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6. (1)填表，在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并写出它们共同的性质：
$y=-2x^2$；$y=-2x^2+1$；$y=-2x^2-1$.
(2)写出抛物线$y=ax^2+k$与$y=ax^2$的关系.
$y=-2x^2$；$y=-2x^2+1$；$y=-2x^2-1$.
(2)写出抛物线$y=ax^2+k$与$y=ax^2$的关系.
答案
(1)图、表略，共同的性质：开口向下；对称轴都是y轴；在对称轴左边，y随x的增大而增大；在对称轴右边，y随x的增大而减小。
(2)抛物线$y=ax^2 +k$与$y=ax^2$的开口方向及对称轴相同。当$k＞0$时，抛物线$y=ax^2 +k$由$y=ax^2$向上平移$k$个单位得到；当$k＜0$时，抛物线$y=ax^2 +k$由$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位得到。
(2)抛物线$y=ax^2 +k$与$y=ax^2$的开口方向及对称轴相同。当$k＞0$时，抛物线$y=ax^2 +k$由$y=ax^2$向上平移$k$个单位得到；当$k＜0$时，抛物线$y=ax^2 +k$由$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位得到。
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：参数$a$决定抛物线的开口方向、开口大小和增减性趋势，该类函数对称轴均为y轴（直线$x=0$）。第(1)问中三个函数的二次项系数$a$都是$-2$，因此开口方向、开口大小、对称轴、增减性规律完全一致，提取共有特征即可得到共同性质；第(2)问对比$y=ax^2+k$和$y=ax^2$的表达式，二者仅常数项不同，结合图象平移“上加下减”的规律，就能明确两个抛物线的位置关系，同时$a$相同说明二者的开口方向、对称轴等特征一致。
【解析】
(1) 三个函数的二次项系数均为$-2＜0$，且不含一次项：
① 开口方向都向下；
② 对称轴都是y轴（直线$x=0$）；
③ 开口向下的二次函数增减性为：对称轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧（$x＞0$）$y$随$x$的增大而减小，上述即为三个函数的共同性质。
(2) $y=ax^2+k$与$y=ax^2$的二次项系数$a$相同，因此开口方向、开口大小、对称轴完全一致，仅图象位置不同：
当$k＞0$时，$y=ax^2+k$是$y=ax^2$向上平移$k$个单位得到的；
当$k＜0$时，$y=ax^2+k$是$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位得到的。
【答案】
(1)图、表略，共同的性质：开口向下；对称轴都是y轴；在对称轴左边，y随x的增大而增大；在对称轴右边，y随x的增大而减小。
(2)抛物线$y=ax^2 +k$与$y=ax^2$的开口方向及对称轴相同。当$k＞0$时，抛物线$y=ax^2 +k$由$y=ax^2$向上平移$k$个单位得到；当$k＜0$时，抛物线$y=ax^2 +k$由$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位得到。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象平移规律
3. 二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，重点考察参数$a$、$k$对二次函数图象的影响，熟练掌握“$a$定开口形状，$k$定上下平移”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：参数$a$决定抛物线的开口方向、开口大小和增减性趋势，该类函数对称轴均为y轴（直线$x=0$）。第(1)问中三个函数的二次项系数$a$都是$-2$，因此开口方向、开口大小、对称轴、增减性规律完全一致，提取共有特征即可得到共同性质；第(2)问对比$y=ax^2+k$和$y=ax^2$的表达式，二者仅常数项不同，结合图象平移“上加下减”的规律，就能明确两个抛物线的位置关系，同时$a$相同说明二者的开口方向、对称轴等特征一致。
【解析】
(1) 三个函数的二次项系数均为$-2＜0$，且不含一次项：
① 开口方向都向下；
② 对称轴都是y轴（直线$x=0$）；
③ 开口向下的二次函数增减性为：对称轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧（$x＞0$）$y$随$x$的增大而减小，上述即为三个函数的共同性质。
(2) $y=ax^2+k$与$y=ax^2$的二次项系数$a$相同，因此开口方向、开口大小、对称轴完全一致，仅图象位置不同：
当$k＞0$时，$y=ax^2+k$是$y=ax^2$向上平移$k$个单位得到的；
当$k＜0$时，$y=ax^2+k$是$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位得到的。
【答案】
(1)图、表略，共同的性质：开口向下；对称轴都是y轴；在对称轴左边，y随x的增大而增大；在对称轴右边，y随x的增大而减小。
(2)抛物线$y=ax^2 +k$与$y=ax^2$的开口方向及对称轴相同。当$k＞0$时，抛物线$y=ax^2 +k$由$y=ax^2$向上平移$k$个单位得到；当$k＜0$时，抛物线$y=ax^2 +k$由$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位得到。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象平移规律
3. 二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，重点考察参数$a$、$k$对二次函数图象的影响，熟练掌握“$a$定开口形状，$k$定上下平移”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 函数$y=ax^2 - a(a≠0)$的图象可能是下列图象中的( 
).
