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3. 二次函数 $ C_1 $：$ y=-ax^2+bx+3a $ 的图象经过点 $ M(1, 0) $，$ N(0, -3) $，其关于原点对称的二次函数 $ C_2 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点（点 $ B $ 在点 $ A $ 右侧），与 $ y $ 轴交于点 $ C $，其抛物线的顶点为 $ D $.
(1)求二次函数 $ C_2 $ 的解析式；
(2)作出二次函数 $ C_2 $ 的图象，连接 $ DC $，$ BC $，$ DB $，求证：$ △ BCD $ 是直角三角形.
(1)求二次函数 $ C_2 $ 的解析式；
(2)作出二次函数 $ C_2 $ 的图象，连接 $ DC $，$ BC $，$ DB $，求证：$ △ BCD $ 是直角三角形.
答案
(1)将点$N(0, -3)$代入$y=-ax^2+bx+3a$，得$3a=-3$，解得$a=-1$。$\therefore$ 二次函数$C_1$：$y=x^2+bx-3$。将点$M(1, 0)$代入上式，得$1+b-3=0$，解得$b=2$。$\therefore$ 二次函数$C_1$：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$。$\because$ 二次函数$C_1$与二次函数$C_2$关于原点对称，$\therefore$ 二次函数$C_2$：$y=-(x-1)^2+4$。
(2)图象如图所示。
$\because$ 二次函数$C_2$：$y=-(x-1)^2+4$。$\therefore D(1, 4)$。$\because$ 当$x=0$时，$y=3$，$\therefore C(0, 3)$。令$y=0$，得$-(x-1)^2+4=0$，解得$x=3$或$x=-1$，$\therefore B(3, 0)$，$A(-1, 0)$。由割补法和勾股定理，得$CD^2=(1-0)^2+(4-3)^2=2$，$BC^2=(3-0)^2+(3-0)^2=18$，$BD^2=(3-1)^2+(4-0)^2=20$，$\therefore CD^2+BC^2=BD^2$。$\therefore △BCD$是直角三角形。解析
【分析】
(1) 要求二次函数$C_2$的解析式，需先求出其关于原点对称的$C_1$的解析式：已知$C_1$过$M(1,0)$、$N(0,-3)$两点，可利用待定系数法，将两点坐标代入$C_1$的表达式求出$a$、$b$的值，得到$C_1$的解析式；再根据关于原点对称的函数变换规律，将原函数中的$x$替换为$-x$、$y$替换为$-y$，整理后即可得到$C_2$的解析式。
(2) 要证明$△ BCD$是直角三角形，可采用勾股定理的逆定理：先根据$C_2$的解析式求出顶点$D$、与$y$轴交点$C$、与$x$轴正半轴交点$B$的坐标，再分别计算三条边长度的平方，验证其中两条边的平方和是否等于第三边的平方，若满足即可判定为直角三角形。
【解析】
(1) 将点$N(0, -3)$代入$y=-ax^2+bx+3a$，得$3a=-3$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 二次函数$C_1$的表达式为$y=x^2+bx-3$。
将点$M(1, 0)$代入$y=x^2+bx-3$，得$1+b-3=0$，解得$b=2$。
$\therefore$ 二次函数$C_1$：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$。
$\because$ 二次函数$C_1$与$C_2$关于原点对称，将$C_1$中的$x$换为$-x$，$y$换为$-y$，得$-y=(-x+1)^2-4$，整理得$C_2$的解析式为$y=-(x-1)^2+4$。
(2) 二次函数$C_2$的图象如下：
由$C_2$的解析式$y=-(x-1)^2+4$，可得顶点$D$的坐标为$(1,4)$。
令$x=0$，代入$C_2$得$y=-(0-1)^2+4=3$，$\therefore C(0, 3)$。
令$y=0$，代入$C_2$得$-(x-1)^2+4=0$，解得$x=3$或$x=-1$，$\because$ 点$B$在点$A$右侧，$\therefore B(3, 0)$。
