登录
1. 将二次函数 $ y = -x^2 - 2x + 1 $ 化成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式是
$y=-(x+1)^2+2$
。答案
1. $y=-(x+1)^2+2$
解析
【分析】
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心方法是配方法。解题思路如下：第一步先将二次项和一次项组合，提取二次项系数（本题二次项系数为-1，提取时要注意各项符号变化）；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数，保证原式的值不变；第三步将括号内的多项式整理为完全平方式，再合并常数项即可得到目标形式。
【解析】
对二次函数$y = -x^2 - 2x + 1$进行配方：
1. 提取二次项系数，将二次项、一次项归到括号内：
$y = -(x^2 + 2x) + 1$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为2，其一半为1，平方为1，因此括号内加1再减1保证值不变：
$y = -[(x^2 + 2x + 1) - 1] + 1$
3. 整理完全平方式，合并常数项：
$y = -(x+1)^2 + 1 + 1$
$y = -(x+1)^2 + 2$
【答案】
$y=-(x+1)^2+2$
【知识点】
1. 二次函数一般式化顶点式
2. 配方法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查配方法的应用，解题时需注意提取负的二次项系数后括号内的符号变化，以及凑完全平方时常数项的调整，熟练掌握配方法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心方法是配方法。解题思路如下：第一步先将二次项和一次项组合，提取二次项系数（本题二次项系数为-1，提取时要注意各项符号变化）；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数，保证原式的值不变；第三步将括号内的多项式整理为完全平方式，再合并常数项即可得到目标形式。
【解析】
对二次函数$y = -x^2 - 2x + 1$进行配方：
1. 提取二次项系数，将二次项、一次项归到括号内：
$y = -(x^2 + 2x) + 1$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为2，其一半为1，平方为1，因此括号内加1再减1保证值不变：
$y = -[(x^2 + 2x + 1) - 1] + 1$
3. 整理完全平方式，合并常数项：
$y = -(x+1)^2 + 1 + 1$
$y = -(x+1)^2 + 2$
【答案】
$y=-(x+1)^2+2$
【知识点】
1. 二次函数一般式化顶点式
2. 配方法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查配方法的应用，解题时需注意提取负的二次项系数后括号内的符号变化，以及凑完全平方时常数项的调整，熟练掌握配方法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线$y=2x^2+5x-3$的对称轴是直线
$x=-\frac{5}{4}$
，顶点坐标是$(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$
，与y轴的交点坐标是$(0, -3)$
。答案
2. 对称轴是直线$x=-\frac{5}{4}$，顶点坐标是$(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$，与y轴的交点坐标是$(0, -3)$
解析
【分析】
本题考查二次函数一般式的基本性质，解题思路如下：1. 先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中$a、b、c$的取值，本题中$a=2，b=5，c=-3$；2. 求对称轴可直接套用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$；3. 顶点的横坐标与对称轴横坐标相同，纵坐标可代入公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，也可将对称轴的$x$值代入解析式求$y$；4. 求与y轴的交点时，y轴上点的横坐标为0，只需令$x=0$代入解析式求出对应的$y$值即可得到交点坐标。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2+5x-3$，其中$a=2$，$b=5$，$c=-3$：
1. 求对称轴：
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值得：
$x=-\frac{5}{2×2}=-\frac{5}{4}$，即对称轴为直线$x=-\frac{5}{4}$。
2. 求顶点坐标：
顶点横坐标等于对称轴横坐标，即$x=-\frac{5}{4}$，
将$x=-\frac{5}{4}$代入解析式求纵坐标：
$y=2×(-\frac{5}{4})^2 +5×(-\frac{5}{4}) -3 = 2×\frac{25}{16} - \frac{25}{4} -3 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{49}{8}$，
所以顶点坐标为$(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$。
3. 求与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入解析式得$y=2×0 +5×0 -3 = -3$，
所以与y轴的交点坐标是$(0,-3)$。
【答案】
$x=-\frac{5}{4}$；$(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$；$(0, -3)$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数顶点坐标求法；函数与y轴交点特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础题型，重点考察对二次函数一般式相关公式的记忆和代入计算能力，计算时要注意符号运算，避免因粗心出错，该类知识点是二次函数的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数一般式的基本性质，解题思路如下：1. 先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中$a、b、c$的取值，本题中$a=2，b=5，c=-3$；2. 求对称轴可直接套用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$；3. 顶点的横坐标与对称轴横坐标相同，纵坐标可代入公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，也可将对称轴的$x$值代入解析式求$y$；4. 求与y轴的交点时，y轴上点的横坐标为0，只需令$x=0$代入解析式求出对应的$y$值即可得到交点坐标。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2+5x-3$，其中$a=2$，$b=5$，$c=-3$：
