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2. 若$A(-4,y_1)$，$B(-2,y_2)$，$C(1,y_3)$为二次函数$y=3(x+1)^2$的图象上的三点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是(
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
C
).A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
答案
2. C
解析
【分析】
要比较三个点的纵坐标大小，可利用二次函数的性质解题：首先明确二次函数$y=a(x-h)^2$的图象特征，a＞0时抛物线开口向上，对称轴为直线x=h，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。解题步骤为：第一步确定该二次函数的开口方向和对称轴，第二步计算三个点到对称轴的距离，第三步根据距离大小推导y值的大小关系，也可直接将三点横坐标代入函数计算y值后比较。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=3(x+1)^2$：
1. 确定图象性质：$\because a=3＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$；
2. 计算各点到对称轴的水平距离：
点A$(-4,y_1)$到对称轴的距离：$\vert -4 - (-1) \vert = 3$
点B$(-2,y_2)$到对称轴的距离：$\vert -2 - (-1) \vert = 1$
点C$(1,y_3)$到对称轴的距离：$\vert 1 - (-1) \vert = 2$
3. 比较y值大小：开口向上的抛物线上，点到对称轴距离越远，函数值越大，$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
（验证：代入计算得$y_1=3×(-4+1)^2=27$，$y_2=3×(-2+1)^2=3$，$y_3=3×(1+1)^2=12$，同样可得$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$）
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，核心是掌握顶点式二次函数的对称轴、开口方向与函数值变化规律的关系，利用对称性比较函数值大小的方法比直接代入计算更高效，需要注意不要记错顶点式对应的对称轴。
【难度系数】
0.7
要比较三个点的纵坐标大小，可利用二次函数的性质解题：首先明确二次函数$y=a(x-h)^2$的图象特征，a＞0时抛物线开口向上，对称轴为直线x=h，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。解题步骤为：第一步确定该二次函数的开口方向和对称轴，第二步计算三个点到对称轴的距离，第三步根据距离大小推导y值的大小关系，也可直接将三点横坐标代入函数计算y值后比较。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=3(x+1)^2$：
1. 确定图象性质：$\because a=3＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$；
2. 计算各点到对称轴的水平距离：
点A$(-4,y_1)$到对称轴的距离：$\vert -4 - (-1) \vert = 3$
点B$(-2,y_2)$到对称轴的距离：$\vert -2 - (-1) \vert = 1$
点C$(1,y_3)$到对称轴的距离：$\vert 1 - (-1) \vert = 2$
3. 比较y值大小：开口向上的抛物线上，点到对称轴距离越远，函数值越大，$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
（验证：代入计算得$y_1=3×(-4+1)^2=27$，$y_2=3×(-2+1)^2=3$，$y_3=3×(1+1)^2=12$，同样可得$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$）
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，核心是掌握顶点式二次函数的对称轴、开口方向与函数值变化规律的关系，利用对称性比较函数值大小的方法比直接代入计算更高效，需要注意不要记错顶点式对应的对称轴。
【难度系数】
0.7
3. 在同一平面直角坐标系中，作$y=2(x+4)^2$，$y=-2x^2 -1$，$y=\frac{1}{2}x^2$的图象，下列结论正确的有________（填序号）。
①都是关于y轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图象都有最低点；④都与x轴有交点。
①都是关于y轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图象都有最低点；④都与x轴有交点。
答案
②
解析
【分析】
要解决这道题，需先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；$a＞0$时开口向上，图象有最低点，$a＜0$时开口向下，图象有最高点；判断函数与x轴是否有交点可令$y=0$，看方程是否有实数根。我们先分别求出三个二次函数的对应性质，再逐一验证4个结论是否正确即可。
【解析】
先分别分析三个二次函数的性质：
1. 函数$y=2(x+4)^2$：化为顶点式为$y=2(x-(-4))^2+0$，对称轴为直线$x=-4$，顶点坐标为$(-4,0)$（在x轴上）；$a=2＞0$，开口向上，有最低点；令$y=0$，解得$x=-4$，与x轴有交点$(-4,0)$。
2. 函数$y=-2x^2-1$：化为顶点式为$y=-2(x-0)^2+(-1)$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-1)$（在y轴上）；$a=-2＜0$，开口向下，有最高点；令$y=0$，得$-2x^2-1=0$，即$x^2=-\frac{1}{2}$，无实根，与x轴无交点。
3. 函数$y=\frac{1}{2}x^2$：化为顶点式为$y=\frac{1}{2}(x-0)^2+0$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$（在坐标轴上）；$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，有最低点；令$y=0$，解得$x=0$，与x轴有交点$(0,0)$。
