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3. 苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足$s=\frac{1}{2}gt^2$（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是(
B
).答案
3. B
解析
【分析】
首先判断s与t的函数类型：由$s=\frac{1}{2}gt^2$可知这是二次函数，其中g为正数，因此二次项系数大于0，抛物线开口向上；其次结合实际意义确定自变量t的取值范围：下落时间t不可能为负数，因此t≥0，对应的s≥0，函数图象仅存在于第一象限（包含原点）。最后结合各选项图象特征排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
解：已知路程s与时间t的函数关系为$s=\frac{1}{2}gt^2$（$g＞0$）：
1. 函数类型判断：该函数是二次函数，图象为抛物线，排除为一次函数图象（直线）的选项C；
2. 增减性判断：二次项系数$\frac{1}{2}g＞0$，且$t≥0$时s随t的增大而增大，排除s随t增大而减小的选项A；
3. 自变量取值范围判断：下落时间t不能为负数，因此图象没有t＜0的部分，排除包含第二象限图象的选项D；
4. 选项B的图象是过原点、位于第一象限且开口向上的曲线，符合该函数的图象特征。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，自变量取值范围，实际问题函数图象识别
【点评】
本题结合生活情境考查二次函数图象的识别，解题时既要掌握二次函数的基本图象特征，也要注意结合实际意义判断自变量的取值范围，避免忽略实际限制错选完整抛物线的选项。
【难度系数】
0.7
首先判断s与t的函数类型：由$s=\frac{1}{2}gt^2$可知这是二次函数，其中g为正数，因此二次项系数大于0，抛物线开口向上；其次结合实际意义确定自变量t的取值范围：下落时间t不可能为负数，因此t≥0，对应的s≥0，函数图象仅存在于第一象限（包含原点）。最后结合各选项图象特征排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
解：已知路程s与时间t的函数关系为$s=\frac{1}{2}gt^2$（$g＞0$）：
1. 函数类型判断：该函数是二次函数，图象为抛物线，排除为一次函数图象（直线）的选项C；
2. 增减性判断：二次项系数$\frac{1}{2}g＞0$，且$t≥0$时s随t的增大而增大，排除s随t增大而减小的选项A；
3. 自变量取值范围判断：下落时间t不能为负数，因此图象没有t＜0的部分，排除包含第二象限图象的选项D；
4. 选项B的图象是过原点、位于第一象限且开口向上的曲线，符合该函数的图象特征。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，自变量取值范围，实际问题函数图象识别
【点评】
本题结合生活情境考查二次函数图象的识别，解题时既要掌握二次函数的基本图象特征，也要注意结合实际意义判断自变量的取值范围，避免忽略实际限制错选完整抛物线的选项。
【难度系数】
0.7
4. 若$y=(1-m)x^{m^2 -2}$是二次函数，且图象开口向下.
(1)求$m$的值，并写出函数解析式；
(2)选择适当的数据填入下表，并在直角坐标系内描点，画出该二次函数的图象；
(3)结合图象，写出这个二次函数的性质.
(1)求$m$的值，并写出函数解析式；
(2)选择适当的数据填入下表，并在直角坐标系内描点，画出该二次函数的图象；
(3)结合图象，写出这个二次函数的性质.
答案
(1)$m=2$，$y=-x^2$ (2)略 (3)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=0$时，函数有最大值0。
解析
【分析】
(1)求解m的值需结合二次函数定义与图象性质推导：首先二次函数要求自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0；其次图象开口向下说明二次项系数小于0，联立三个条件即可求出m，代入原式得到函数解析式。
(2)绘制二次函数图象采用描点法，选取关于y轴对称的若干x值，计算对应y值后填表，再在坐标系中描点、用平滑曲线连线即可。
(3)总结二次函数性质可从开口方向、对称轴、增减性、最值几个角度切入，结合图象特征归纳即可。
【解析】
(1)解：
∵$y=(1-m)x^{m^2 -2}$是二次函数，且图象开口向下
∴需同时满足三个条件：
①自变量最高次数为2：$m^2 - 2 = 2$
②二次项系数不为0：$1 - m ≠ 0$
③开口向下，二次项系数小于0：$1 - m ＜ 0$
解方程$m^2 - 2 = 2$，得$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
解不等式$1 - m ＜ 0$，得$m ＞ 1$
结合$m ≠ 1$的要求，符合条件的只有$m=2$
将$m=2$代入原式，得函数解析式为$y=(1-2)x^{2^2 -2}=-x^2$
(2)解：可选取x=-2、-1、0、1、2，代入解析式得对应y值为-4、-1、0、-1、-4，填入表格后描点，用平滑曲线顺次连接各点即可得到函数图象（过程略）
(3)解：观察$y=-x^2$的图象可得：图象开口向下，对称轴为y轴，顶点为原点；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=0$时，函数有最大值0。
【答案】
(1)$m=2$，$y=-x^2$
(2)略
(3)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=0$时，函数有最大值0。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数入门的典型基础题，既考查了二次函数的定义判定规则，也考查了图象绘制方法和性质总结规律，解题核心是牢记二次项系数的取值要求，以及系数与图象开口、增减性的对应关系。
【难度系数】
0.8
(1)求解m的值需结合二次函数定义与图象性质推导：首先二次函数要求自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0；其次图象开口向下说明二次项系数小于0，联立三个条件即可求出m，代入原式得到函数解析式。
(2)绘制二次函数图象采用描点法，选取关于y轴对称的若干x值，计算对应y值后填表，再在坐标系中描点、用平滑曲线连线即可。
(3)总结二次函数性质可从开口方向、对称轴、增减性、最值几个角度切入，结合图象特征归纳即可。
【解析】
(1)解：
∵$y=(1-m)x^{m^2 -2}$是二次函数，且图象开口向下
∴需同时满足三个条件：
①自变量最高次数为2：$m^2 - 2 = 2$
②二次项系数不为0：$1 - m ≠ 0$
③开口向下，二次项系数小于0：$1 - m ＜ 0$
解方程$m^2 - 2 = 2$，得$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
解不等式$1 - m ＜ 0$，得$m ＞ 1$
结合$m ≠ 1$的要求，符合条件的只有$m=2$
将$m=2$代入原式，得函数解析式为$y=(1-2)x^{2^2 -2}=-x^2$
(2)解：可选取x=-2、-1、0、1、2，代入解析式得对应y值为-4、-1、0、-1、-4，填入表格后描点，用平滑曲线顺次连接各点即可得到函数图象（过程略）
(3)解：观察$y=-x^2$的图象可得：图象开口向下，对称轴为y轴，顶点为原点；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=0$时，函数有最大值0。
【答案】
(1)$m=2$，$y=-x^2$
(2)略
(3)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=0$时，函数有最大值0。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数入门的典型基础题，既考查了二次函数的定义判定规则，也考查了图象绘制方法和性质总结规律，解题核心是牢记二次项系数的取值要求，以及系数与图象开口、增减性的对应关系。
【难度系数】
0.8
