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1. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，小球除颜色外无差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红球的概率为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道两步有放回的等可能事件概率计算题，解题时首先明确：因为摸球后放回摇匀，所以两次摸球的结果互不影响，每次摸球都有摸到红球、绿球2种等可能的结果。我们可以用列表法或树状图法列举出两次摸球的所有等可能结果，再找出两次都摸到红球的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列举两次摸球的所有等可能结果：
| 第一次摸球\第二次摸球 | 红 | 绿 |
| :---: | :---: | :---: |
| 红 | （红，红） | （红，绿） |
| 绿 | （绿，红） | （绿，绿） |
由上表可得，两次摸球共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种。
根据概率公式可得：$P(两次都摸到红球)=\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确区分放回与不放回试验的差异，正确列举出所有等可能的结果，再代入概率公式计算即可，掌握列表或树状图法列举结果是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
这是一道两步有放回的等可能事件概率计算题，解题时首先明确：因为摸球后放回摇匀，所以两次摸球的结果互不影响，每次摸球都有摸到红球、绿球2种等可能的结果。我们可以用列表法或树状图法列举出两次摸球的所有等可能结果，再找出两次都摸到红球的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列举两次摸球的所有等可能结果：
| 第一次摸球\第二次摸球 | 红 | 绿 |
| :---: | :---: | :---: |
| 红 | （红，红） | （红，绿） |
| 绿 | （绿，红） | （绿，绿） |
由上表可得，两次摸球共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种。
根据概率公式可得：$P(两次都摸到红球)=\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确区分放回与不放回试验的差异，正确列举出所有等可能的结果，再代入概率公式计算即可，掌握列表或树状图法列举结果是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
2. 小明和小凡都是乒乓球运动员，在一次比赛中，每人只允许报“双打”或“单打”中的一项，那么小明和小凡两人中，一人报“单打”，一人报“双打”的概率为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
C
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这个概率问题，首先明确这是等可能事件的概率计算问题。解题思路分三步：第一步先列举出小明和小凡两人报名的所有等可能结果；第二步从中筛选出“一人报单打，一人报双打”的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的报名情况：
| 小明\小凡 | 单打 | 双打 |
| ---- | ---- | ---- |
| 单打 | （单打，单打） | （单打，双打） |
| 双打 | （双打，单打） | （双打，双打） |
由表格可得，所有等可能的结果共有4种，其中满足“一人报单打，一人报双打”的结果有2种，分别是（单打，双打）和（双打，单打）。
根据概率公式计算：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是通过列举法不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合概率公式求解即可，掌握列举法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这个概率问题，首先明确这是等可能事件的概率计算问题。解题思路分三步：第一步先列举出小明和小凡两人报名的所有等可能结果；第二步从中筛选出“一人报单打，一人报双打”的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的报名情况：
| 小明\小凡 | 单打 | 双打 |
| ---- | ---- | ---- |
| 单打 | （单打，单打） | （单打，双打） |
| 双打 | （双打，单打） | （双打，双打） |
由表格可得，所有等可能的结果共有4种，其中满足“一人报单打，一人报双打”的结果有2种，分别是（单打，双打）和（双打，单打）。
根据概率公式计算：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是通过列举法不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合概率公式求解即可，掌握列举法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
3. A教材经典素材·上衣配裤子小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好颜色不同的概率是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
这是一道两步随机事件的概率计算题，解题思路清晰：首先要列举出所有等可能的上衣和裤子的搭配结果，再从中筛选出上衣和裤子颜色不同的结果，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”的公式计算即可。我们可以用列表法清晰呈现所有搭配，避免漏算、错算。
【解析】
用列表法列举所有可能的搭配情况：
| 上衣\裤子 | 黑色 | 白色 |
|-----------|------|------|
| 红色 | 红黑 | 红白 |
| 白色 | 白黑 | 白白 |
由表可得，一共有4种等可能的搭配结果。其中上衣和裤子颜色不同的结果有：红黑、红白、白黑，共3种。
