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3. 若正比例函数$y=mx$，$y$随$x$的增大而增大，则它和二次函数$y=mx^2+m$的图象大致是(
(A) (B) (C) (D)
D
).(A) (B) (C) (D)
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先从已知的正比例函数性质入手：首先根据“y随x的增大而增大”确定比例系数m的符号，据此先排除不符合正比例函数图象特征的选项；再结合m的符号分析二次函数$y=mx^2+m$的开口方向、顶点位置，以及两类函数的增长速度差异，最终筛选出正确选项。
【解析】
1. 确定参数$m$的符号，排除部分选项
已知正比例函数$y=mx$中，$y$随$x$的增大而增大，根据正比例函数的性质可得$m＞0$，因此正比例函数图象经过第一、三象限。
选项A、C中的正比例函数经过第二、四象限，对应$m＜0$，不符合要求，故排除A、C。
2. 分析二次函数图象特征，筛选剩余选项
对于二次函数$y=mx^2+m$：
二次项系数$m＞0$，因此抛物线开口向上；
当$x=0$时，$y=m＞0$，即抛物线顶点为$(0,m)$，在$y$轴正半轴，且抛物线所有点的纵坐标都大于等于$m＞0$，与$x$轴无交点；
二次函数的增长速度快于一次函数，当$x$足够大时，抛物线应位于正比例函数上方，且抛物线右支比直线更陡。
观察选项B：$x$较大时正比例函数在抛物线上方，不符合增长规律，排除B；选项D完全符合上述所有特征。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质，二次函数$y=ax²+k$的图象与性质，函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的典型题型，需要结合两类函数的性质联动分析参数的符号，再利用参数符号反推图象特征，能有效考查对函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的正比例函数性质入手：首先根据“y随x的增大而增大”确定比例系数m的符号，据此先排除不符合正比例函数图象特征的选项；再结合m的符号分析二次函数$y=mx^2+m$的开口方向、顶点位置，以及两类函数的增长速度差异，最终筛选出正确选项。
【解析】
1. 确定参数$m$的符号，排除部分选项
已知正比例函数$y=mx$中，$y$随$x$的增大而增大，根据正比例函数的性质可得$m＞0$，因此正比例函数图象经过第一、三象限。
选项A、C中的正比例函数经过第二、四象限，对应$m＜0$，不符合要求，故排除A、C。
2. 分析二次函数图象特征，筛选剩余选项
对于二次函数$y=mx^2+m$：
二次项系数$m＞0$，因此抛物线开口向上；
当$x=0$时，$y=m＞0$，即抛物线顶点为$(0,m)$，在$y$轴正半轴，且抛物线所有点的纵坐标都大于等于$m＞0$，与$x$轴无交点；
二次函数的增长速度快于一次函数，当$x$足够大时，抛物线应位于正比例函数上方，且抛物线右支比直线更陡。
观察选项B：$x$较大时正比例函数在抛物线上方，不符合增长规律，排除B；选项D完全符合上述所有特征。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质，二次函数$y=ax²+k$的图象与性质，函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的典型题型，需要结合两类函数的性质联动分析参数的符号，再利用参数符号反推图象特征，能有效考查对函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 已知 $ m $ 是常数，它满足以下要求：
(1)抛物线 $ y=(m+1)x^2 $ 的最高点就是它的顶点。
(2)抛物线 $ y=x^2+m $ 的顶点在 $ x $ 轴下方。
(3)从左往右看，抛物线 $ y=(m+3)x^2+1 $ 在 $ y $ 轴左侧部分是下降的。
写出一个常数 $ m $ 的可能取值是
(1)抛物线 $ y=(m+1)x^2 $ 的最高点就是它的顶点。
(2)抛物线 $ y=x^2+m $ 的顶点在 $ x $ 轴下方。
(3)从左往右看，抛物线 $ y=(m+3)x^2+1 $ 在 $ y $ 轴左侧部分是下降的。
写出一个常数 $ m $ 的可能取值是
-2(答案不唯一，写出一个符合$-3＜m＜-1$的值即可)
。答案
4. -2(答案不唯一，写出一个符合$-3＜m＜-1$的值即可)
解析
【分析】
解题时需将每个抛物线的图象特征转化为关于参数m的不等式，再求解所有不等式的公共解集，最后在解集范围内任选一个值即可。具体思考步骤：①回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：开口方向由二次项系数a的符号决定，$a＞0$时开口向上，顶点为最低点，y轴左侧y随x增大而减小；$a＜0$时开口向下，顶点为最高点；顶点坐标为$(0,k)$；②分别根据三个条件列出关于m的不等式；③求解不等式组得到m的取值范围，在范围内取任意一个值即为答案。
【解析】
分别根据三个条件推导m的取值范围：
1. 抛物线$y=(m+1)x^2$的最高点为顶点，说明抛物线开口向下，二次项系数不为0，因此：
$m+1＜0$，解得$m＜-1$；
2. 抛物线$y=x^2+m$的顶点坐标为$(0,m)$，顶点在x轴下方，即顶点纵坐标小于0，因此：
$m＜0$；
3. 抛物线$y=(m+3)x^2+1$在y轴左侧部分从左往右看是下降的，即$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，说明抛物线开口向上，因此：
$m+3＞0$，解得$m＞-3$；
综合以上三个不等式，取公共解集得：$-3＜m＜-1$，在该区间内任取一个值即可，例如$m=-2$。
【答案】
-2（答案不唯一，写出一个符合$-3＜m＜-1$的值即可）
【知识点】
二次函数的图象性质；解一元一次不等式；不等式组的解集
【点评】
本题是二次函数基础性质的综合应用，核心是将图象的几何特征转化为代数不等式，考察学生对二次函数开口方向、顶点坐标、增减性等基础性质的掌握程度，解题时注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时需将每个抛物线的图象特征转化为关于参数m的不等式，再求解所有不等式的公共解集，最后在解集范围内任选一个值即可。具体思考步骤：①回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：开口方向由二次项系数a的符号决定，$a＞0$时开口向上，顶点为最低点，y轴左侧y随x增大而减小；$a＜0$时开口向下，顶点为最高点；顶点坐标为$(0,k)$；②分别根据三个条件列出关于m的不等式；③求解不等式组得到m的取值范围，在范围内取任意一个值即为答案。
【解析】
分别根据三个条件推导m的取值范围：
1. 抛物线$y=(m+1)x^2$的最高点为顶点，说明抛物线开口向下，二次项系数不为0，因此：
$m+1＜0$，解得$m＜-1$；
2. 抛物线$y=x^2+m$的顶点坐标为$(0,m)$，顶点在x轴下方，即顶点纵坐标小于0，因此：
$m＜0$；