再逐一判断结论：
①：第一个函数对称轴为$x=-4$，不关于y轴对称，①错误；
②：三个函数的顶点分别在x轴、y轴、原点，都在坐标轴上，②正确；
③：第二个函数开口向下，只有最高点，没有最低点，③错误；
④：第二个函数与x轴无交点，④错误。
【答案】
②
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数顶点式；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题核心是对不同形式二次函数性质的考查，只要熟练掌握顶点式对应的对称轴、顶点坐标、开口方向等的判断规则，逐个分析函数特征再验证结论即可，做题时需注意不要忽略开口方向对最值的影响，以及和x轴交点的判断方法。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；$a＞0$时开口向上，图象有最低点，$a＜0$时开口向下，图象有最高点；判断函数与x轴是否有交点可令$y=0$，看方程是否有实数根。我们先分别求出三个二次函数的对应性质，再逐一验证4个结论是否正确即可。
【解析】
先分别分析三个二次函数的性质：
1. 函数$y=2(x+4)^2$：化为顶点式为$y=2(x-(-4))^2+0$，对称轴为直线$x=-4$，顶点坐标为$(-4,0)$（在x轴上）；$a=2＞0$，开口向上，有最低点；令$y=0$，解得$x=-4$，与x轴有交点$(-4,0)$。
2. 函数$y=-2x^2-1$：化为顶点式为$y=-2(x-0)^2+(-1)$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-1)$（在y轴上）；$a=-2＜0$，开口向下，有最高点；令$y=0$，得$-2x^2-1=0$，即$x^2=-\frac{1}{2}$，无实根，与x轴无交点。
3. 函数$y=\frac{1}{2}x^2$：化为顶点式为$y=\frac{1}{2}(x-0)^2+0$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$（在坐标轴上）；$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，有最低点；令$y=0$，解得$x=0$，与x轴有交点$(0,0)$。
再逐一判断结论：
①：第一个函数对称轴为$x=-4$，不关于y轴对称，①错误；
②：三个函数的顶点分别在x轴、y轴、原点，都在坐标轴上，②正确；
③：第二个函数开口向下，只有最高点，没有最低点，③错误；
④：第二个函数与x轴无交点，④错误。
【答案】
②
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数顶点式；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题核心是对不同形式二次函数性质的考查，只要熟练掌握顶点式对应的对称轴、顶点坐标、开口方向等的判断规则，逐个分析函数特征再验证结论即可，做题时需注意不要忽略开口方向对最值的影响，以及和x轴交点的判断方法。
【难度系数】
0.7
4. 已知二次函数 $y=(x-3)^2$.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值.
(2)若点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$位于对称轴右侧的抛物线上，且 $x_1 ＜ x_2$，试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系.
(3)若点 $A(m-1, y_1)$，$B(m, y_2)$都在二次函数 $y=(x-3)^2$ 的图象上，且 $y_1 ＜ y_2$，则 $m$ 的取值范围为
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值.
(2)若点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$位于对称轴右侧的抛物线上，且 $x_1 ＜ x_2$，试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系.
(3)若点 $A(m-1, y_1)$，$B(m, y_2)$都在二次函数 $y=(x-3)^2$ 的图象上，且 $y_1 ＜ y_2$，则 $m$ 的取值范围为
$m＞\frac{7}{2}$
.答案
4. (1)开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标$(3,0)$；当$x=3$时，该函数有最小值0.
(2)$y_1＜y_2$
(3)$\because$点$A(m-1, y_1)$，$B(m, y_2)$都在二次函数$y=(x-3)^2$的图象上，且$y_1＜y_2$，$\therefore \frac{(m-1)+m}{2}＞3$，即$2m＞7$，解得$m＞\frac{7}{2}$。
(2)$y_1＜y_2$
(3)$\because$点$A(m-1, y_1)$，$B(m, y_2)$都在二次函数$y=(x-3)^2$的图象上，且$y_1＜y_2$，$\therefore \frac{(m-1)+m}{2}＞3$，即$2m＞7$，解得$m＞\frac{7}{2}$。
解析
【分析】
本题围绕二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质展开考查，解题思路如下：(1)对于顶点式$y=a(x-h)^2$，先根据$a$的正负判断开口方向，再直接得出对称轴、顶点坐标，结合开口方向判断函数最值；(2)先明确对称轴右侧函数的增减性，再根据x的大小关系对应判断y值的大小；(3)可结合开口向上的二次函数性质：函数值越小，对应点到对称轴的距离越近，或通过两点横坐标中点与对称轴的位置关系列不等式求解，也可直接将两点代入解析式列不等式求解，均符合当前学段知识要求。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-3)^2$中，二次项系数$a=1＞0$，因此图象开口向上；
根据顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，可得对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
因为图象开口向上，所以函数存在最小值，当$x=3$时，函数取最小值为$0$。
(2) 该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=3$，因此在对称轴右侧（$x＞3$的区间），$y$随$x$的增大而增大；