根据概率公式，恰好颜色不同的概率为$P=\frac{3}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，再准确筛选符合条件的结果代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
这是一道两步随机事件的概率计算题，解题思路清晰：首先要列举出所有等可能的上衣和裤子的搭配结果，再从中筛选出上衣和裤子颜色不同的结果，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”的公式计算即可。我们可以用列表法清晰呈现所有搭配，避免漏算、错算。
【解析】
用列表法列举所有可能的搭配情况：
| 上衣\裤子 | 黑色 | 白色 |
|-----------|------|------|
| 红色 | 红黑 | 红白 |
| 白色 | 白黑 | 白白 |
由表可得，一共有4种等可能的搭配结果。其中上衣和裤子颜色不同的结果有：红黑、红白、白黑，共3种。
根据概率公式，恰好颜色不同的概率为$P=\frac{3}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，再准确筛选符合条件的结果代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
4. A教材经典素材·掷硬币 小颖、小亮玩掷硬币游戏，约定按同一种方式掷两枚质地均匀的硬币，如果第一枚正面朝上，第二枚反面朝上，就记为（正，反），以此类推。若出现（正，正），则小颖赢；若出现（反，反），则小亮赢。那么在这个游戏中小颖赢的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.1
A
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.1
答案
A
解析
【分析】
要计算小颖赢的概率，首先需明确掷两枚硬币的所有等可能结果，再找出小颖赢对应的结果数，最后根据等可能事件的概率公式计算即可。思考时可以用枚举法或者列表法罗列所有结果，注意两枚硬币是独立的，（正，反）和（反，正）是两种不同的结果，不能遗漏。
【解析】
掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能出现的结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中满足小颖赢的结果只有（正，正）这1种。
根据等可能事件概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$，可得小颖赢的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，概率公式应用
【点评】
本题是概率计算的基础题型，考查对简单随机事件所有可能结果的列举能力，只要完整枚举所有等可能结果，结合概率公式就能快速求解，是概率部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8
要计算小颖赢的概率，首先需明确掷两枚硬币的所有等可能结果，再找出小颖赢对应的结果数，最后根据等可能事件的概率公式计算即可。思考时可以用枚举法或者列表法罗列所有结果，注意两枚硬币是独立的，（正，反）和（反，正）是两种不同的结果，不能遗漏。
【解析】
掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能出现的结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中满足小颖赢的结果只有（正，正）这1种。
根据等可能事件概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$，可得小颖赢的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，概率公式应用
【点评】
本题是概率计算的基础题型，考查对简单随机事件所有可能结果的列举能力，只要完整枚举所有等可能结果，结合概率公式就能快速求解，是概率部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8
5.(2025·齐齐哈尔)假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
D
解析
【分析】
这是两步等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确每枚鸟卵孵化出雌鸟、雄鸟的概率相等，且两枚鸟卵的孵化结果互不影响；我们可以通过列表法或树状图法不重不漏地列举出所有等可能的孵化结果，再统计出2只雏鸟都是雄鸟的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
我们通过列表法列举所有可能的孵化结果：
| 第一枚\第二枚 | 雄 | 雌 |
| ---- | ---- | ---- |
| 雄 | （雄，雄） | （雄，雌） |
| 雌 | （雌，雄） | （雌，雌） |
由表格可知，一共有4种等可能的孵化结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果只有1种，因此2只雏鸟都是雄鸟的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题属于基础概率题，解题的关键是正确列举所有等可能的结果，避免出现重复或遗漏计数的错误，掌握概率的基本计算公式就能快速作答。
【难度系数】
0.8
这是两步等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确每枚鸟卵孵化出雌鸟、雄鸟的概率相等，且两枚鸟卵的孵化结果互不影响；我们可以通过列表法或树状图法不重不漏地列举出所有等可能的孵化结果，再统计出2只雏鸟都是雄鸟的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
我们通过列表法列举所有可能的孵化结果：
| 第一枚\第二枚 | 雄 | 雌 |
| ---- | ---- | ---- |
| 雄 | （雄，雄） | （雄，雌） |
| 雌 | （雌，雄） | （雌，雌） |
由表格可知，一共有4种等可能的孵化结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果只有1种，因此2只雏鸟都是雄鸟的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题属于基础概率题，解题的关键是正确列举所有等可能的结果，避免出现重复或遗漏计数的错误，掌握概率的基本计算公式就能快速作答。
