=0$，得$a(x+2)^2+3=0$，整理得$(x+2)^2=-\frac{3}{a}$。因为$a＜0$，所以$-\frac{3}{a}＞0$，方程有两个不相等的实数根，即抛物线与$x$轴总有两个公共点，故④正确。
综上，正确的结论为②④。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性与最值；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的核心性质出题，需要同学们熟练掌握解析式与图象特征的对应关系，能灵活运用性质判断增减性、最值以及交点问题，是二次函数部分的基础典型题。
【难度系数】
0.7