已知点$A$、$B$都在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，因此可得$y_1＜y_2$。
(3) 已知$y_1＜y_2$，且二次函数开口向上，说明两点横坐标的中点在对称轴右侧时，右侧点的函数值更大，因此列不等式：
$\frac{(m-1)+m}{2}＞3$
化简得：$2m-1＞6$，即$2m＞7$，解得$m＞\frac{7}{2}$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标$(3,0)$；当$x=3$时，该函数有最小值0。
(2) $y_1＜y_2$
(3) $m＞\frac{7}{2}$
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数的增减性，二次函数图象上点的特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，前两问直接考查顶点式的基础性质，第三问需要灵活运用函数的增减性或对称性求解，能够有效检验对二次函数$y=a(x-h)^2$性质的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质展开考查，解题思路如下：(1)对于顶点式$y=a(x-h)^2$，先根据$a$的正负判断开口方向，再直接得出对称轴、顶点坐标，结合开口方向判断函数最值；(2)先明确对称轴右侧函数的增减性，再根据x的大小关系对应判断y值的大小；(3)可结合开口向上的二次函数性质：函数值越小，对应点到对称轴的距离越近，或通过两点横坐标中点与对称轴的位置关系列不等式求解，也可直接将两点代入解析式列不等式求解，均符合当前学段知识要求。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-3)^2$中，二次项系数$a=1＞0$，因此图象开口向上；
根据顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，可得对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
因为图象开口向上，所以函数存在最小值，当$x=3$时，函数取最小值为$0$。
(2) 该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=3$，因此在对称轴右侧（$x＞3$的区间），$y$随$x$的增大而增大；
已知点$A$、$B$都在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，因此可得$y_1＜y_2$。
(3) 已知$y_1＜y_2$，且二次函数开口向上，说明两点横坐标的中点在对称轴右侧时，右侧点的函数值更大，因此列不等式：
$\frac{(m-1)+m}{2}＞3$
化简得：$2m-1＞6$，即$2m＞7$，解得$m＞\frac{7}{2}$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标$(3,0)$；当$x=3$时，该函数有最小值0。
(2) $y_1＜y_2$
(3) $m＞\frac{7}{2}$
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数的增减性，二次函数图象上点的特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，前两问直接考查顶点式的基础性质，第三问需要灵活运用函数的增减性或对称性求解，能够有效检验对二次函数$y=a(x-h)^2$性质的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 抛物线$y=5(x+3)^2 -4$的对称轴是
直线$x=-3$
，顶点坐标是$(-3, -4)$
。答案
1. 直线$x=-3$，$(-3, -4)$
解析
【分析】
本题给出的二次函数解析式是顶点式形式，解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质：该形式下函数的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。接下来需要将题干中的解析式和标准顶点式对照，注意题干中$(x+3)$可改写为$(x-(-3))$，常数项$-4$就是$k$的值，找到对应的$h$、$k$后代入性质即可得到结果，解题时要注意$h$的符号不要判断错误。
【解析】
解：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中抛物线解析式变形为标准顶点式形式：
$y=5(x+3)^2-4=5[x-(-3)]^2+(-4)$
可得$h=-3$，$k=-4$，
因此该抛物线的对称轴是直线$x=-3$，顶点坐标是$(-3,-4)$。
【答案】
直线$x=-3$，$(-3, -4)$
【知识点】
二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题关键是牢记顶点式中参数$h$、$k$对应的几何意义，注意$h$的符号不要混淆，掌握知识点后即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题给出的二次函数解析式是顶点式形式，解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质：该形式下函数的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。接下来需要将题干中的解析式和标准顶点式对照，注意题干中$(x+3)$可改写为$(x-(-3))$，常数项$-4$就是$k$的值，找到对应的$h$、$k$后代入性质即可得到结果，解题时要注意$h$的符号不要判断错误。
【解析】
解：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中抛物线解析式变形为标准顶点式形式：
$y=5(x+3)^2-4=5[x-(-3)]^2+(-4)$
可得$h=-3$，$k=-4$，
因此该抛物线的对称轴是直线$x=-3$，顶点坐标是$(-3,-4)$。
【答案】
直线$x=-3$，$(-3, -4)$
【知识点】
二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题关键是牢记顶点式中参数$h$、$k$对应的几何意义，注意$h$的符号不要混淆，掌握知识点后即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数 $y=-4(x+2)^2+5$，当 $x=$
$-2$