3. 抛物线$y=(m+3)x^2+1$在y轴左侧部分从左往右看是下降的，即$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，说明抛物线开口向上，因此：
$m+3＞0$，解得$m＞-3$；
综合以上三个不等式，取公共解集得：$-3＜m＜-1$，在该区间内任取一个值即可，例如$m=-2$。
【答案】
-2（答案不唯一，写出一个符合$-3＜m＜-1$的值即可）
【知识点】
二次函数的图象性质；解一元一次不等式；不等式组的解集
【点评】
本题是二次函数基础性质的综合应用，核心是将图象的几何特征转化为代数不等式，考察学生对二次函数开口方向、顶点坐标、增减性等基础性质的掌握程度，解题时注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
1. 二次函数$y=(x-1)^2$的图象大致是(
C
). 答案
1. C
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，可从开口方向、顶点坐标、对称轴三个关键特征入手：首先根据二次项系数的正负判断开口方向，排除不符合的选项；再根据顶点式的特点确定顶点坐标和对称轴，对比剩余选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=(x-1)^2$：
1. 判断开口方向：解析式中二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B、D开口向下，可直接排除；
2. 确定顶点与对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$，本题中$h=1$，因此抛物线顶点为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
选项A的顶点为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$，不符合要求，排除；选项C符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题核心是掌握顶点式中参数与图象开口、顶点、对称轴的对应关系，掌握对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数的图象，可从开口方向、顶点坐标、对称轴三个关键特征入手：首先根据二次项系数的正负判断开口方向，排除不符合的选项；再根据顶点式的特点确定顶点坐标和对称轴，对比剩余选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=(x-1)^2$：
1. 判断开口方向：解析式中二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B、D开口向下，可直接排除；
2. 确定顶点与对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$，本题中$h=1$，因此抛物线顶点为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
选项A的顶点为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=-1$，不符合要求，排除；选项C符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题核心是掌握顶点式中参数与图象开口、顶点、对称轴的对应关系，掌握对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 对于二次函数$y=-2(x+3)^2$的图象，下列说法正确的是(
A.开口向上
B.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小
C.对称轴是直线$x=3$
D.顶点坐标为$(-2,-3)$
B
).A.开口向上
B.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小
C.对称轴是直线$x=3$
D.顶点坐标为$(-2,-3)$
答案
2. B
解析
【分析】
要判断二次函数$y=a(x-h)^2$相关性质的正误，首先需明确顶点式中参数$a$、$h$的意义：$a$决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$；再结合开口方向判断增减性：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，开口向上则相反。先将题中函数化为标准顶点式$y=-2[x-(-3)]^2$，得到$a=-2$，$h=-3$，再逐一核对选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x+3)^2=-2[x-(-3)]^2$：
1. 分析A选项：$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A选项错误；
2. 分析B选项：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-3$，因此当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小，B选项正确；
3. 分析C选项：抛物线对称轴为直线$x=h=-3$，不是$x=3$，C选项错误；
4. 分析D选项：抛物线顶点坐标为$(h,0)=(-3,0)$，不是$(-2,-3)$，D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础性质，属于常规基础题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数$y=a(x-h)^2$相关性质的正误，首先需明确顶点式中参数$a$、$h$的意义：$a$决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$；再结合开口方向判断增减性：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，开口向上则相反。先将题中函数化为标准顶点式$y=-2[x-(-3)]^2$，得到$a=-2$，$h=-3$，再逐一核对选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x+3)^2=-2[x-(-3)]^2$：
1. 分析A选项：$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A选项错误；
2. 分析B选项：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-3$，因此当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小，B选项正确；
3. 分析C选项：抛物线对称轴为直线$x=h=-3$，不是$x=3$，C选项错误；
4. 分析D选项：抛物线顶点坐标为$(h,0)=(-3,0)$，不是$(-2,-3)$，D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础性质，属于常规基础题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征是解题的核心。