).答案
D
解析
【分析】
解题时先结合二次函数解析式的特征分析图象性质：该函数无一次项，因此对称轴是y轴，顶点在y轴上，可先排除顶点不在y轴的选项B；接下来根据a的正负分类讨论：①若a＞0，抛物线开口向上，顶点纵坐标为-a＜0，即顶点在y轴负半轴，据此可排除顶点在y轴正半轴的选项A；②若a＜0，抛物线开口向下，顶点纵坐标为-a＞0，即顶点在y轴正半轴，据此可排除顶点在y轴负半轴的选项C，剩余选项D符合要求。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2 - a(a≠0)$：
1. 分析基本性质：函数一次项系数为0，因此对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-a)$，且$a≠0$，因此顶点不可能在原点。
2. 初步排除：选项B的顶点不在y轴上，对称轴不是y轴，不符合函数性质，排除B。
3. 分类讨论：
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点纵坐标$-a＜0$，即顶点在y轴负半轴，选项A开口向上但顶点在y轴正半轴，不符合，排除A；
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点纵坐标$-a＞0$，即顶点在y轴正半轴，选项C开口向下但顶点在y轴负半轴，不符合，排除C；
选项D开口向下，顶点在y轴正半轴，与x轴有两个交点，符合函数图象特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数开口方向；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题，解题核心是掌握二次函数$y=ax^2+k$的开口方向和a的关系、对称轴、顶点坐标的规律，结合排除法和分类讨论思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合二次函数解析式的特征分析图象性质：该函数无一次项，因此对称轴是y轴，顶点在y轴上，可先排除顶点不在y轴的选项B；接下来根据a的正负分类讨论：①若a＞0，抛物线开口向上，顶点纵坐标为-a＜0，即顶点在y轴负半轴，据此可排除顶点在y轴正半轴的选项A；②若a＜0，抛物线开口向下，顶点纵坐标为-a＞0，即顶点在y轴正半轴，据此可排除顶点在y轴负半轴的选项C，剩余选项D符合要求。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2 - a(a≠0)$：
1. 分析基本性质：函数一次项系数为0，因此对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-a)$，且$a≠0$，因此顶点不可能在原点。
2. 初步排除：选项B的顶点不在y轴上，对称轴不是y轴，不符合函数性质，排除B。
3. 分类讨论：
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点纵坐标$-a＜0$，即顶点在y轴负半轴，选项A开口向上但顶点在y轴正半轴，不符合，排除A；
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点纵坐标$-a＞0$，即顶点在y轴正半轴，选项C开口向下但顶点在y轴负半轴，不符合，排除C；
选项D开口向下，顶点在y轴正半轴，与x轴有两个交点，符合函数图象特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数开口方向；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题，解题核心是掌握二次函数$y=ax^2+k$的开口方向和a的关系、对称轴、顶点坐标的规律，结合排除法和分类讨论思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 对于抛物线$y=3x^2 -1$，下列说法不正确的是(
A.向上平移一个单位可得到抛物线$y=3x^2$
B.当$x=0$时，函数有最小值$-1$
C.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
D.与抛物线$y=-3x^2 +1$关于$x$轴对称
C
).A.向上平移一个单位可得到抛物线$y=3x^2$
B.当$x=0$时，函数有最小值$-1$
C.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
D.与抛物线$y=-3x^2 +1$关于$x$轴对称
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，涉及图象平移、对称、增减性、最值等知识点，解题时需先明确给定抛物线的基本特征（开口方向、对称轴、顶点坐标），再逐一验证每个选项的表述是否正确，最终选出说法不正确的选项。
【解析】
首先分析抛物线$y=3x^2-1$的基本性质：$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,-1)$。
验证选项A：根据二次函数平移规律“上加下减常数项”，将$y=3x^2-1$向上平移1个单位，解析式变为$y=3x^2-1+1=3x^2$，该选项表述正确，不符合题意。
验证选项B：由于抛物线开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=0$时，函数取得最小值$-1$，该选项表述正确，不符合题意。
验证选项C：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，因此该选项表述错误，符合题意。
验证选项D：若两个抛物线关于$x$轴对称，则相同横坐标对应的纵坐标互为相反数，将$y=3x^2-1$中的$y$替换为$-y$，得$-y=3x^2-1$，整理得$y=-3x^2+1$，与给定抛物线一致，该选项表述正确，不符合题意。
综上，说法不正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数图象平移；二次函数图象对称
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考查题，核心是熟练掌握$y=ax^2+k$的开口方向、增减性、最值规律，以及图象平移、对称的变换规则，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，涉及图象平移、对称、增减性、最值等知识点，解题时需先明确给定抛物线的基本特征（开口方向、对称轴、顶点坐标），再逐一验证每个选项的表述是否正确，最终选出说法不正确的选项。
【解析】
首先分析抛物线$y=3x^2-1$的基本性质：$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,-1)$。
验证选项A：根据二次函数平移规律“上加下减常数项”，将$y=3x^2-1$向上平移1个单位，解析式变为$y=3x^2-1+1=3x^2$，该选项表述正确，不符合题意。
验证选项B：由于抛物线开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=0$时，函数取得最小值$-1$，该选项表述正确，不符合题意。
验证选项C：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，因此该选项表述错误，符合题意。
验证选项D：若两个抛物线关于$x$轴对称，则相同横坐标对应的纵坐标互为相反数，将$y=3x^2-1$中的$y$替换为$-y$，得$-y=3x^2-1$，整理得$y=-3x^2+1$，与给定抛物线一致，该选项表述正确，不符合题意。
综上，说法不正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数图象平移；二次函数图象对称
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考查题，核心是熟练掌握$y=ax^2+k$的开口方向、增减性、最值规律，以及图象平移、对称的变换规则，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
