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5. 已知二次函数$y=3(x-5)^2$，当$x$分别取$x_1$，$x_2$时，函数的值相等；当$x$取$\dfrac{x_1+x_2}{5}$时，函数的值是
27
。答案
5. 27
解析
【分析】
首先明确本题考查二次函数顶点式的性质，解题思路分为三步：第一步，根据二次函数$y=a(x-h)^2$的性质，确定给定抛物线的对称轴；第二步，利用“函数值相等的两个点关于抛物线对称轴对称”的性质，推导得到$x_1$与$x_2$的和；第三步，将$\frac{x_1+x_2}{5}$代入解析式计算对应的函数值即可。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-5)^2$，其图象为抛物线，对称轴为直线$x=5$。
∵ 当$x$分别取$x_1$、$x_2$时函数值相等，
∴ 点$(x_1,y)$和点$(x_2,y)$关于对称轴$x=5$对称，即两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{x_1+x_2}{2}=5$，解得$x_1+x_2=10$。
将$x=\frac{x_1+x_2}{5}=\frac{10}{5}=2$代入函数解析式：
$y=3×(2-5)^2=3×9=27$。
【答案】
27
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的对称性；二次函数求值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题关键是掌握顶点式二次函数的对称轴判断方法，以及函数值相等的两个点的对称关系，只要熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
首先明确本题考查二次函数顶点式的性质，解题思路分为三步：第一步，根据二次函数$y=a(x-h)^2$的性质，确定给定抛物线的对称轴；第二步，利用“函数值相等的两个点关于抛物线对称轴对称”的性质，推导得到$x_1$与$x_2$的和；第三步，将$\frac{x_1+x_2}{5}$代入解析式计算对应的函数值即可。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-5)^2$，其图象为抛物线，对称轴为直线$x=5$。
∵ 当$x$分别取$x_1$、$x_2$时函数值相等，
∴ 点$(x_1,y)$和点$(x_2,y)$关于对称轴$x=5$对称，即两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{x_1+x_2}{2}=5$，解得$x_1+x_2=10$。
将$x=\frac{x_1+x_2}{5}=\frac{10}{5}=2$代入函数解析式：
$y=3×(2-5)^2=3×9=27$。
【答案】
27
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的对称性；二次函数求值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题关键是掌握顶点式二次函数的对称轴判断方法，以及函数值相等的两个点的对称关系，只要熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
6. (1)填表，在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
$y=-x^2$；$y=-(x+2)^2$；$y=-(x-2)^2$。
(2)写出抛物线 $y=a(x-h)^2$ 与 $y=ax^2$ 的关系。
$y=-x^2$；$y=-(x+2)^2$；$y=-(x-2)^2$。
(2)写出抛物线 $y=a(x-h)^2$ 与 $y=ax^2$ 的关系。
答案
(1)图、表略
(2)当$h＞0$时，抛物线$y=ax^2$向右平移$h$个单位得到$y=a(x-h)^2$；当$h＜0$时，抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位得到$y=a(x-h)^2$。
(2)当$h＞0$时，抛物线$y=ax^2$向右平移$h$个单位得到$y=a(x-h)^2$；当$h＜0$时，抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位得到$y=a(x-h)^2$。
解析
【分析】
(1)绘制二次函数图像遵循列表、描点、连线三步：首先分别选取三个二次函数顶点附近对称的x取值，代入函数式计算出对应y值完成填表；再将每组(x,y)对应坐标点在直角坐标系中标出；最后用平滑曲线顺次连接各点即可得到对应函数图像。
(2)抛物线的形状和开口方向由a决定，两个函数的a值相同，因此仅存在位置差异，可结合函数平移的“左加右减”规律，分h＞0和h＜0两种情况说明两条抛物线的平移关系。
【解析】
(1)①列表：对$y=-x^2$，选取$x=-2,-1,0,1,2$，计算得对应y值分别为-4,-1,0,-1,-4；对$y=-(x+2)^2$，选取$x=-4,-3,-2,-1,0$，计算得对应y值分别为-4,-1,0,-1,-4；对$y=-(x-2)^2$，选取$x=0,1,2,3,4$，计算得对应y值分别为-4,-1,0,-1,-4，将上述值填入对应表格。②描点：在直角坐标系中标记出上述所有坐标点。③连线：用平滑曲线依次连接每个函数对应的点，即可得到三个函数的图象。
(2)两个抛物线的二次项系数a相同，因此开口方向、开口大小完全相同，仅位置不同：当$h＞0$时，将抛物线$y=ax^2$向右平移$h$个单位，就得到$y=a(x-h)^2$；当$h＜0$时，将抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位，就得到$y=a(x-h)^2$。
【答案】
(1)图、表略
