回顾与思考(五) 二次函数
大单元知识结构图
解释
实际问题
抽象
二次函数模型
二次函数的图象
二次函数的应用
二次函数与一元二次方程
函数
$y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)$
$a＞0$
$a＜0$
对称轴:直线$x=$①
对称轴:直线$x=$③
图象
顶点坐标:②
顶点坐标:④
(1)增减性;(2)函数最值:⑤
$y=ax^2$
左(右)平移
$y=a(x-h)^2$
上(下)平移
上(下)平移
左(右)、上(下)平移
$y=a(x-h)^2+k$
$y=ax^2+k$
左(右)平移

①$-\frac{b}{2a}$ ②$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$ ③$-\frac{b}{2a}$ ④$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$ ⑤$\frac{4ac-b^2}{4a}$

【分析】
本题考查二次函数一般式的基础性质，解题思路如下：首先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点式推导过程，无论是$a＞0$（开口向上）还是$a＜0$（开口向下），对称轴、顶点坐标的表达式不受$a$的符号影响；函数的最值为顶点的纵坐标，对应填写对应公式即可。
【解析】
我们通过配方法推导二次函数一般式的性质：
对$y=ax^2+bx+c(a≠0)$配方得：
$\begin{aligned}y&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
1. 对称轴：无论$a＞0$还是$a＜0$，对称轴均为直线$x=-\frac{b}{2a}$，因此①、③均填$-\frac{b}{2a}$；
2. 顶点坐标：顶点在对称轴上，对应纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，故②、④均填该坐标；
3. 函数最值：二次函数的最值为顶点的纵坐标，$a＞0$时为最小值，$a＜0$时为最大值，统一表达式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此⑤填该式。
【答案】
①$-\frac{b}{2a}$；②$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；③$-\frac{b}{2a}$；④$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；⑤$\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数基本性质；二次函数对称轴；二次函数最值
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数一般式对应的对称轴、顶点坐标、最值公式的记忆，是二次函数模块的核心基础内容，熟练掌握这些公式是解决后续二次函数综合题的前提。
【难度系数】
0.9

1. 对于二次函数$y=(x+1)^2+2$的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-1$
C.顶点坐标是$(1,2)$
D.与$x$轴有两个交点

1.B

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数意义：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；再通过令函数值为0，判断方程是否有实根，即可确定抛物线与x轴的交点情况，最后逐一验证四个选项得出答案。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x+1)^2+2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，对应参数为$a=1$，$h=-1$，$k=2$。
选项A：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A错误；
选项B：对称轴为直线$x=h=-1$，B正确；
选项C：顶点坐标为$(h,k)=(-1,2)$，不是$(1,2)$，C错误；
选项D：令$y=0$，可得方程$(x+1)^2+2=0$，变形得$(x+1)^2=-2$，由于平方数具有非负性，该方程无实数根，因此抛物线与x轴没有交点，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征；抛物线与x轴交点判断
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查对顶点式各参数对应性质的掌握，属于应知应会的常规得分题，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85

2.若抛物线$y=ax^2 -4x +c$的开口向下，交y轴于正半轴，则抛物线的顶点位于（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

2.B

【分析】
解题时首先从题干给出的两个条件入手：①抛物线开口向下，可直接判断二次项系数a的符号；②抛物线交y轴于正半轴，代入x=0可得到常数项c的符号。接下来回忆二次函数顶点坐标的计算方法，分别计算顶点的横坐标与纵坐标的正负，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，即可判断顶点所在象限。
【解析】
解：1. 判断参数符号：
∵ 抛物线$y=ax^2 -4x +c$开口向下，
∴ $a＜0$；
∵ 抛物线交y轴于正半轴，即x=0时，$y=c＞0$。
2. 计算顶点横坐标：
二次函数顶点的横坐标为对称轴位置，公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-4$，代入得：
$x=-\frac{-4}{2a}=\frac{2}{a}$，
∵ $a＜0$，
∴ $\frac{2}{a}＜0$，即顶点横坐标为负。
3. 计算顶点纵坐标：
用配方法将函数化为顶点式：
$y=ax^2-4x+c=a(x-\frac{2}{a})^2 + c - \frac{4}{a}$，
∴ 顶点纵坐标为$c - \frac{4}{a}$，
∵ $a＜0$，
∴ $-\frac{4}{a}＞0$，又$c＞0$，
∴ $c - \frac{4}{a} = c + |\frac{4}{a}|＞0$，即顶点纵坐标为正。
4. 判断象限：横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图像性质
2. 二次函数顶点坐标
3. 象限坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础性质的综合应用题，解题关键是先根据抛物线的开口方向、与y轴交点位置确定参数的符号，再推导顶点横纵坐标的正负，掌握二次函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7

3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+b$和二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可能为（）

