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1. 抛物线$y=2x^2 -1$的对称轴为
y轴
；顶点坐标为(0, -1)
；当x＜0
时，y随x的增大而减小。答案
1. y轴 (0, -1) ＜0
解析
【分析】
解题时首先观察抛物线解析式的形式，本题属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的特殊二次函数形式，可直接调用该类函数的性质求解：①此类无一次项的二次函数对称轴为y轴；②顶点在y轴上，坐标为$(0,k)$；③先根据$a$的正负判断开口方向，再结合开口方向判断增减性：开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小，开口向下时规律相反。
【解析】
1. 求对称轴：抛物线解析式为$y=2x^2-1$，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的形式，不含一次项，因此对称轴为y轴（或直线$x=0$）；
2. 求顶点坐标：$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=-1$，因此顶点坐标为$(0,-1)$；
3. 判断增减性：$a=2＞0$，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，即$x＜0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
y轴；(0, -1)；＜0
【知识点】
二次函数$y=ax²+k$的性质；二次函数顶点坐标；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点考察对$y=ax^2+k$型二次函数基本特征的掌握，熟记不同形式二次函数的对称轴、顶点、增减性与开口方向的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察抛物线解析式的形式，本题属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的特殊二次函数形式，可直接调用该类函数的性质求解：①此类无一次项的二次函数对称轴为y轴；②顶点在y轴上，坐标为$(0,k)$；③先根据$a$的正负判断开口方向，再结合开口方向判断增减性：开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小，开口向下时规律相反。
【解析】
1. 求对称轴：抛物线解析式为$y=2x^2-1$，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的形式，不含一次项，因此对称轴为y轴（或直线$x=0$）；
2. 求顶点坐标：$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=-1$，因此顶点坐标为$(0,-1)$；
3. 判断增减性：$a=2＞0$，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，即$x＜0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
y轴；(0, -1)；＜0
【知识点】
二次函数$y=ax²+k$的性质；二次函数顶点坐标；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点考察对$y=ax^2+k$型二次函数基本特征的掌握，熟记不同形式二次函数的对称轴、顶点、增减性与开口方向的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 抛物线$y=ax^2 + k$的顶点坐标是$(0, 1)$，与$x$轴的一个交点坐标为$(1, 0)$，则$a=$
-1
。答案
2. -1
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标特征：该形式的二次函数顶点坐标为$(0,k)$，因此可先根据已知顶点坐标求出$k$的值；再根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知的与$x$轴的交点坐标代入含$k$的解析式中，即可求出$a$的值。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，已知其顶点坐标是$(0,1)$
$\therefore k=1$，即抛物线解析式为$y=ax^2+1$
又$\because$ 抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$，即点$(1,0)$在抛物线上
$\therefore$ 将$x=1$，$y=0$代入$y=ax^2+1$得：
$0=a×1^2 + 1$
解得$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查特殊形式二次函数的基本性质以及利用函数图象上的点求解参数的方法，只要熟练掌握$y=ax^2+k$的顶点坐标规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标特征：该形式的二次函数顶点坐标为$(0,k)$，因此可先根据已知顶点坐标求出$k$的值；再根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知的与$x$轴的交点坐标代入含$k$的解析式中，即可求出$a$的值。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，已知其顶点坐标是$(0,1)$
$\therefore k=1$，即抛物线解析式为$y=ax^2+1$
又$\because$ 抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$，即点$(1,0)$在抛物线上
$\therefore$ 将$x=1$，$y=0$代入$y=ax^2+1$得：
$0=a×1^2 + 1$
解得$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查特殊形式二次函数的基本性质以及利用函数图象上的点求解参数的方法，只要熟练掌握$y=ax^2+k$的顶点坐标规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 将抛物线$y=x^2+3$的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为
$y=x^2+4$
。答案
3. $y=x^2+4$
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆二次函数图象上下平移的规律：上下平移是对函数的整体纵坐标进行调整，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，就在原函数解析式的末尾加上几；向下平移几个单位，就在原函数解析式的末尾减去几。本题是向上平移1个单位，因此只需在原解析式的基础上整体加1即可得到平移后的解析式。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=x^2+3$，根据二次函数图象上下平移“上加下减”的规律，将图象向上平移1个单位时，需在原解析式的基础上加上平移的单位长度1：
$y = x^2 + 3 + 1$
计算得平移后的抛物线解析式为$y=x^2+4$。
【答案】
$y=x^2+4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式的确定