【难度系数】
0.8
6. A教材经典素材·掷硬币 甲、乙两人共同抛掷一枚质地均匀的硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，反面朝上乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏。
(1)求在前2次抛掷中，甲得2分的概率。
(2)若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率。
(1)求在前2次抛掷中，甲得2分的概率。
(2)若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率。
答案
解:(1)列表略.共有4种等可能的结果,前2次抛掷中甲得2分,即2次均为正面朝上,其结果有1种,
∴甲得2分的概率为$\frac{1}{4}$.(2)在前3次抛掷中,甲已积2分,只需再得1分即可获胜;乙已积1分,需再得2分获胜.后续抛掷的可能情况,画树状图略.第4次正面朝上(概率为$\frac{1}{2}$)或第4次反面朝上、第5次正面朝上(概率为$\frac{1}{4}$),均是甲最终获胜,所以甲最终获胜的概率为$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
∴甲得2分的概率为$\frac{1}{4}$.(2)在前3次抛掷中,甲已积2分,只需再得1分即可获胜;乙已积1分,需再得2分获胜.后续抛掷的可能情况,画树状图略.第4次正面朝上(概率为$\frac{1}{2}$)或第4次反面朝上、第5次正面朝上(概率为$\frac{1}{4}$),均是甲最终获胜,所以甲最终获胜的概率为$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
(1) 求解前2次抛掷中甲得2分的概率，首先明确每次抛质地均匀的硬币，正面、反面朝上为等可能事件，先列举出前2次抛掷的所有等可能结果，再找出“2次均正面朝上（即甲得2分）”的符合条件的结果数，代入古典概型概率公式计算即可。
(2) 已知当前甲积2分、乙积1分，结合“先积3分获胜”的规则，可知甲仅需再得1分即可获胜，乙需再得2分才可获胜，后续最多抛掷2次就会结束游戏。我们可以分类讨论甲获胜的两种情况：①第4次抛掷正面朝上，甲直接获胜；②第4次抛掷反面朝上，第5次抛掷正面朝上，甲获胜，将两种互斥情况的概率相加即可得到甲最终获胜的总概率，也可通过画树状图列举后续所有等可能结果计算概率。
【解析】
(1) 抛掷2次硬币，所有等可能的结果为：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)，共4种；
其中甲得2分即2次均为正面朝上，符合条件的结果有1种，
因此$P(\mathrm{前2次甲得2分})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{1}{4}$。
(2) 当前甲积2分、乙积1分，甲需再得1分获胜，乙需再得2分获胜，后续抛掷最多进行2次即可分出胜负：
① 若第4次抛掷正面朝上，甲直接获胜，该事件的概率为$\frac{1}{2}$；
② 若第4次抛掷反面朝上（此时甲乙均积2分），第5次抛掷正面朝上，甲获胜，该事件的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
两类事件互斥，因此甲最终获胜的概率为$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{3}{4}$
【知识点】
列举法求概率，分步概率计算，分类概率加法
【点评】
本题以抛掷硬币的游戏场景为载体，考查等可能事件概率的计算，解题的关键是准确梳理游戏规则，合理枚举所有等可能结果或对事件进行正确的分类分步分析，避免漏算或多算符合条件的事件。
【难度系数】
0.75
(1) 求解前2次抛掷中甲得2分的概率，首先明确每次抛质地均匀的硬币，正面、反面朝上为等可能事件，先列举出前2次抛掷的所有等可能结果，再找出“2次均正面朝上（即甲得2分）”的符合条件的结果数，代入古典概型概率公式计算即可。
(2) 已知当前甲积2分、乙积1分，结合“先积3分获胜”的规则，可知甲仅需再得1分即可获胜，乙需再得2分才可获胜，后续最多抛掷2次就会结束游戏。我们可以分类讨论甲获胜的两种情况：①第4次抛掷正面朝上，甲直接获胜；②第4次抛掷反面朝上，第5次抛掷正面朝上，甲获胜，将两种互斥情况的概率相加即可得到甲最终获胜的总概率，也可通过画树状图列举后续所有等可能结果计算概率。
【解析】
(1) 抛掷2次硬币，所有等可能的结果为：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)，共4种；
其中甲得2分即2次均为正面朝上，符合条件的结果有1种，
因此$P(\mathrm{前2次甲得2分})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{1}{4}$。
(2) 当前甲积2分、乙积1分，甲需再得1分获胜，乙需再得2分获胜，后续抛掷最多进行2次即可分出胜负：
① 若第4次抛掷正面朝上，甲直接获胜，该事件的概率为$\frac{1}{2}$；
② 若第4次抛掷反面朝上（此时甲乙均积2分），第5次抛掷正面朝上，甲获胜，该事件的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
两类事件互斥，因此甲最终获胜的概率为$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{3}{4}$
【知识点】
列举法求概率，分步概率计算，分类概率加法
【点评】
本题以抛掷硬币的游戏场景为载体，考查等可能事件概率的计算，解题的关键是准确梳理游戏规则，合理枚举所有等可能结果或对事件进行正确的分类分步分析，避免漏算或多算符合条件的事件。
【难度系数】
0.75
7. NEW 新考向·跨学科融合 在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：在一定时间段内电流可正常通过的状态，即“通电”状态；在一定时间段内电流无法通过的状态，即“断开”状态，并且这两种状态发生的可能性相等。如图，请解答下列问题：
(1)在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率为
(2)用画树状图或列表的方法，求在一定时间段内C，D之间电流能够正常通过的概率.
