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4. 平面直角坐标系第二象限内的点 $P(x^2 + 2x, 3)$ 与另一点 $Q(x + 2, y)$ 关于原点对称，试求 $x + 2y$ 的值.
答案
根据题意，得$(x^2+2x)+(x+2)=0$，$y=-3$。$\therefore x_1=-1$，$x_2=-2$。$\because$ 点$P$在第二象限内，$\therefore x^2+2x＜0$，$\therefore x=-1$，$\therefore x+2y=-7$。
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数。据此先列出关于x的方程和y的等式，求出y的值和x的可能取值；再结合点P在第二象限的条件，第二象限内点的横坐标小于0，对x的取值进行筛选，排除不符合要求的解，最后将符合条件的x和y的值代入代数式$x+2y$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点$P$与点$Q$关于原点对称，
∴两点的横、纵坐标均互为相反数，
可得：$(x^2+2x)+(x+2)=0$，$3+y=0$，
解得$y=-3$，
解方程$x^2+3x+2=0$，因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，
∴$x_1=-1$，$x_2=-2$。
又
∵点$P$在第二象限内，
∴点$P$的横坐标小于0，即$x^2+2x＜0$，
当$x=-2$时，$x^2+2x=(-2)^2+2×(-2)=0$，不符合第二象限横坐标小于0的要求，故舍去；
当$x=-1$时，$x^2+2x=(-1)^2+2×(-1)=-1＜0$，符合要求。
∴$x=-1$，
将$x=-1$，$y=-3$代入$x+2y$得：
$x+2y=-1+2×(-3)=-7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
1. 原点对称的坐标特征
2. 象限内点的符号特点
3. 解一元二次方程
【点评】
本题重点考查原点对称的坐标性质的应用，解题的关键是不要遗漏题中“点P在第二象限”的限制条件，要对求出的未知数的取值进行筛选，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数。据此先列出关于x的方程和y的等式，求出y的值和x的可能取值；再结合点P在第二象限的条件，第二象限内点的横坐标小于0，对x的取值进行筛选，排除不符合要求的解，最后将符合条件的x和y的值代入代数式$x+2y$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点$P$与点$Q$关于原点对称，
∴两点的横、纵坐标均互为相反数，
可得：$(x^2+2x)+(x+2)=0$，$3+y=0$，
解得$y=-3$，
解方程$x^2+3x+2=0$，因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，
∴$x_1=-1$，$x_2=-2$。
又
∵点$P$在第二象限内，
∴点$P$的横坐标小于0，即$x^2+2x＜0$，
当$x=-2$时，$x^2+2x=(-2)^2+2×(-2)=0$，不符合第二象限横坐标小于0的要求，故舍去；
当$x=-1$时，$x^2+2x=(-1)^2+2×(-1)=-1＜0$，符合要求。
∴$x=-1$，
将$x=-1$，$y=-3$代入$x+2y$得：
$x+2y=-1+2×(-3)=-7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
1. 原点对称的坐标特征
2. 象限内点的符号特点
3. 解一元二次方程
【点评】
本题重点考查原点对称的坐标性质的应用，解题的关键是不要遗漏题中“点P在第二象限”的限制条件，要对求出的未知数的取值进行筛选，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在等腰直角三角形ABC中，$∠ ACB=90°$，$AB=\sqrt{2}$；点C是矩形ECGF与$△ ABC$的公共顶点，且$CE=1$，$CG=3$；点D是CB延长线上一点，且$CD=2$。连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则$\frac{m}{n}$的值为(
A.2
B.3
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{13}$
D
).A.2
B.3
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{13}$
答案
1. D(提示：在等腰直角三角形ABC中，$∠ACB=90°$，$AB=\sqrt{2}$，$\therefore AC=BC=1$。在$△BCG$中，$CG-BC＜BG＜CG+BC$，即$2＜BG＜4$。如图1，当点G在线段BC的延长线时，GB有最大值，$\therefore DG=DC+CG=5$，$GF=1$，$\therefore DF=\sqrt{DG^2+GF^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}=m$；如图2，当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，$\therefore DG=CG-DC=1$，$FG=1$，$\therefore DF=\sqrt{FG^2+DG^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}=n$，$\therefore \frac{m}{n}=\sqrt{13}$。)