根据两点间距离的平方等于横、纵坐标差的平方和，计算得：
$CD^2=(1-0)^2+(4-3)^2=1+1=2$，
$BC^2=(3-0)^2+(0-3)^2=9+9=18$，
$BD^2=(3-1)^2+(0-4)^2=4+16=20$，
$\because CD^2+BC^2=2+18=20=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ BCD$是直角三角形。
【答案】
(1) 二次函数$C_2$的解析式为$\boldsymbol{y=-(x-1)^2+4}$（或$y=-x^2+2x+3$）；
(2) 图象：，$△ BCD$是直角三角形，证明成立。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，关于原点对称的坐标变换，勾股定理的逆定理
【点评】
本题融合了二次函数解析式求解、函数对称变换和直角三角形判定的知识点，解题思路清晰，属于基础综合类题目，需要熟练掌握函数代入求值、对称变换规律以及几何判定定理在坐标问题中的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要求二次函数$C_2$的解析式，需先求出其关于原点对称的$C_1$的解析式：已知$C_1$过$M(1,0)$、$N(0,-3)$两点，可利用待定系数法，将两点坐标代入$C_1$的表达式求出$a$、$b$的值，得到$C_1$的解析式；再根据关于原点对称的函数变换规律，将原函数中的$x$替换为$-x$、$y$替换为$-y$，整理后即可得到$C_2$的解析式。
(2) 要证明$△ BCD$是直角三角形，可采用勾股定理的逆定理：先根据$C_2$的解析式求出顶点$D$、与$y$轴交点$C$、与$x$轴正半轴交点$B$的坐标，再分别计算三条边长度的平方，验证其中两条边的平方和是否等于第三边的平方，若满足即可判定为直角三角形。
【解析】
(1) 将点$N(0, -3)$代入$y=-ax^2+bx+3a$，得$3a=-3$，解得$a=-1$。
$\therefore$ 二次函数$C_1$的表达式为$y=x^2+bx-3$。
将点$M(1, 0)$代入$y=x^2+bx-3$，得$1+b-3=0$，解得$b=2$。
$\therefore$ 二次函数$C_1$：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$。
$\because$ 二次函数$C_1$与$C_2$关于原点对称，将$C_1$中的$x$换为$-x$，$y$换为$-y$，得$-y=(-x+1)^2-4$，整理得$C_2$的解析式为$y=-(x-1)^2+4$。
(2) 二次函数$C_2$的图象如下：
由$C_2$的解析式$y=-(x-1)^2+4$，可得顶点$D$的坐标为$(1,4)$。
令$x=0$，代入$C_2$得$y=-(0-1)^2+4=3$，$\therefore C(0, 3)$。
令$y=0$，代入$C_2$得$-(x-1)^2+4=0$，解得$x=3$或$x=-1$，$\because$ 点$B$在点$A$右侧，$\therefore B(3, 0)$。
根据两点间距离的平方等于横、纵坐标差的平方和，计算得：
$CD^2=(1-0)^2+(4-3)^2=1+1=2$，
$BC^2=(3-0)^2+(0-3)^2=9+9=18$，
$BD^2=(3-1)^2+(0-4)^2=4+16=20$，
$\because CD^2+BC^2=2+18=20=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ BCD$是直角三角形。
【答案】
(1) 二次函数$C_2$的解析式为$\boldsymbol{y=-(x-1)^2+4}$（或$y=-x^2+2x+3$）；
(2) 图象：
，$△ BCD$是直角三角形，证明成立。【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，关于原点对称的坐标变换，勾股定理的逆定理
【点评】
本题融合了二次函数解析式求解、函数对称变换和直角三角形判定的知识点，解题思路清晰，属于基础综合类题目，需要熟练掌握函数代入求值、对称变换规律以及几何判定定理在坐标问题中的应用。
【难度系数】
0.7