1. 求对称轴：
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值得：
$x=-\frac{5}{2×2}=-\frac{5}{4}$，即对称轴为直线$x=-\frac{5}{4}$。
2. 求顶点坐标：
顶点横坐标等于对称轴横坐标，即$x=-\frac{5}{4}$，
将$x=-\frac{5}{4}$代入解析式求纵坐标：
$y=2×(-\frac{5}{4})^2 +5×(-\frac{5}{4}) -3 = 2×\frac{25}{16} - \frac{25}{4} -3 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{49}{8}$，
所以顶点坐标为$(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$。
3. 求与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入解析式得$y=2×0 +5×0 -3 = -3$，
所以与y轴的交点坐标是$(0,-3)$。
【答案】
$x=-\frac{5}{4}$；$(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$；$(0, -3)$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数顶点坐标求法；函数与y轴交点特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础题型，重点考察对二次函数一般式相关公式的记忆和代入计算能力，计算时要注意符号运算，避免因粗心出错，该类知识点是二次函数的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3. 二次函数$y=x^2 -4x +3$，当$x=$
2
时，$y$有最小值是-1
；当$x$$＜2$
时，$y$随$x$的增大而减小。答案
3. 当$x=2$时，$y$有最小值是$-1$；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题思路清晰：首先观察二次项系数a=1＞0，可知抛物线开口向上，因此函数存在最小值，且最小值在顶点处取得；接下来可以通过配方法将一般式转化为顶点式，或者用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出顶点的横坐标，也就是对称轴的位置；再将横坐标代入解析式求出最小值；最后结合开口方向判断增减性：开口向上的抛物线，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大。
【解析】
方法1：配方法
对函数解析式进行配方：
$y=x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-4+3=(x-2)^2-1$
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为$(2,-1)$
∴当$x=2$时，$y$取得最小值，最小值为$-1$；
∵开口向上的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而减小，该抛物线对称轴为直线$x=2$，
∴当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
方法2：公式法
由二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可知本题中$a=1$，$b=-4$，$c=3$
∵$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，y有最小值
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$
将$x=2$代入解析式得：$y=2^2-4×2+3=-1$，即y的最小值为$-1$
∵开口向上的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
当$x=2$时，$y$有最小值是$-1$；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数的图象与性质；配方法；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数核心性质的应用，只要掌握开口方向、对称轴、最值、增减性之间的关联，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的基本性质，解题思路清晰：首先观察二次项系数a=1＞0，可知抛物线开口向上，因此函数存在最小值，且最小值在顶点处取得；接下来可以通过配方法将一般式转化为顶点式，或者用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出顶点的横坐标，也就是对称轴的位置；再将横坐标代入解析式求出最小值；最后结合开口方向判断增减性：开口向上的抛物线，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大。
【解析】
方法1：配方法
对函数解析式进行配方：
$y=x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-4+3=(x-2)^2-1$
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为$(2,-1)$
∴当$x=2$时，$y$取得最小值，最小值为$-1$；
∵开口向上的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而减小，该抛物线对称轴为直线$x=2$，
∴当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
方法2：公式法
由二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可知本题中$a=1$，$b=-4$，$c=3$
∵$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，y有最小值