(2)当$h＞0$时，抛物线$y=ax^2$向右平移$h$个单位得到$y=a(x-h)^2$；当$h＜0$时，抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位得到$y=a(x-h)^2$。
【知识点】
1.二次函数图象绘制
2.二次函数平移规律
3.顶点式二次函数性质
【点评】
本题立足基础，通过画图探究的方式引导学生理解形状相同的抛物线之间的平移关系，掌握“左加右减”的平移规律，是二次函数图象性质部分的核心基础题，熟练掌握该规律可为后续学习更复杂的二次函数变换奠定基础。
【难度系数】
0.8
(1)绘制二次函数图像遵循列表、描点、连线三步：首先分别选取三个二次函数顶点附近对称的x取值，代入函数式计算出对应y值完成填表；再将每组(x,y)对应坐标点在直角坐标系中标出；最后用平滑曲线顺次连接各点即可得到对应函数图像。
(2)抛物线的形状和开口方向由a决定，两个函数的a值相同，因此仅存在位置差异，可结合函数平移的“左加右减”规律，分h＞0和h＜0两种情况说明两条抛物线的平移关系。
【解析】
(1)①列表：对$y=-x^2$，选取$x=-2,-1,0,1,2$，计算得对应y值分别为-4,-1,0,-1,-4；对$y=-(x+2)^2$，选取$x=-4,-3,-2,-1,0$，计算得对应y值分别为-4,-1,0,-1,-4；对$y=-(x-2)^2$，选取$x=0,1,2,3,4$，计算得对应y值分别为-4,-1,0,-1,-4，将上述值填入对应表格。②描点：在直角坐标系中标记出上述所有坐标点。③连线：用平滑曲线依次连接每个函数对应的点，即可得到三个函数的图象。
(2)两个抛物线的二次项系数a相同，因此开口方向、开口大小完全相同，仅位置不同：当$h＞0$时，将抛物线$y=ax^2$向右平移$h$个单位，就得到$y=a(x-h)^2$；当$h＜0$时，将抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位，就得到$y=a(x-h)^2$。
【答案】
(1)图、表略
(2)当$h＞0$时，抛物线$y=ax^2$向右平移$h$个单位得到$y=a(x-h)^2$；当$h＜0$时，抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位得到$y=a(x-h)^2$。
【知识点】
1.二次函数图象绘制
2.二次函数平移规律
3.顶点式二次函数性质
【点评】
本题立足基础，通过画图探究的方式引导学生理解形状相同的抛物线之间的平移关系，掌握“左加右减”的平移规律，是二次函数图象性质部分的核心基础题，熟练掌握该规律可为后续学习更复杂的二次函数变换奠定基础。
【难度系数】
0.8
1. 如果$y=kx+b$的图象在第一、二、三象限内，那么函数$y=k(x-b)^2$的图象大致是(
D
)。答案
1. D
解析
【分析】
解题先从已知一次函数的图象所在象限入手，先确定参数k、b的符号，再结合二次函数顶点式的性质判断开口方向和顶点位置，逐一排除错误选项即可得到答案。第一步：回忆一次函数图象与系数的关系，y=kx+b过一、二、三象限，说明斜率k＞0，与y轴交点在正半轴，故b＞0；第二步：二次函数y=k(x-b)²为顶点式，二次项系数为k＞0，因此开口向上，可先排除开口向下的A、B选项；第三步：顶点式y=a(x-h)²的顶点坐标为(h,0)，本题中h=b＞0，因此顶点在x轴正半轴，排除顶点在x负半轴的C选项，即可得到正确答案。
【解析】
∵一次函数$y=kx+b$的图象在第一、二、三象限，
根据一次函数图象性质可得：$k＞0$，$b＞0$。
对于二次函数$y=k(x-b)^2$：
1. 二次项系数为$k＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的A、B选项；
2. 该函数为顶点式，顶点坐标为$(b,0)$，结合$b＞0$可知顶点位于$x$轴正半轴，排除顶点在$x$轴负半轴的C选项。
综上只有D选项符合特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数$y=a(x-h)^2$的图象与性质
【点评】
本题是一次函数与二次函数图象的综合基础题，解题核心是先通过一次函数图象确定参数符号，再结合二次函数顶点式的开口、顶点特征判断图象，能有效考查学生对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题先从已知一次函数的图象所在象限入手，先确定参数k、b的符号，再结合二次函数顶点式的性质判断开口方向和顶点位置，逐一排除错误选项即可得到答案。第一步：回忆一次函数图象与系数的关系，y=kx+b过一、二、三象限，说明斜率k＞0，与y轴交点在正半轴，故b＞0；第二步：二次函数y=k(x-b)²为顶点式，二次项系数为k＞0，因此开口向上，可先排除开口向下的A、B选项；第三步：顶点式y=a(x-h)²的顶点坐标为(h,0)，本题中h=b＞0，因此顶点在x轴正半轴，排除顶点在x负半轴的C选项，即可得到正确答案。
【解析】
∵一次函数$y=kx+b$的图象在第一、二、三象限，
根据一次函数图象性质可得：$k＞0$，$b＞0$。
对于二次函数$y=k(x-b)^2$：
1. 二次项系数为$k＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的A、B选项；
2. 该函数为顶点式，顶点坐标为$(b,0)$，结合$b＞0$可知顶点位于$x$轴正半轴，排除顶点在$x$轴负半轴的C选项。
综上只有D选项符合特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数$y=a(x-h)^2$的图象与性质
【点评】
本题是一次函数与二次函数图象的综合基础题，解题核心是先通过一次函数图象确定参数符号，再结合二次函数顶点式的开口、顶点特征判断图象，能有效考查学生对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
