7.(2025·山东)在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度$y$(单位:厘米/天)和光照强度$x$(单位:勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围($200≤ x＜1\ 000$)内,$y$与$x$近似成一次函数关系;在中高光照强度范围($x≥1\ 000$)内,$y$与$x$近似成二次函数关系.其部分图象如图所示,根据图象,下列结论正确的是 ()

A.当$x≥1\ 000$时,$y$随$x$的增大而减小
B.当$x=2\ 000$时,$y$有最大值
C.当$y≥0.6$时,$x≥1\ 000$
D.当$y=0.4$时,$x=600$

7.B

【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 先明确两段函数分别是一次函数和开口向下的二次函数；2. 利用已知点推导一次函数的增减性，再根据二次函数上y值相等的两个点确定对称轴，得到二次函数的最值点；3. 结合函数图象与性质逐一判断每个选项的正误。
【解析】
首先分析两段函数的性质：
1. 低光照范围$200\le x＜1000$：$y$是一次函数，过点$(200,0.3)$、$(1000,0.6)$，$y$随$x$增大而增大，最大值为$x=1000$时的$0.6$。
2. 中高光照范围$x\ge1000$：$y$是开口向下的二次函数，过点$(1000,0.6)$、$(3000,0.6)$，这两点纵坐标相等，因此二次函数对称轴为$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$，即$x=2000$时$y$取最大值；在$1000\le x＜2000$时$y$随$x$增大而增大，$x＞2000$时$y$随$x$增大而减小。
逐一判断选项：
A选项：$x\ge1000$时，$1000\le x＜2000$阶段$y$随$x$增大而增大，因此A错误；
B选项：二次函数开口向下，对称轴为$x=2000$，故$x=2000$时$y$有最大值，B正确；
C选项：当$y\ge0.6$时，$x$的取值范围是$1000\le x\le3000$，并非$x\ge1000$（$x＞3000$时$y＜0.6$），因此C错误；
D选项：$y=0.4$时，一次函数段有1个解$x=600$，二次函数段还有2个解，因此$x$不只有600，D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质；二次函数的性质；分段函数的应用
【点评】
本题结合实际情境考查函数图象的应用，解题的核心是利用二次函数的对称性确定对称轴，再结合一次函数、二次函数的增减性、最值等性质分析选项，能够锻炼学生从图象中提取信息的能力。
【难度系数】
0.7

8.(2025·青岛)小磊和小明练习打网球.在一次击球过程中,小磊从点O正上方1.8米的点A将球击出.
信息一:在如图所示的平面直角坐标系中,O为原点,OA在y轴上,球的运动路线可以看作是二次函数$y=ax^2+bx+1.8$($a,b$为常数)图象的一部分,其中$y$(单位:米)是球的高度,$x$(单位:米)是球和原点的水平距离,图象经过点$(2,3.2),(4,4.2)$.
信息二:球和原点的水平距离$x$(单位:米)与时间$t$(单位:秒)($0≤t≤1.6$)之间近似满足一次函数关系,部分数据如下:

(1)求$y$与$x$的函数关系式.
(2)网球被击出后经过多长时间到达最大高度?最大高度是多少?
(3)当$t$为1.6秒时,小明将球击回,球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数$y=-0.02x^2+px+m$($p,m$为常数)图象的一部分,其中$y$(单位:米)是球的高度,$x$(单位:米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标$x=2$时,纵坐标$y≥1.8$,则$p$的取值范围为(直接写出结果).

8.解:(1)
∵二次函数的图象经过点$(2,3.2)$和$(4,4.2)$,
∴$\begin{cases}4a+2b+1.8=3.2,\\16a+4b+1.8=4.2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-0.05,\\b=0.8.\end{cases}$
∴$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$. (2)
∵$y=-0.05x^2+0.8x+1.8=-0.05(x-8)^2+5$,
∴当$x=8$时,$y_{max}=5$.
∵$x$与$t$是一次函数关系,
∴可设$x=kt+c$. 将$(0,0)$和$(0.4,4)$代入,得$\begin{cases}c=0,\\0.4k+c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=10,\\c=0.\end{cases}$
∴$x=10t$.
∴当$x=8$时,$t=0.8$.
∴经过0.8秒到达最大高度,最大高度是5米. (3)$p≤0.36$

【分析】
(1) 求y与x的函数关系式时，已知二次函数的常数项为1.8，且图象过两个已知点，只需将两点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b，进而得到函数关系式。
(2) 求最大高度及对应时间，首先将(1)得到的二次函数解析式配方，找到顶点坐标即可得到最大高度和对应的水平距离x；再根据x与t为一次函数关系，用待定系数法求出x关于t的解析式，将最大高度对应的x值代入即可求出时间t。
(3) 先计算t=1.6时对应的x值，代入第一个二次函数得到击回点的坐标，将该点代入第二个二次函数得到m与p的关系式；再结合x=2时y≥1.8的条件，代入第二个二次函数列不等式，解不等式即可得到p的取值范围。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=ax^2+bx+1.8$的图象经过点$(2,3.2)$和$(4,4.2)$，
∴$\begin{cases}4a+2b+1.8=3.2\\16a+4b+1.8=4.2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=-0.05\\b=0.8\end{cases}$，
∴$y$与$x$的函数关系式为$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$。
(2) 将$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$配方得：
$y=-0.05(x-8)^2+5$，
∴当$x=8$时，$y$的最大值为5米。
设$x$与$t$的一次函数关系式为$x=kt+c$，将$(0,0)$和$(0.4,4)$代入得：
$\begin{cases}c=0\\0.4k+c=4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=10\\c=0\end{cases}$，即$x=10t$。
当$x=8$时，$t=8÷10=0.8$。
即网球被击出后经过0.8秒到达最大高度，最大高度为5米。
(3) 当$t=1.6$时，$x=10×1.6=16$，代入第一个函数得$y=1.8$，即击回点为$(16,1.8)$，代入$y=-0.02x^2+px+m$得$m=6.92-16p$。
当$x=2$时，$y=-0.08+2p+m≥1.8$，将$m=6.92-16p$代入解得$p≤0.36$。
【答案】
(1) $y=-0.05x^2+0.8x+1.8$；
(2) 经过0.8秒到达最大高度，最大高度是5米；
(3) $p≤0.36$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的性质，一次函数的应用
【点评】
本题结合实际运动场景考查一次函数与二次函数的综合应用，解题时需要分步拆解问题，理清不同变量之间的关联，侧重考查将实际问题转化为函数问题的能力，以及对函数性质、不等式解法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