(1)在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率为
$\frac{1}{4}$
.(2)用画树状图或列表的方法，求在一定时间段内C，D之间电流能够正常通过的概率.
答案
解:(1)$\frac{1}{4}$
(2)画树状图略.共有4种等可能的结果,在一定时间段内C,D之间电流能够正常通过的结果有3种,
∴在一定时间段内C,D之间电流能够正常通过的概率为$\frac{3}{4}$.
(2)画树状图略.共有4种等可能的结果,在一定时间段内C,D之间电流能够正常通过的结果有3种,
∴在一定时间段内C,D之间电流能够正常通过的概率为$\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
解题前先明确电路通路规则：串联电路中，所有元件都通电时电路才通路；并联电路中，至少有一个元件通电时电路就通路，且每个元件通电、断开是等可能的两种状态。
(1)求解A、B间通路概率：先列举两个串联元件的所有等可能状态，再找出满足“两个都通电”的情况数，用等可能事件概率公式计算即可。
(2)求解C、D间通路概率：用树状图列出两个并联元件的所有等可能状态，找出满足“至少一个元件通电”的情况数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1)设A、B之间的两个元件分别为元件1、元件2，每个元件有“通电”“断开”两种等可能的状态，两个元件的状态组合共有4种等可能的结果：（通电，通电）、（通电，断开）、（断开，通电）、（断开，断开）。
A、B之间为串联电路，只有两个元件都通电时电流才能正常通过，满足条件的结果只有1种，因此对应概率为$\frac{1}{4}$。
(2)设C、D之间的两个元件分别为元件a、元件b，画树状图列举所有情况：
第一层为元件a的状态，分为通电、断开2种；第二层为元件b的状态，对应元件a的每种状态，元件b都有通电、断开2种，因此总共有$2×2=4$种等可能的结果：（通电，通电）、（通电，断开）、（断开，通电）、（断开，断开）。
C、D之间为并联电路，只要至少有一个元件通电，电流就能正常通过，满足条件的结果有3种，因此对应概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 串并联电路特点
2. 树状图法求概率
3. 等可能事件概率
【点评】
本题为跨学科融合题型，将电路知识与概率计算结合，既考查了对串并联电路通路条件的认知，又考查了用列举法求解等可能事件概率的基本方法，注重基础知识的综合运用。
【难度系数】
0.75
解题前先明确电路通路规则：串联电路中，所有元件都通电时电路才通路；并联电路中，至少有一个元件通电时电路就通路，且每个元件通电、断开是等可能的两种状态。
(1)求解A、B间通路概率：先列举两个串联元件的所有等可能状态，再找出满足“两个都通电”的情况数，用等可能事件概率公式计算即可。
(2)求解C、D间通路概率：用树状图列出两个并联元件的所有等可能状态，找出满足“至少一个元件通电”的情况数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1)设A、B之间的两个元件分别为元件1、元件2，每个元件有“通电”“断开”两种等可能的状态，两个元件的状态组合共有4种等可能的结果：（通电，通电）、（通电，断开）、（断开，通电）、（断开，断开）。
A、B之间为串联电路，只有两个元件都通电时电流才能正常通过，满足条件的结果只有1种，因此对应概率为$\frac{1}{4}$。
(2)设C、D之间的两个元件分别为元件a、元件b，画树状图列举所有情况：
第一层为元件a的状态，分为通电、断开2种；第二层为元件b的状态，对应元件a的每种状态，元件b都有通电、断开2种，因此总共有$2×2=4$种等可能的结果：（通电，通电）、（通电，断开）、（断开，通电）、（断开，断开）。
C、D之间为并联电路，只要至少有一个元件通电，电流就能正常通过，满足条件的结果有3种，因此对应概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 串并联电路特点
2. 树状图法求概率
3. 等可能事件概率
【点评】
本题为跨学科融合题型，将电路知识与概率计算结合，既考查了对串并联电路通路条件的认知，又考查了用列举法求解等可能事件概率的基本方法，注重基础知识的综合运用。
【难度系数】
0.75