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先根据等腰直角三角形的性质求出BC的长度：已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=√2，由勾股定理可直接求得AC=BC=1。②确定BG取最值时点G的位置：矩形ECGF绕点C旋转时，CG长度始终为3，点G的轨迹是以C为圆心、3为半径的圆，根据圆外一点到圆上点的距离规律，当B、C、G三点共线时BG取最值：G在BC的延长线上（C在B、G之间）时BG最长，G在CB的延长线上（B在C、G之间）时BG最短。③分别计算两种情况下DF的长度：结合矩形的性质可知∠FGD=90°，FG=CE=1，先求出对应DG的长度，再用勾股定理计算DF，最后求比值即可。
【解析】
1. 求BC的长度：
在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AB=\sqrt{2}$，得$2BC^2=(\sqrt{2})^2=2$，解得$BC=1$。
2. 分析BG的最值情况：
矩形绕C旋转时，$CG=3$始终不变，根据三角形三边关系，$CG-BC＜BG＜CG+BC$，即$2＜BG＜4$，仅当B、C、G三点共线时取等号：
当G在BC的延长线上（C位于B、G之间）时，BG取最大值，此时$DG=CD+CG=2+3=5$，矩形中$FG=CE=1$，且∠FGD=90°，由勾股定理得$DF=\sqrt{DG^2+FG^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$，即$m=\sqrt{26}$。
当G在CB的延长线上（B位于C、G之间）时，BG取最小值，此时$DG=CG-CD=3-2=1$，矩形中$FG=CE=1$，且∠FGD=90°，由勾股定理得$DF=\sqrt{DG^2+FG^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即$n=\sqrt{2}$。
3. 计算比值：
$\frac{m}{n}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{2}}=\sqrt{13}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形性质,旋转的性质,勾股定理
【点评】
本题综合考查了旋转的性质、三角形三边关系、勾股定理及矩形的性质，解题的关键是明确旋转过程中线段CG的长度不变，准确找到BG取最值时点G的位置，再结合几何图形的性质计算线段长度。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：①先根据等腰直角三角形的性质求出BC的长度：已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=√2，由勾股定理可直接求得AC=BC=1。②确定BG取最值时点G的位置：矩形ECGF绕点C旋转时，CG长度始终为3，点G的轨迹是以C为圆心、3为半径的圆，根据圆外一点到圆上点的距离规律，当B、C、G三点共线时BG取最值：G在BC的延长线上（C在B、G之间）时BG最长，G在CB的延长线上（B在C、G之间）时BG最短。③分别计算两种情况下DF的长度：结合矩形的性质可知∠FGD=90°，FG=CE=1，先求出对应DG的长度，再用勾股定理计算DF，最后求比值即可。
【解析】
1. 求BC的长度：
在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AB=\sqrt{2}$，得$2BC^2=(\sqrt{2})^2=2$，解得$BC=1$。
2. 分析BG的最值情况：
矩形绕C旋转时，$CG=3$始终不变，根据三角形三边关系，$CG-BC＜BG＜CG+BC$，即$2＜BG＜4$，仅当B、C、G三点共线时取等号：
当G在BC的延长线上（C位于B、G之间）时，BG取最大值，此时$DG=CD+CG=2+3=5$，矩形中$FG=CE=1$，且∠FGD=90°，由勾股定理得$DF=\sqrt{DG^2+FG^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$，即$m=\sqrt{26}$。
当G在CB的延长线上（B位于C、G之间）时，BG取最小值，此时$DG=CG-CD=3-2=1$，矩形中$FG=CE=1$，且∠FGD=90°，由勾股定理得$DF=\sqrt{DG^2+FG^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即$n=\sqrt{2}$。
3. 计算比值：
$\frac{m}{n}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{2}}=\sqrt{13}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形性质,旋转的性质,勾股定理
【点评】
本题综合考查了旋转的性质、三角形三边关系、勾股定理及矩形的性质，解题的关键是明确旋转过程中线段CG的长度不变，准确找到BG取最值时点G的位置，再结合几何图形的性质计算线段长度。
【难度系数】
0.6
