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1. 若a，b分别是一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两个实数根，则点(a，b)关于原点对称的点的坐标是
$(-1, 3)$或$(-3, 1)$
。答案
1. $(-1, 3)$或$(-3, 1)$
2. 如图，将△ABC绕点C(0，-2)旋转180°得到△A'B'C.若点A'的坐标为(-1，-6)，则点A的坐标为
$(1, 2)$
.答案
2. $(1, 2)$
解析
【分析】
将△ABC绕点C旋转180°得到△A'B'C，本质是两个三角形关于点C中心对称，根据中心对称的性质，对称中心C是对应点A、A'连线的中点，因此我们可以利用中点坐标公式，结合已知的点C和点A'的坐标，反向计算出点A的坐标。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$。
因为△ABC绕点$C(0,-2)$旋转$180°$得到△A'B'C，所以点C是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
已知点$A'(-1,-6)$，中点$C(0,-2)$，可列方程：
$\frac{x+(-1)}{2}=0$，$\frac{y+(-6)}{2}=-2$
解第一个方程：$x-1=0$，得$x=1$；
解第二个方程：$y-6=-4$，得$y=2$。
因此点A的坐标为$(1,2)$。
【答案】
$(1,2)$
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式，坐标与图形旋转
【点评】
本题为基础题，解题关键是理解旋转180°属于中心对称变换，对称中心是对应点连线的中点，结合中点坐标公式即可快速求解，主要考查学生对图形变换性质的掌握和基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.7
将△ABC绕点C旋转180°得到△A'B'C，本质是两个三角形关于点C中心对称，根据中心对称的性质，对称中心C是对应点A、A'连线的中点，因此我们可以利用中点坐标公式，结合已知的点C和点A'的坐标，反向计算出点A的坐标。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$。
因为△ABC绕点$C(0,-2)$旋转$180°$得到△A'B'C，所以点C是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
已知点$A'(-1,-6)$，中点$C(0,-2)$，可列方程：
$\frac{x+(-1)}{2}=0$，$\frac{y+(-6)}{2}=-2$
解第一个方程：$x-1=0$，得$x=1$；
解第二个方程：$y-6=-4$，得$y=2$。
因此点A的坐标为$(1,2)$。
【答案】
$(1,2)$
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式，坐标与图形旋转
【点评】
本题为基础题，解题关键是理解旋转180°属于中心对称变换，对称中心是对应点连线的中点，结合中点坐标公式即可快速求解，主要考查学生对图形变换性质的掌握和基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长均为 第2题
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$.
(1)试在图中作出$△ ABC$以点$A$为旋转中心，沿顺时针方向旋转$90°$后的图形$△ AB_1C_1$；
(2)若点$B$的坐标为$(-3, 5)$，试在图中画出平面直角坐标系，并标出$A$，$C$两点的坐标；
(3)根据(2)中的坐标系作出与$△ ABC$关于原点对称的图形$△ A_2B_2C_2$，并标出$B_2$，$C_2$两点的坐标.
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$.
(1)试在图中作出$△ ABC$以点$A$为旋转中心，沿顺时针方向旋转$90°$后的图形$△ AB_1C_1$；
(2)若点$B$的坐标为$(-3, 5)$，试在图中画出平面直角坐标系，并标出$A$，$C$两点的坐标；
(3)根据(2)中的坐标系作出与$△ ABC$关于原点对称的图形$△ A_2B_2C_2$，并标出$B_2$，$C_2$两点的坐标.