时，$y$ 有最大值是 $5$
；当 $x$ $＜-2$
时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。答案
2. $-2$，$5$，$＜-2$
解析
【分析】
本题给出的是二次函数的顶点式，解题思路如下：第一步先根据顶点式中二次项系数a的正负，判断抛物线的开口方向，确定函数有最大值还是最小值；第二步对照顶点式$y=a(x-h)^2+k$的结构，找到h、k的值，确定顶点坐标，即可得到y取最值时对应的x值和最值；第三步结合开口方向和对称轴（直线$x=h$），判断函数的增减区间，得到y随x增大而增大时x的取值范围。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，具有如下性质：
1. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为抛物线的最高点，此时函数有最大值；
2. 顶点坐标为$(h,k)$，当$x=h$时，$y$的最大值为$k$；
3. 对称轴为直线$x=h$，开口向下时，对称轴左侧（$x＜h$）$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧（$x＞h$）$y$随$x$的增大而减小。
将题中函数$y=-4(x+2)^2+5$变形为$y=-4[x-(-2)]^2+5$，可得：
$a=-4＜0$，$h=-2$，$k=5$。
因此：当$x=-2$时，$y$有最大值$5$；对称轴为直线$x=-2$，开口向下，故当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
$-2$，$5$，$＜-2$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的关键是准确识别顶点式中各参数的含义，牢记开口方向、对称轴与函数最值、增减性的对应关系，细心判断h的符号即可得分。
【难度系数】
0.85
本题给出的是二次函数的顶点式，解题思路如下：第一步先根据顶点式中二次项系数a的正负，判断抛物线的开口方向，确定函数有最大值还是最小值；第二步对照顶点式$y=a(x-h)^2+k$的结构，找到h、k的值，确定顶点坐标，即可得到y取最值时对应的x值和最值；第三步结合开口方向和对称轴（直线$x=h$），判断函数的增减区间，得到y随x增大而增大时x的取值范围。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，具有如下性质：
1. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为抛物线的最高点，此时函数有最大值；
2. 顶点坐标为$(h,k)$，当$x=h$时，$y$的最大值为$k$；
3. 对称轴为直线$x=h$，开口向下时，对称轴左侧（$x＜h$）$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧（$x＞h$）$y$随$x$的增大而减小。
将题中函数$y=-4(x+2)^2+5$变形为$y=-4[x-(-2)]^2+5$，可得：
$a=-4＜0$，$h=-2$，$k=5$。
因此：当$x=-2$时，$y$有最大值$5$；对称轴为直线$x=-2$，开口向下，故当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
$-2$，$5$，$＜-2$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的关键是准确识别顶点式中各参数的含义，牢记开口方向、对称轴与函数最值、增减性的对应关系，细心判断h的符号即可得分。
【难度系数】
0.85
3. 将抛物线$y=-4x^2$先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为
$y=-4(x-2)^2-1$
。答案
3. $y=-4(x-2)^2-1$
解析
【分析】
这道题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是掌握二次函数平移的核心规律：①平移过程中二次项系数a不变，抛物线的形状不会改变；②针对自变量x的左右平移遵循“左加右减”规则，即向左平移m个单位时，将x替换为x+m，向右平移m个单位时，将x替换为x-m；③针对函数整体的上下平移遵循“上加下减”规则，即向上平移n个单位时解析式整体加n，向下平移n个单位时解析式整体减n。解题时先处理向右平移的变换，再处理向下平移的变换即可。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=-4x^2$：
1. 先将抛物线向右平移2个单位，根据“左加右减”的规则，将解析式中的$x$替换为$x-2$，可得第一次平移后的解析式为$y=-4(x-2)^2$；
2. 再将得到的抛物线向下平移1个单位，根据“上加下减”的规则，在解析式整体后减去1，最终得到平移后的抛物线解析式。
【答案】
$y=-4(x-2)^2-1$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心考查平移规律的应用，解题时要注意“左加右减”是对自变量x本身做变换，若x前有非1的系数需要先提取系数再做变换，本题x系数为1可直接替换，牢记平移口诀即可快速得分。
【难度系数】
0.85
这道题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是掌握二次函数平移的核心规律：①平移过程中二次项系数a不变，抛物线的形状不会改变；②针对自变量x的左右平移遵循“左加右减”规则，即向左平移m个单位时，将x替换为x+m，向右平移m个单位时，将x替换为x-m；③针对函数整体的上下平移遵循“上加下减”规则，即向上平移n个单位时解析式整体加n，向下平移n个单位时解析式整体减n。解题时先处理向右平移的变换，再处理向下平移的变换即可。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=-4x^2$：
1. 先将抛物线向右平移2个单位，根据“左加右减”的规则，将解析式中的$x$替换为$x-2$，可得第一次平移后的解析式为$y=-4(x-2)^2$；
2. 再将得到的抛物线向下平移1个单位，根据“上加下减”的规则，在解析式整体后减去1，最终得到平移后的抛物线解析式。
【答案】
$y=-4(x-2)^2-1$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心考查平移规律的应用，解题时要注意“左加右减”是对自变量x本身做变换，若x前有非1的系数需要先提取系数再做变换，本题x系数为1可直接替换，牢记平移口诀即可快速得分。
【难度系数】
0.85
