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2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ L_1: y = a(x-3)^2 + k $ 与 $ L_2: y = m(x+2)^2 + n $ 的一个交点为A，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B，C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)。已知点A的横坐标为1，则BC的长为(
A.9
B.9.5
C.10
D.10.5
C
).A.9
B.9.5
C.10
D.10.5
答案
2. C
解析
【分析】
本题可利用二次函数的轴对称性求解：抛物线$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，两点到对称轴的水平距离相等。解题时先分别确定两条抛物线的对称轴，再根据点A的横坐标求出点B、C的横坐标，最后计算横坐标的差即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵ 抛物线$ L_1: y = a(x-3)^2 + k $的对称轴为直线$ x=3 $，抛物线$ L_2: y = m(x+2)^2 + n $的对称轴为直线$ x=-2 $。
由题意可知直线BC平行于x轴，
∴ 点A与点B关于$L_2$的对称轴对称，点A与点C关于$L_1$的对称轴对称。
已知点A的横坐标为1：
① 求点B的横坐标：点A到对称轴$x=-2$的距离为$1 - (-2) = 3$，因此点B到对称轴$x=-2$的距离也为3，且B在对称轴左侧，故点B的横坐标为$-2 -3 = -5$。
② 求点C的横坐标：点A到对称轴$x=3$的距离为$3 - 1 = 2$，因此点C到对称轴$x=3$的距离也为2，且C在对称轴右侧，故点C的横坐标为$3 + 2 = 5$。
∴ BC的长度为$5 - (-5) = 10$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的轴对称性，二次函数顶点式的性质
【点评】
本题不需要求解函数解析式，直接利用二次函数的对称性质即可快速解题，核心是理解平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于抛物线对称轴对称这一规律，能有效简化计算。
【难度系数】
0.7
本题可利用二次函数的轴对称性求解：抛物线$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，两点到对称轴的水平距离相等。解题时先分别确定两条抛物线的对称轴，再根据点A的横坐标求出点B、C的横坐标，最后计算横坐标的差即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵ 抛物线$ L_1: y = a(x-3)^2 + k $的对称轴为直线$ x=3 $，抛物线$ L_2: y = m(x+2)^2 + n $的对称轴为直线$ x=-2 $。
由题意可知直线BC平行于x轴，
∴ 点A与点B关于$L_2$的对称轴对称，点A与点C关于$L_1$的对称轴对称。
已知点A的横坐标为1：
① 求点B的横坐标：点A到对称轴$x=-2$的距离为$1 - (-2) = 3$，因此点B到对称轴$x=-2$的距离也为3，且B在对称轴左侧，故点B的横坐标为$-2 -3 = -5$。
② 求点C的横坐标：点A到对称轴$x=3$的距离为$3 - 1 = 2$，因此点C到对称轴$x=3$的距离也为2，且C在对称轴右侧，故点C的横坐标为$3 + 2 = 5$。
∴ BC的长度为$5 - (-5) = 10$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的轴对称性，二次函数顶点式的性质
【点评】
本题不需要求解函数解析式，直接利用二次函数的对称性质即可快速解题，核心是理解平行于x轴的直线与抛物线的两个交点关于抛物线对称轴对称这一规律，能有效简化计算。
【难度系数】
0.7
3. 已知抛物线$y=a(x-3)^2+2$经过点$(1, -2)$，回答下列问题：
(1)求$a$的值；
(2)若点$A(m, y_1)$，$B(n, y_2)(m＜n＜3)$都在该抛物线上，试比较$y_1$与$y_2$的大小。
(1)求$a$的值；
(2)若点$A(m, y_1)$，$B(n, y_2)(m＜n＜3)$都在该抛物线上，试比较$y_1$与$y_2$的大小。
答案
(1)$a=-1$ (2)$y_1＜y_2$
解析
【分析】
（1）已知抛物线的顶点式解析式，且给出了函数图象经过的点的坐标，只需将点的横、纵坐标代入解析式，即可得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
（2）要比较抛物线上两点纵坐标的大小，首先根据a的正负判断抛物线的开口方向，再结合抛物线的对称轴，判断在x＜3的区间内函数的增减性，最后根据m、n的大小关系即可得出y₁和y₂的大小关系。
【解析】
(1) 将点$(1, -2)$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2$，得：
$\begin{aligned}-2&=a×(1-3)^2+2\\-2&=4a+2\\4a&=-4\\a&=-1\end{aligned}$
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=-(x-3)^2+2$，
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为直线$x=3$，
$\therefore$当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大，
$\because m＜n＜3$，
$\therefore y_1＜y_2$
【答案】
(1)$a=-1$；(2)$y_1＜y_2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式；2. 二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用及性质，解题的关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
（1）已知抛物线的顶点式解析式，且给出了函数图象经过的点的坐标，只需将点的横、纵坐标代入解析式，即可得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
（2）要比较抛物线上两点纵坐标的大小，首先根据a的正负判断抛物线的开口方向，再结合抛物线的对称轴，判断在x＜3的区间内函数的增减性，最后根据m、n的大小关系即可得出y₁和y₂的大小关系。
【解析】
(1) 将点$(1, -2)$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2$，得：
$\begin{aligned}-2&=a×(1-3)^2+2\\-2&=4a+2\\4a&=-4\\a&=-1\end{aligned}$
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=-(x-3)^2+2$，
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为直线$x=3$，
$\therefore$当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大，
$\because m＜n＜3$，
$\therefore y_1＜y_2$
【答案】
(1)$a=-1$；(2)$y_1＜y_2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式；2. 二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用及性质，解题的关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
4. 二次函数$y=x^2$的图象如图所示.