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题型，核心考查上下平移的变化规律，只要熟练掌握“上加下减”的平移规则，即可快速算出结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要回忆二次函数图象上下平移的规律：上下平移是对函数的整体纵坐标进行调整，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，就在原函数解析式的末尾加上几；向下平移几个单位，就在原函数解析式的末尾减去几。本题是向上平移1个单位，因此只需在原解析式的基础上整体加1即可得到平移后的解析式。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=x^2+3$，根据二次函数图象上下平移“上加下减”的规律，将图象向上平移1个单位时，需在原解析式的基础上加上平移的单位长度1：
$y = x^2 + 3 + 1$
计算得平移后的抛物线解析式为$y=x^2+4$。
【答案】
$y=x^2+4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式的确定
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题型，核心考查上下平移的变化规律，只要熟练掌握“上加下减”的平移规则，即可快速算出结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
4. 函数$y=x^2+1$的图象大致是(
A
).答案
4. A
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，可按两步思考：第一步先看二次项系数的符号确定开口方向，二次项系数大于0时抛物线开口向上，小于0时开口向下，由此可以先排除不符合开口方向的选项；第二步再确定抛物线的顶点位置，对于$y=ax^2+k$型的二次函数，对称轴是y轴，顶点坐标为$(0,k)$，根据顶点坐标就能排除剩余错误选项，得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的选项B、D；
2. 该函数属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴，代入$x=0$得$y=0^2+1=1$，因此顶点坐标为$(0,1)$。选项C的顶点坐标为$(0,-1)$，不符合特征，排除C；选项A开口向上、顶点为$(0,1)$，符合函数图象特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，开口方向判断，顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题关键是掌握$y=ax^2+k$型二次函数的开口方向规律和顶点坐标特征，熟练掌握相关性质就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数的图象，可按两步思考：第一步先看二次项系数的符号确定开口方向，二次项系数大于0时抛物线开口向上，小于0时开口向下，由此可以先排除不符合开口方向的选项；第二步再确定抛物线的顶点位置，对于$y=ax^2+k$型的二次函数，对称轴是y轴，顶点坐标为$(0,k)$，根据顶点坐标就能排除剩余错误选项，得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的选项B、D；
2. 该函数属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴，代入$x=0$得$y=0^2+1=1$，因此顶点坐标为$(0,1)$。选项C的顶点坐标为$(0,-1)$，不符合特征，排除C；选项A开口向上、顶点为$(0,1)$，符合函数图象特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，开口方向判断，顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题关键是掌握$y=ax^2+k$型二次函数的开口方向规律和顶点坐标特征，熟练掌握相关性质就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
5. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围. 剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美. 如图所示，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线$y=ax^2 + c$上，则下列结论正确的是(
A.$ac＜0$
B.$ac=0$
C.$ac＞0$
D.$ac≥0$
C
).A.$ac＜0$
B.$ac=0$
C.$ac＞0$
D.$ac≥0$
答案
5. C
解析
【分析】
要判断ac的符号，需先根据二次函数$y=ax^2+c$的图象性质，分别确定a和c的符号，再判断乘积的符号即可。首先，a的符号由抛物线开口方向决定：开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$；c是抛物线顶点的纵坐标，即$x=0$时的函数值，顶点在y轴正半轴则$c＞0$，在y轴负半轴则$c＜0$。结合图象分析：抛物线开口向上可得$a＞0$，抛物线的最低点（顶点）在y轴正半轴可得$c＞0$，因此ac的乘积为正。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+c$：
1. 观察图象可知抛物线开口向上，因此二次项系数$a＞0$；
2. 二次函数$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，由图象可得顶点位于y轴正半轴，因此$c＞0$；
3. 同号相乘得正，因此$ac＞0$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数系数与图象对应关系的基础题，解题核心是熟练掌握开口方向和a的关联、顶点纵坐标和c的关联，结合图象直观判断系数符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断ac的符号，需先根据二次函数$y=ax^2+c$的图象性质，分别确定a和c的符号，再判断乘积的符号即可。首先，a的符号由抛物线开口方向决定：开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$；c是抛物线顶点的纵坐标，即$x=0$时的函数值，顶点在y轴正半轴则$c＞0$，在y轴负半轴则$c＜0$。结合图象分析：抛物线开口向上可得$a＞0$，抛物线的最低点（顶点）在y轴正半轴可得$c＞0$，因此ac的乘积为正。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+c$：
1. 观察图象可知抛物线开口向上，因此二次项系数$a＞0$；
2. 二次函数$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，由图象可得顶点位于y轴正半轴，因此$c＞0$；
3. 同号相乘得正，因此$ac＞0$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数系数与图象对应关系的基础题，解题核心是熟练掌握开口方向和a的关联、顶点纵坐标和c的关联，结合图象直观判断系数符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