3.A

【分析】
解决这类函数图象共存问题，核心是抓住两个函数解析式中相同参数的符号一致性来逐步排除错误选项：首先看参数a，二次函数的开口方向由a的正负决定，一次函数的升降趋势也由a的正负决定，先排除a符号矛盾的选项；再验证参数b的特征，结合一次函数与y轴的交点、二次函数对称轴的位置，判断剩余选项是否符合，最终得到正确答案。
【解析】
1. 先判断参数a的符号是否一致：
选项A：二次函数开口向下，故$a＜0$；一次函数从左上向右下倾斜，斜率为负，即$a＜0$，a符号一致，暂留。
选项B：二次函数开口向上，故$a＞0$；一次函数从左上向右下倾斜，斜率为负，即$a＜0$，a符号矛盾，排除B。
选项C：二次函数开口向上，故$a＞0$；一次函数从左下向右上倾斜，斜率为正，即$a＞0$，a符号一致，暂留。
选项D：二次函数开口向上，故$a＞0$；一次函数从左上向右下倾斜，斜率为负，即$a＜0$，a符号矛盾，排除D。
2. 再验证剩余选项A、C的参数b是否符合：
选项A：一次函数与y轴交于负半轴，故$b＜0$；二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$、$b＜0$，得$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧，和图象特征一致，符合要求。
选项C：一次函数与y轴交于正半轴，故$b＞0$；代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，已知$a＞0$、$b＞0$，得$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴应在y轴左侧，但图象中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除C。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题关键是紧扣相同参数在不同函数图象中的特征，用排除法快速筛选答案，能有效考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7

4. 抛物线 $y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$ 是常数，$a＜0$）经过 $(-1,1),(m,1)$ 两点，且 $m＞-1$，点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在抛物线上. 若当 $x_1+x_2≥-\dfrac{1}{2}$ 且 $x_1＞x_2$ 时，总有 $y_1＜y_2$，则 $m$ 的取值范围是（）

A.$-1＜m≤\dfrac{1}{2}$
B.$-1＜m＜\dfrac{1}{2}$
C.$m≥\dfrac{1}{2}$
D.$m＞\dfrac{1}{2}$

4.B

【分析】
首先根据抛物线上纵坐标相同的两个点确定对称轴，再结合抛物线开口向下的性质，将函数值的大小关系转化为横坐标到对称轴的距离关系，通过化简距离不等式得到$x_1+x_2$与对称轴的关系，最后结合题目的恒成立条件求出$m$的取值范围，同时注意等号是否成立的判断。
【解析】
1. 求对称轴：已知抛物线经过$(-1,1)$、$(m,1)$两点，两点纵坐标相等，因此两点关于抛物线的对称轴对称，可得对称轴为直线$x=\frac{-1+m}{2}$，记为$h=\frac{m-1}{2}$。
2. 分析函数值大小与横坐标的关系：由$a＜0$可知抛物线开口向下，因此横坐标离对称轴越远，对应的函数值越小。题设$x_1＞x_2$时总有$y_1＜y_2$，说明$x_1$到对称轴的距离大于$x_2$到对称轴的距离，即$|x_1-h|＞|x_2-h|$。
3. 化简不等式：对上述不等式两边平方得$(x_1-h)^2＞(x_2-h)^2$，展开整理可得$(x_1-x_2)(x_1+x_2-2h)＞0$。
4. 结合条件推导关系：因为$x_1＞x_2$，所以$x_1-x_2＞0$，要使不等式恒成立，需满足$x_1+x_2-2h＞0$，即$x_1+x_2＞2h$。
5. 求解$m$的范围：题中要求当$x_1+x_2≥-\frac{1}{2}$时上述关系恒成立，因此需满足$-\frac{1}{2}＞2h$（若$-\frac{1}{2}=2h$，则$x_1+x_2=-\frac{1}{2}$时$y_1=y_2$，不符合$y_1＜y_2$的要求）。将$2h=m-1$代入得$-\frac{1}{2}＞m-1$，解得$m＜\frac{1}{2}$，结合已知$m＞-1$，最终得$-1＜m＜\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质；不等式恒成立
【点评】
本题将二次函数的性质与不等式恒成立问题结合，核心是利用抛物线的对称性确定对称轴，再把函数值的大小比较转化为横坐标到对称轴的距离比较，需要掌握转化思想，注意判断等号是否可取是解题的易错点。
【难度系数】
0.6

5. (2025·济南改编)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$为常数，$a≠0$)图象的顶点坐标是$(-1,n)$，且经过$(1,0),(0,m)$两点，$3＜m＜4$.有下列结论：
①关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c -n +1=0(a≠0)$有两个不相等的实数根；
②当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；
③$-\dfrac{4}{3}＜a＜-1$；
④$4a-2b+c＞0$；
⑤对于任意实数$t$，总有$(t+1)(at -a +b)≤0$.
其中正确的有.(填序号)