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$
将$x=2$代入解析式得：$y=2^2-4×2+3=-1$，即y的最小值为$-1$
∵开口向上的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
当$x=2$时，$y$有最小值是$-1$；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数的图象与性质；配方法；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数核心性质的应用，只要掌握开口方向、对称轴、最值、增减性之间的关联，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
4. 已知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则点$P(b,c)$所在的象限是(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
4. C
解析
【分析】
要判断点P(b,c)所在象限，需先确定b、c的正负，结合二次函数图象与系数的对应关系推导：①先由抛物线开口方向判断a的符号；②结合对称轴位置，利用对称轴公式推导b的符号；③由抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；最后根据b、c的正负确定点P所在象限。
【解析】
1. 判断a的符号：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
2. 判断b的符号：
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
又
∵$a＞0$，
∴$-b＞0$，即$b＜0$；
3. 判断c的符号：
∵抛物线与y轴交于负半轴，当$x=0$时，$y=c$，
∴$c＜0$；
4. 判断点P的象限：
∵$b＜0$，$c＜0$，即点P的横、纵坐标均为负数，
∴点P(b,c)在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数图象特征与系数a、b、c的对应规律，只要熟练掌握开口方向、对称轴位置、与y轴交点分别对应的系数判断方法，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断点P(b,c)所在象限，需先确定b、c的正负，结合二次函数图象与系数的对应关系推导：①先由抛物线开口方向判断a的符号；②结合对称轴位置，利用对称轴公式推导b的符号；③由抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；最后根据b、c的正负确定点P所在象限。
【解析】
1. 判断a的符号：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
2. 判断b的符号：
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
又
∵$a＞0$，
∴$-b＞0$，即$b＜0$；
3. 判断c的符号：
∵抛物线与y轴交于负半轴，当$x=0$时，$y=c$，
∴$c＜0$；
4. 判断点P的象限：
∵$b＜0$，$c＜0$，即点P的横、纵坐标均为负数，
∴点P(b,c)在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数图象特征与系数a、b、c的对应规律，只要熟练掌握开口方向、对称轴位置、与y轴交点分别对应的系数判断方法，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 用二次函数的顶点坐标公式求下列函数的顶点坐标.
(1)$y=x^2 - 2x - 1$；
(2)$y=-2x^2 + 4x + 3$.
(1)$y=x^2 - 2x - 1$；
(2)$y=-2x^2 + 4x + 3$.
答案
(1) $(1, -2)$
(2) $(1, 5)$
(2) $(1, 5)$
解析
【分析】
对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。解题时先从每个函数的一般式中准确提取对应系数$a$、$b$、$c$的值（注意系数的正负号），再分别代入横坐标和纵坐标的计算公式，即可求出顶点坐标。
【解析】
(1) 对于函数$y=x^2 - 2x - 1$，对照二次函数一般式可得：$a=1$，$b=-2$，$c=-1$。
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-1)-(-2)^2}{4×1}=\frac{-4-4}{4}=-2$
因此该函数顶点坐标为$(1,-2)$。
(2) 对于函数$y=-2x^2 + 4x + 3$，对照二次函数一般式可得：$a=-2$，$b=4$，$c=3$。
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-2)}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-2)×3 - 4^2}{4×(-2)}=\frac{-24-16}{-8}=5$
因此该函数顶点坐标为$(1,5)$。
【答案】
(1) $(1, -2)$
(2) $(1, 5)$
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标公式
2. 二次函数一般式系数识别
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查二次函数顶点坐标公式的直接运用，解题的关键是准确识别一般式中各项的系数符号，计算时细心即可避免错误。
【难度系数】
0.8
对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。解题时先从每个函数的一般式中准确提取对应系数$a$、$b$、$c$的值（注意系数的正负号），再分别代入横坐标和纵坐标的计算公式，即可求出顶点坐标。
【解析】
(1) 对于函数$y=x^2 - 2x - 1$，对照二次函数一般式可得：$a=1$，$b=-2$，$c=-1$。
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-1)-(-2)^2}{4×1}=\frac{-4-4}{4}=-2$
因此该函数顶点坐标为$(1,-2)$。
(2) 对于函数$y=-2x^2 + 4x + 3$，对照二次函数一般式可得：$a=-2$，$b=4$，$c=3$。
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-2)}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-2)×3 - 4^2}{4×(-2)}=\frac{-24-16}{-8}=5$