9.若方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是－3和1，
则二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象的对称轴
是直线 （）

A.$x=-3$
B.$x=-2$
C.$x=-1$
D.$x=1$

9.C

【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的根就是对应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，而抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴就是两个交点横坐标的平均值，代入两个根计算即可得到对称轴。
【解析】
解：
∵方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是-3和1，
∴二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点坐标分别为$(-3,0)$和$(1,0)$，
∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性；对称轴计算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用二次函数和对应一元二次方程的联系，结合抛物线的对称性求解对称轴，掌握抛物线与x轴两交点横坐标的平均数就是对称轴这一结论，可快速解答这类题型。
【难度系数】
0.8

10.若关于x的两个函数$y=x^2+kx+4$与$y=5x$的图象有且只有一个交点，则k的值为

10.9或1

【分析】
要解决两个函数图象交点个数的问题，首先明确：函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此可通过联立两个函数的解析式，将交点个数问题转化为对应方程的根的个数问题。本题中两个函数分别是二次函数和一次函数，联立后会得到关于x的一元二次方程，当两个图象有且只有一个交点时，说明该一元二次方程有两个相等的实数根，此时可利用一元二次方程根的判别式Δ=0列方程求解k的值。
【解析】
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y = x^2 + kx + 4 \\y = 5x\end{cases}$
将$y=5x$代入二次函数解析式，消去$y$得：
$x^2 + kx + 4 = 5x$
整理为一元二次方程的标准形式：
$x^2 + (k - 5)x + 4 = 0$
∵ 两个函数图象有且只有一个交点
∴ 上述一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，本题中$a=1$，$b=k-5$，$c=4$，代入得：
$(k - 5)^2 - 4×1×4 = 0$
化简得：$(k - 5)^2 = 16$
开方得：$k - 5 = \pm4$
当$k - 5 = 4$时，解得$k=9$；当$k - 5 = -4$时，解得$k=1$
【答案】
9或1
【知识点】
函数图象交点与方程的关系；一元二次方程根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题是函数交点类问题的基础题型，解题关键是掌握“函数图象交点个数等价于联立后方程的根的个数”这一转化思路，结合一元二次方程判别式的性质即可求解，计算时需注意开方后有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

11. 新考向·新定义问题 定义:若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点,并且都在坐标轴上,则称二次函数为一次函数的轴点函数.现已知二次函数$y_1=ax^2+4ax+c$为一次函数$y_2=x+3$的轴点函数,则当$-3＜x＜0$时,$y_1$的取值范围是.

11.$-1≤y_1＜3$

【分析】
首先理解“轴点函数”的定义：一次函数与二次函数的两个交点均在坐标轴上，因此先求出一次函数$y_2=x+3$与x轴、y轴的交点，这两个交点必然在二次函数$y_1$的图象上；再将两个交点坐标代入二次函数解析式，用待定系数法求出a、c的值，得到二次函数的具体表达式；最后将二次函数化为顶点式，结合开口方向、对称轴，分析在区间$-3＜x＜0$内的最值，即可确定$y_1$的取值范围。
【解析】
1. 求一次函数与坐标轴的交点
当$x=0$时，$y_2=0+3=3$，即$y_2$与y轴交点为$(0,3)$；
当$y_2=0$时，$x+3=0$，解得$x=-3$，即$y_2$与x轴交点为$(-3,0)$。
根据轴点函数定义，这两个点都在二次函数$y_1=ax^2+4ax+c$的图象上。
2. 待定系数法求二次函数解析式
将$(0,3)$代入$y_1$，得$c=3$；
将$(-3,0)$、$c=3$代入$y_1$，得$a×(-3)^2+4a×(-3)+3=0$，
化简得$9a-12a+3=0$，解得$a=1$。
因此二次函数解析式为$y_1=x^2+4x+3$。
3. 分析区间内$y_1$的取值范围
将$y_1$化为顶点式：$y_1=x^2+4x+3=(x+2)^2-1$，
可知该函数开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,-1)$。
当$-3＜x＜0$时：
① 顶点$x=-2$在区间内，因此$y_1$的最小值为顶点纵坐标$-1$；
② 区间端点处：$x=-3$时$y_1=0$，$x=0$时$y_1=3$，因区间不包含端点，且$x=0$离对称轴更远、函数值更大，故$y_1＜3$。
综上可得$y_1$的取值范围。
【答案】
$-1≤y_1＜3$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式，二次函数最值
【点评】
本题结合新定义考查一次函数与二次函数的综合应用，解题核心是准确理解新定义找到二次函数经过的两个定点，再结合二次函数图象性质分析区间取值，需注意开区间的端点值无法取到。
【难度系数】
0.7