登录
6. 在平面直角坐标系中，画出二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象；从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点。
答案
6. 二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象如图
所示，两个图象的相同点：形状都是抛物线，对称轴都是$y$轴，顶点坐标都是$(0,0)$；不同点：$y=\frac{1}{2}x^2$的图象开口向上，$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象开口向下(答案不唯一，合理即可)。解析
【分析】
要绘制两个二次函数的图象，优先使用描点法，按照“列表、描点、连线”的步骤操作，取点时选择关于y轴对称的整数点，更便于计算和描点；对比两个函数性质时，结合二次函数$y=ax^2$的性质，从题目要求的形状、开口方向、对称轴、顶点四个维度逐一分析：二次项系数的绝对值决定抛物线的形状和开口大小，二次项系数的符号决定开口方向，形如$y=ax^2$的二次函数对称轴均为y轴，顶点均为原点，据此梳理相同点和不同点即可。
【解析】
1. 绘制函数图象：
① 列表：选取x=-2、-1、0、1、2，分别计算两个函数的对应y值：
对于$y=\frac{1}{2}x^2$，对应y值依次为2、$\frac{1}{2}$、0、$\frac{1}{2}$、2；
对于$y=-\frac{1}{2}x^2$，对应y值依次为-2、$-\frac{1}{2}$、0、$-\frac{1}{2}$、-2。
② 描点：在平面直角坐标系中将上述计算得到的坐标点逐一标注。
③ 连线：用平滑曲线顺次连接各点，即可得到两个二次函数的图象。
2. 对比图象性质：
相同点：两个图象都是抛物线，开口大小一致；对称轴都是y轴（直线$x=0$）；顶点都为原点$(0,0)$。
不同点：$y=\frac{1}{2}x^2$的图象开口向上，顶点是图象的最低点；$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象开口向下，顶点是图象的最高点。
【答案】
二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象如图所示，两个图象的相同点：形状都是抛物线，对称轴都是$y$轴，顶点坐标都是$(0,0)$；不同点：$y=\frac{1}{2}x^2$的图象开口向上，$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象开口向下(答案不唯一，合理即可)。
【知识点】
描点法画函数图象；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题考查二次函数图象的画法及性质对比，解题核心是理解二次项系数a对抛物线开口方向、形状的影响，通过对比两个函数的性质，可加深对$y=ax^2$类二次函数特征的理解。
【难度系数】
0.8
要绘制两个二次函数的图象，优先使用描点法，按照“列表、描点、连线”的步骤操作，取点时选择关于y轴对称的整数点，更便于计算和描点；对比两个函数性质时，结合二次函数$y=ax^2$的性质，从题目要求的形状、开口方向、对称轴、顶点四个维度逐一分析：二次项系数的绝对值决定抛物线的形状和开口大小，二次项系数的符号决定开口方向，形如$y=ax^2$的二次函数对称轴均为y轴，顶点均为原点，据此梳理相同点和不同点即可。
【解析】
1. 绘制函数图象：
① 列表：选取x=-2、-1、0、1、2，分别计算两个函数的对应y值：
对于$y=\frac{1}{2}x^2$，对应y值依次为2、$\frac{1}{2}$、0、$\frac{1}{2}$、2；
对于$y=-\frac{1}{2}x^2$，对应y值依次为-2、$-\frac{1}{2}$、0、$-\frac{1}{2}$、-2。
② 描点：在平面直角坐标系中将上述计算得到的坐标点逐一标注。
③ 连线：用平滑曲线顺次连接各点，即可得到两个二次函数的图象。
2. 对比图象性质：
相同点：两个图象都是抛物线，开口大小一致；对称轴都是y轴（直线$x=0$）；顶点都为原点$(0,0)$。
不同点：$y=\frac{1}{2}x^2$的图象开口向上，顶点是图象的最低点；$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象开口向下，顶点是图象的最高点。
【答案】
二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象如图
所示，两个图象的相同点：形状都是抛物线，对称轴都是$y$轴，顶点坐标都是$(0,0)$；不同点：$y=\frac{1}{2}x^2$的图象开口向上，$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象开口向下(答案不唯一，合理即可)。【知识点】
描点法画函数图象；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题考查二次函数图象的画法及性质对比，解题核心是理解二次项系数a对抛物线开口方向、形状的影响，通过对比两个函数的性质，可加深对$y=ax^2$类二次函数特征的理解。
【难度系数】
0.8
1. 已知二次函数$y=ax^2$，下列说法不正确的是(
A.对称轴为$y$轴
B.当$a＜0$，$x≠0$时，$y$总为负值
C.当$a＞0$时，$y$有最小值0
D.当$a＜0$，$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
D
).A.对称轴为$y$轴
B.当$a＜0$，$x≠0$时，$y$总为负值
C.当$a＞0$时，$y$有最小值0