因此该函数顶点坐标为$(1,5)$。
【答案】
(1) $(1, -2)$
(2) $(1, 5)$
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标公式
2. 二次函数一般式系数识别
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查二次函数顶点坐标公式的直接运用，解题的关键是准确识别一般式中各项的系数符号，计算时细心即可避免错误。
【难度系数】
0.8
6. 已知二次函数 $y=-x^2+2x+3$。
(1)确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，说出随着$x$的增大，$y$的变化情况；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象。
(1)确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，说出随着$x$的增大，$y$的变化情况；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象。
答案
(1)抛物线的开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, 4)$。当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 如图所示
。解析
【分析】
(1) 求解二次函数的基本性质可按以下思路：首先根据二次项系数a的符号判断开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下；再通过配方法将一般式转化为顶点式，或直接用对称轴、顶点坐标公式，得到对称轴和顶点坐标；最后结合开口方向和对称轴判断函数的增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。
(2) 画二次函数图象时，先确定关键点：顶点、与x轴交点、与y轴交点及y轴交点的对称点，描出这些点后用平滑曲线顺次连接即可得到准确的函数图象。
【解析】
(1) 对二次函数$y=-x^2+2x+3$，首先看二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下。
用配方法将函数转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+3\\&=-(x^2-2x)+3\\&=-(x^2-2x+1-1)+3\\&=-(x-1)^2+1+3\\&=-(x-1)^2+4\end{aligned}$
由此可得，抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$。
结合开口向下的性质：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 绘制图象步骤：
① 找关键点：顶点$(1,4)$；令$y=0$，解方程$-x^2+2x+3=0$，得$x_1=-1$，$x_2=3$，即与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$；令$x=0$，得$y=3$，即与y轴交点为$(0,3)$，其关于对称轴$x=1$的对称点为$(2,3)$。
② 在平面直角坐标系中描出上述5个点，再用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
【答案】
(1)抛物线的开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, 4)$。当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 如图所示。
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的图象；配方法
【点评】
本题属于二次函数的基础题，重点考查二次函数基本性质的应用和图象的绘制方法，掌握配方法或二次函数对称轴、顶点坐标公式是解题的核心，绘制图象时找准关键点能有效提升作图的准确率。
【难度系数】
0.8
(1) 求解二次函数的基本性质可按以下思路：首先根据二次项系数a的符号判断开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下；再通过配方法将一般式转化为顶点式，或直接用对称轴、顶点坐标公式，得到对称轴和顶点坐标；最后结合开口方向和对称轴判断函数的增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。
(2) 画二次函数图象时，先确定关键点：顶点、与x轴交点、与y轴交点及y轴交点的对称点，描出这些点后用平滑曲线顺次连接即可得到准确的函数图象。
【解析】
(1) 对二次函数$y=-x^2+2x+3$，首先看二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下。
用配方法将函数转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+3\\&=-(x^2-2x)+3\\&=-(x^2-2x+1-1)+3\\&=-(x-1)^2+1+3\\&=-(x-1)^2+4\end{aligned}$
由此可得，抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$。
结合开口向下的性质：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 绘制图象步骤：
① 找关键点：顶点$(1,4)$；令$y=0$，解方程$-x^2+2x+3=0$，得$x_1=-1$，$x_2=3$，即与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$；令$x=0$，得$y=3$，即与y轴交点为$(0,3)$，其关于对称轴$x=1$的对称点为$(2,3)$。
② 在平面直角坐标系中描出上述5个点，再用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
【答案】
(1)抛物线的开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1, 4)$。当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 如图所示
。【知识点】
二次函数的性质；二次函数的图象；配方法
【点评】
本题属于二次函数的基础题，重点考查二次函数基本性质的应用和图象的绘制方法，掌握配方法或二次函数对称轴、顶点坐标公式是解题的核心，绘制图象时找准关键点能有效提升作图的准确率。
【难度系数】
0.8