【难度系数】
0.8
3. 函数$y=-2(x+1)^2$的图象可以由函数$y=-2x^2$的图象向
左
平移1个单位得到；当x=-1
时，y有最大值0
。答案
3. 左 =-1 0
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步判断图象平移方向，可根据二次函数平移“左加右减”的规律，对比两个函数表达式中自变量x的变化，也可以通过两个函数顶点坐标的位置变化判断；第二步求最值，先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，找到对应顶点的横、纵坐标即可。
【解析】
1. 判断平移方向：
二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”的规律，函数$y=-2(x+1)^2$是将$y=-2x^2$中的$x$替换为$x+1$，符合“加”的特征，因此是向左平移1个单位得到。
也可通过顶点坐标验证：$y=-2x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=-2(x+1)^2$的顶点为$(-1,0)$，顶点从$(0,0)$向左移动1个单位到$(-1,0)$，因此图象向左平移1个单位。
2. 求最值：
在$y=-2(x+1)^2$中，二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标。该函数顶点坐标为$(-1,0)$，因此当$x=-1$时，$y$有最大值$0$。
【答案】
左；=-1；0
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的最值；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础考点，重点考查平移规律和最值性质，熟练掌握相关基础结论就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：第一步判断图象平移方向，可根据二次函数平移“左加右减”的规律，对比两个函数表达式中自变量x的变化，也可以通过两个函数顶点坐标的位置变化判断；第二步求最值，先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，找到对应顶点的横、纵坐标即可。
【解析】
1. 判断平移方向：
二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”的规律，函数$y=-2(x+1)^2$是将$y=-2x^2$中的$x$替换为$x+1$，符合“加”的特征，因此是向左平移1个单位得到。
也可通过顶点坐标验证：$y=-2x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=-2(x+1)^2$的顶点为$(-1,0)$，顶点从$(0,0)$向左移动1个单位到$(-1,0)$，因此图象向左平移1个单位。
2. 求最值：
在$y=-2(x+1)^2$中，二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标。该函数顶点坐标为$(-1,0)$，因此当$x=-1$时，$y$有最大值$0$。
【答案】
左；=-1；0
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的最值；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础考点，重点考查平移规律和最值性质，熟练掌握相关基础结论就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
4. 有一条顶点在$x$轴上的抛物线，其形状和开口方向与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的相同，并且对称轴是直线$x=2$，这条抛物线的解析式是
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
。答案
4. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状，两抛物线开口方向、形状完全相同时，a值相等，可先确定a的取值；其次，抛物线顶点在x轴上，说明顶点的纵坐标为0，且顶点在对称轴上，结合对称轴为x=2，就能得到顶点坐标；最后将a和顶点坐标代入二次函数顶点式，即可求出抛物线解析式。
【解析】
解：① 已知所求抛物线的形状和开口方向与$y=\frac{1}{2}x^2$相同，因此二次项系数$a=\frac{1}{2}$；
② 因为抛物线顶点在x轴上，且对称轴为直线$x=2$，所以抛物线的顶点坐标为$(2,0)$；
③ 二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），将$a=\frac{1}{2}$、$h=2$、$k=0$代入得：
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+0=\frac{1}{2}(x-2)^2$
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数系数的意义
3. 抛物线对称轴性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考点是顶点式的运用，只要掌握二次项系数的几何意义、顶点与对称轴的关系，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先，二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状，两抛物线开口方向、形状完全相同时，a值相等，可先确定a的取值；其次，抛物线顶点在x轴上，说明顶点的纵坐标为0，且顶点在对称轴上，结合对称轴为x=2，就能得到顶点坐标；最后将a和顶点坐标代入二次函数顶点式，即可求出抛物线解析式。
【解析】
解：① 已知所求抛物线的形状和开口方向与$y=\frac{1}{2}x^2$相同，因此二次项系数$a=\frac{1}{2}$；
② 因为抛物线顶点在x轴上，且对称轴为直线$x=2$，所以抛物线的顶点坐标为$(2,0)$；
③ 二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），将$a=\frac{1}{2}$、$h=2$、$k=0$代入得：
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+0=\frac{1}{2}(x-2)^2$
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数系数的意义
3. 抛物线对称轴性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考点是顶点式的运用，只要掌握二次项系数的几何意义、顶点与对称轴的关系，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