D.当$a＜0$，$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，需熟练掌握二次函数$y=ax^2$的图象与性质，包括对称轴位置、开口方向与$a$的关系、最值规律、不同区间的增减性，逐一判断每个选项的正误即可找出不正确的说法。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：二次函数$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$，即$y$轴，该说法正确，不符合题意。
选项B：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为原点$(0,0)$，是函数的最高点，因此$x≠0$时，$y$总小于0，即总为负值，该说法正确，不符合题意。
选项C：当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为原点$(0,0)$，是函数的最低点，因此$y$有最小值0，该说法正确，不符合题意。
选项D：当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为$y$轴，在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大，并非减小，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是对二次函数基础性质的考查，难度较低，只要牢记$a$的正负对抛物线开口方向、增减性、最值的影响，注意区分对称轴左右两侧的增减性变化，就能快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需熟练掌握二次函数$y=ax^2$的图象与性质，包括对称轴位置、开口方向与$a$的关系、最值规律、不同区间的增减性，逐一判断每个选项的正误即可找出不正确的说法。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：二次函数$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$，即$y$轴，该说法正确，不符合题意。
选项B：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为原点$(0,0)$，是函数的最高点，因此$x≠0$时，$y$总小于0，即总为负值，该说法正确，不符合题意。
选项C：当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为原点$(0,0)$，是函数的最低点，因此$y$有最小值0，该说法正确，不符合题意。
选项D：当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为$y$轴，在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大，并非减小，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是对二次函数基础性质的考查，难度较低，只要牢记$a$的正负对抛物线开口方向、增减性、最值的影响，注意区分对称轴左右两侧的增减性变化，就能快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 已知点$(x_1, y_1)$，$(x_2, y_2)$，$(x_3, y_3)$都在函数$y=-2x^2$的图象上，且$x_1＞x_2＞x_3＞0$，则（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
A
）。A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
2. A
解析
【分析】
解决本题的核心是运用二次函数y=ax²的增减性判断函数值大小：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向；第二步确定抛物线的对称轴，明确x＞0区间对应的增减性；第三步结合题目给出的三个自变量的大小关系，对应推导函数值的大小关系即可选出正确选项。
【解析】
解：对于二次函数$y=-2x^2$，
∵ 二次项系数$a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴），
∴ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
又
∵ $x_1＞x_2＞x_3＞0$，
∴ 对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；二次函数的增减性；函数图象上点的特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是掌握开口方向、对称轴与二次函数增减性的对应关系，结合自变量的大小即可快速推导函数值的大小关系。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是运用二次函数y=ax²的增减性判断函数值大小：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向；第二步确定抛物线的对称轴，明确x＞0区间对应的增减性；第三步结合题目给出的三个自变量的大小关系，对应推导函数值的大小关系即可选出正确选项。
【解析】
解：对于二次函数$y=-2x^2$，
∵ 二次项系数$a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴），
∴ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
又
∵ $x_1＞x_2＞x_3＞0$，
∴ 对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；二次函数的增减性；函数图象上点的特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是掌握开口方向、对称轴与二次函数增减性的对应关系，结合自变量的大小即可快速推导函数值的大小关系。
【难度系数】
0.8
