2. 如图，$△ ABM$与$△ ACM$关于直线$AF$成轴对称，$△ ABE$与$△ DCE$关于点$E$成中心对称，点$E$，$D$，$M$都在线段$AF$上，$BM$的延长线交$CF$于点$P$.
(1)求证$AC=CD$；
(2)若$∠ BAC=2∠ MPC$，请你判断$∠ F$与$∠ MCD$的数量关系，并说明理由.

(1)证明：$\because △ABM$与$△ACM$关于直线$AF$成轴对称，$\therefore △ABM≌△ACM$，$\therefore AB=AC$。又$\because △ABE$与$△DCE$关于点$E$成中心对称，$\therefore △ABE≌△DCE$，$\therefore AB=DC$，$\therefore AC=CD$。
(2)$∠F=∠MCD$。理由如下：由(1)可得$∠BAE=∠CAE=∠CDE$，$∠CMA=∠BMA$。$\because ∠BAC=2∠MPC$，$∠BMA=∠PMF$。设$∠MPC=α$，则$∠BAE=∠CAE=∠CDE=α$。设$∠BMA=β$，则$∠PMF=∠CMA=β$，$\therefore ∠F=∠CPM-∠PMF=α-β$，$∠MCD=∠CDE-∠DMC=α-β$，$\therefore ∠F=∠MCD$。

【分析】
(1)要证明$AC=CD$，可通过等量代换推导：首先利用轴对称的性质，成轴对称的两个三角形全等，可得$△ABM≌△ACM$，对应边$AB=AC$；再利用中心对称的性质，成中心对称的两个三角形全等，可得$△ABE≌△DCE$，对应边$AB=DC$，即可推出$AC=CD$。
(2)要判断$∠F$和$∠MCD$的数量关系，先根据全等三角形的性质得到对应角相等，结合已知$∠BAC=2∠MPC$的条件，可设未知数表示相关角，再利用三角形外角的性质分别表示出$∠F$和$∠MCD$，对比二者的表达式即可得到数量关系。
【解析】
(1)证明：$\because △ABM$与$△ACM$关于直线$AF$成轴对称，$\therefore △ABM≌△ACM$，$\therefore AB=AC$。
又$\because △ABE$与$△DCE$关于点$E$成中心对称，$\therefore △ABE≌△DCE$，$\therefore AB=DC$，$\therefore AC=CD$。
(2)$∠F=∠MCD$。理由如下：
由(1)可得$∠BAE=∠CAE=∠CDE$，$∠CMA=∠BMA$。
$\because ∠BAC=2∠MPC$，$∠BMA=∠PMF$。
设$∠MPC=α$，则$∠BAE=∠CAE=∠CDE=α$。
设$∠BMA=β$，则$∠PMF=∠CMA=β$，
$\therefore ∠F=∠CPM-∠PMF=α-β$，
$∠MCD=∠CDE-∠DMC=α-β$，
$\therefore ∠F=∠MCD$。
【答案】
(1) 已证$AC=CD$；
(2) $∠F=∠MCD$
【知识点】
轴对称的性质，中心对称的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考查对称性质的应用，解题时需要熟练掌握轴对称、中心对称对应的全等性质，能够灵活进行角度的转化与推导，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7