(1)请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；
(2)将此图象沿着$y=-x+1$方向平移3个单位后，直接写出平移后的函数解析式.
(1)请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；
(2)将此图象沿着$y=-x+1$方向平移3个单位后，直接写出平移后的函数解析式.
答案
(1)图略，$y=x^2-2x-1$ (2)$y=(x+\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ 或 $y=(x-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
(1) 解决二次函数平移问题，核心是掌握“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律：图象左右平移时，对自变量x进行调整，向左平移m个单位则x替换为x+m，向右平移m个单位则x替换为x-m；图象上下平移时，对函数整体调整，向上平移n个单位则整体加n，向下平移n个单位则整体减n，按规律平移后化简即可得到解析式。
(2) 沿直线y=-x+1平移时，该直线斜率为-1，说明平移方向与x轴夹角为45°，平移3个单位的位移可分解为水平、竖直两个方向，由勾股定理可知水平位移和竖直位移的绝对值相等，结合平移规律代入即可得到解析式，注意平移有两个相反方向，需分情况讨论避免漏解。
【解析】
(1) 原二次函数解析式为$y=x^2$：
第一步，将图象向右平移1个单位，根据“右减”原则，将x替换为$x-1$，得解析式$y=(x-1)^2$；
第二步，再向下平移2个单位，根据“下减”原则，整体减去2，得$y=(x-1)^2 - 2$；
展开化简：$y=x^2 -2x +1 -2 = x^2 -2x -1$，平移后图象按规律描点画图即可。
(2) 沿$y=-x+1$方向平移3个单位，该直线倾斜角为135°，平移时水平位移$\Delta x$和竖直位移$\Delta y$满足$|\Delta x|=|\Delta y|$，且由勾股定理得$(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = 3^2$：
代入$|\Delta x|=|\Delta y|$，得$2(\Delta x)^2=9$，解得$\Delta x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$，对应$\Delta y=-\Delta x$。
① 当沿直线向右下方向平移时，$\Delta x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\Delta y=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$，代入平移公式得$y=(x-\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$；
② 当沿直线向左上方向平移时，$\Delta x=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\Delta y=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，代入平移公式得$y=(x+\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) 图略，$y=x^2-2x-1$；(2) $y=(x+\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ 或 $y=(x-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数解析式，坐标平移变换
【点评】
本题重点考查二次函数的平移规则，第一问属于基础题型，熟练掌握“左加右减、上加下减”的规律即可快速求解；第二问需要将斜向平移分解为水平和竖直方向的位移，同时要注意平移方向有两种情况，避免漏解，能很好地考查学生对平移知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解决二次函数平移问题，核心是掌握“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律：图象左右平移时，对自变量x进行调整，向左平移m个单位则x替换为x+m，向右平移m个单位则x替换为x-m；图象上下平移时，对函数整体调整，向上平移n个单位则整体加n，向下平移n个单位则整体减n，按规律平移后化简即可得到解析式。
(2) 沿直线y=-x+1平移时，该直线斜率为-1，说明平移方向与x轴夹角为45°，平移3个单位的位移可分解为水平、竖直两个方向，由勾股定理可知水平位移和竖直位移的绝对值相等，结合平移规律代入即可得到解析式，注意平移有两个相反方向，需分情况讨论避免漏解。
【解析】
(1) 原二次函数解析式为$y=x^2$：
第一步，将图象向右平移1个单位，根据“右减”原则，将x替换为$x-1$，得解析式$y=(x-1)^2$；
第二步，再向下平移2个单位，根据“下减”原则，整体减去2，得$y=(x-1)^2 - 2$；
展开化简：$y=x^2 -2x +1 -2 = x^2 -2x -1$，平移后图象按规律描点画图即可。
(2) 沿$y=-x+1$方向平移3个单位，该直线倾斜角为135°，平移时水平位移$\Delta x$和竖直位移$\Delta y$满足$|\Delta x|=|\Delta y|$，且由勾股定理得$(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = 3^2$：
代入$|\Delta x|=|\Delta y|$，得$2(\Delta x)^2=9$，解得$\Delta x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$，对应$\Delta y=-\Delta x$。
① 当沿直线向右下方向平移时，$\Delta x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\Delta y=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$，代入平移公式得$y=(x-\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$；
② 当沿直线向左上方向平移时，$\Delta x=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\Delta y=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，代入平移公式得$y=(x+\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) 图略，$y=x^2-2x-1$；(2) $y=(x+\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ 或 $y=(x-\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数解析式，坐标平移变换
【点评】
本题重点考查二次函数的平移规则，第一问属于基础题型，熟练掌握“左加右减、上加下减”的规律即可快速求解；第二问需要将斜向平移分解为水平和竖直方向的位移，同时要注意平移方向有两种情况，避免漏解，能很好地考查学生对平移知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