答案
(1)如图所示，$△AB_1C_1$即为所求。
(2)如图所示的直角坐标系即为所求，点$A$的坐标为$(0, 1)$，点$C$的坐标为$(-3, 1)$。
(3)如图所示的$△A_2B_2C_2$即为所求，点$B_2$的坐标为$(3, -5)$，点$C_2$的坐标为$(3, -1)$。
解析
【分析】
本题分三个小问，可按以下思路逐步求解：
1. 第(1)问旋转作图：首先明确旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为顺时针，旋转角为90°。根据网格特征，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°，确定对应点C₁、B₁的位置，再顺次连接即可得到旋转后的图形。
2. 第(2)问建立坐标系：已知点B的坐标为(-3,5)，结合网格边长为1的条件，向右数3个单位确定y轴，向下数5个单位确定x轴，交点为原点建立坐标系，再根据点A、C在网格中的位置写出对应坐标。
3. 第(3)问中心对称作图：根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），先求出△ABC三个顶点关于原点对称的对应点坐标，再顺次连接对应点得到对称图形，最后写出B₂、C₂的坐标。
【解析】
(1) 作旋转图形：
① 确定旋转三要素：旋转中心A，顺时针旋转90°；
② 找对应点：AC长度为3，原AC为水平向右方向，顺时针旋转90°后变为竖直向上方向，得到点C的对应点C₁；AB的水平间隔为3格、竖直间隔为4格，顺时针旋转90°后水平间隔变为4格（向右）、竖直间隔变为3格（向上），得到点B的对应点B₁；
③ 顺次连接A、B₁、C₁，△AB₁C₁即为所求。
(2) 建立平面直角坐标系：
① 由点B坐标(-3,5)，以点B向右3个单位的竖直直线为y轴，向下5个单位的水平直线为x轴，两线交点为原点O，建立平面直角坐标系；
② 观察得：点A在y轴上，纵坐标为1，故A(0,1)；点C与点B横坐标相同，纵坐标为5-4=1，故C(-3,1)。
(3) 作关于原点对称的图形：
① 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，因此：
点B(-3,5)的对应点B₂坐标为(3,-5)，点C(-3,1)的对应点C₂坐标为(3,-1)，点A(0,1)的对应点A₂坐标为(0,-1)；
② 顺次连接A₂、B₂、C₂，△A₂B₂C₂即为所求。
【答案】
(1)如图所示，$△AB_1C_1$即为所求。
(2)如图所示的直角坐标系即为所求，点$A$的坐标为$(0, 1)$，点$C$的坐标为$(-3, 1)$。
(3)如图所示的$△A_2B_2C_2$即为所求，点$B_2$的坐标为$(3, -5)$，点$C_2$的坐标为$(3, -1)$。
【知识点】
旋转变换作图，平面直角坐标系，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题综合考查了几何变换作图与坐标性质的应用，解题的关键是熟练掌握旋转、中心对称的性质，结合网格特点快速定位对应点的位置，能有效锻炼学生的作图能力和坐标运算能力。
【难度系数】
0.7
本题分三个小问，可按以下思路逐步求解：
1. 第(1)问旋转作图：首先明确旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为顺时针，旋转角为90°。根据网格特征，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°，确定对应点C₁、B₁的位置，再顺次连接即可得到旋转后的图形。
2. 第(2)问建立坐标系：已知点B的坐标为(-3,5)，结合网格边长为1的条件，向右数3个单位确定y轴，向下数5个单位确定x轴，交点为原点建立坐标系，再根据点A、C在网格中的位置写出对应坐标。
3. 第(3)问中心对称作图：根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），先求出△ABC三个顶点关于原点对称的对应点坐标，再顺次连接对应点得到对称图形，最后写出B₂、C₂的坐标。
【解析】
(1) 作旋转图形：
① 确定旋转三要素：旋转中心A，顺时针旋转90°；
② 找对应点：AC长度为3，原AC为水平向右方向，顺时针旋转90°后变为竖直向上方向，得到点C的对应点C₁；AB的水平间隔为3格、竖直间隔为4格，顺时针旋转90°后水平间隔变为4格（向右）、竖直间隔变为3格（向上），得到点B的对应点B₁；
③ 顺次连接A、B₁、C₁，△AB₁C₁即为所求。
(2) 建立平面直角坐标系：
① 由点B坐标(-3,5)，以点B向右3个单位的竖直直线为y轴，向下5个单位的水平直线为x轴，两线交点为原点O，建立平面直角坐标系；
② 观察得：点A在y轴上，纵坐标为1，故A(0,1)；点C与点B横坐标相同，纵坐标为5-4=1，故C(-3,1)。
(3) 作关于原点对称的图形：
① 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，因此：
点B(-3,5)的对应点B₂坐标为(3,-5)，点C(-3,1)的对应点C₂坐标为(3,-1)，点A(0,1)的对应点A₂坐标为(0,-1)；
② 顺次连接A₂、B₂、C₂，△A₂B₂C₂即为所求。
【答案】
(1)如图所示，$△AB_1C_1$即为所求。
(2)如图所示的直角坐标系即为所求，点$A$的坐标为$(0, 1)$，点$C$的坐标为$(-3, 1)$。
(3)如图所示的$△A_2B_2C_2$即为所求，点$B_2$的坐标为$(3, -5)$，点$C_2$的坐标为$(3, -1)$。
【知识点】
旋转变换作图，平面直角坐标系，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题综合考查了几何变换作图与坐标性质的应用，解题的关键是熟练掌握旋转、中心对称的性质，结合网格特点快速定位对应点的位置，能有效锻炼学生的作图能力和坐标运算能力。
【难度系数】
0.7