5.①②③④⑤

【分析】
已知二次函数顶点坐标，优先设顶点式简化计算，先代入已知点(1,0)得到顶点纵坐标n与参数a的关系，再代入点(0,m)得到m与a的关系，结合3＜m＜4求出a的取值范围，再结合二次函数的开口方向、对称性、最值等性质逐一判断5个结论是否正确。
【解析】
第一步：设二次函数顶点式，推导参数关系
∵二次函数顶点坐标为$(-1,n)$，
∴设函数解析式为$y=a(x+1)^2+n$（$a≠0$）。
将点$(1,0)$代入解析式得：$0=a(1+1)^2+n$，即$4a+n=0$，解得$n=-4a$。
因此函数解析式可写为$y=a(x+1)^2-4a$，展开得$y=ax^2+2ax-3a$，即$b=2a$，$c=-3a$。
第二步：求a的取值范围，判断结论③
将点$(0,m)$代入解析式得：$m=c=-3a$，已知$3＜m＜4$，代入得$3＜-3a＜4$，不等式三边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得$-\frac{4}{3}＜a＜-1$，故结论③正确，同时可知$a＜0$，抛物线开口向下。
第三步：逐一判断其余结论
① 方程$ax^2+bx+c-n+1=0$可变形为$ax^2+bx+c=n-1$，即判断抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=n-1$的交点个数。
∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标$n$，$n＞n-1$，
∴直线$y=n-1$与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，结论①正确。
② 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，根据二次函数增减性，当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，结论②正确。
④ $4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，点$x=-2$关于对称轴$x=-1$的对称点为$x=0$，$x=0$时$y=m＞3＞0$，由对称性可知$x=-2$时$y=4a-2b+c=m＞0$，结论④正确。
⑤ 将$b=2a$代入左边式子：
$(t+1)(at-a+b)=(t+1)(at-a+2a)=(t+1)(at+a)=a(t+1)^2$，
∵$a＜0$，$(t+1)^2≥0$，
∴$a(t+1)^2≤0$，即对任意实数$t$，总有$(t+1)(at-a+b)≤0$，结论⑤正确。
【答案】
①②③④⑤
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；不等式的性质
【点评】
本题是二次函数综合题，需要灵活运用顶点式、函数对称性、最值性质等知识逐一验证结论，解题核心是用参数$a$表示其余系数，结合已知条件推导参数范围，再结合函数性质分析判断。
【难度系数】
0.4

6.已知二次函数$y=x^2+bx+c$（$b,c$为常数）的图象经过点$A(-2,5)$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$。
(1)求二次函数的表达式。
(2)若将点$B(1,7)$先向上平移2个单位长度，再向左平移$m(m＞0)$个单位长度后，恰好落在$y=x^2+bx+c$的图象上，求$m$的值。
(3)当$-2≤ x≤ n$时，二次函数$y=x^2+bx+c$的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，求$n$的取值范围。

6.解:(1)
∵对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}$,
∴$b=1$.
∴$y=x^2+x+c$.
又
∵图象经过点$A(-2,5)$,
∴$4-2+c=5$.
∴$c=3$.
∴二次函数的表达式为$y=x^2+x+3$. (2)
∵将点$B(1,7)$先向上平移2个单位长度,再向左平移$m(m＞0)$个单位长度,
∴平移后的对应点为$(1-m,9)$.
∵点$(1-m,9)$在$y=x^2+x+3$的图象上,
∴$9=(1-m)^2+(1-m)+3$,解得$m=4$或$m=-1$(舍去).
∴$m=4$. (3)$y=x^2+x+3=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}$. 当$n＜-\frac{1}{2}$时,最大值为$(-2)^2+(-2)+3=5$,最小值为$(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}$,
∴$5-[(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}]=\frac{9}{4}$,解得$n_1=n_2=-\frac{1}{2}$,不符合题意,舍去;当$-\frac{1}{2}≤n≤1$时,最大值为5,最小值为$\frac{11}{4}$,
∴最大值与最小值的差为$5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$,符合题意;当$n＞1$时,最大值为$(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}$,最小值为$\frac{11}{4}$,
∴$(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$,解得$n=1$或$n=-2$,均不符合题意,舍去. 综上所述,$n$的取值范围为$-\frac{1}{2}≤n≤1$.

【分析】
(1) 求二次函数表达式可先利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，本题中二次项系数$a=1$，结合已知对称轴$x=-\frac{1}{2}$即可求出$b$的值，再将点$A(-2,5)$代入含$b$的函数解析式，求解得到$c$的值，即可确定函数表达式。
(2) 先根据点平移的坐标变化规律：横坐标左减右加、纵坐标上加下减，求出点$B$平移后的坐标，再将平移后的坐标代入(1)中求得的函数解析式，解方程得到$m$的解，结合$m＞0$的条件舍去不符合题意的解即可。
(3) 先将二次函数化为顶点式，确定其最小值和对称轴，再分三种情况讨论$n$的范围：①$n＜-\frac{1}{2}$（对称轴左侧）、②$-\frac{1}{2}≤n≤1$（对称轴到与$x=-2$对称的点之间）、③$n＞1$（对称点右侧），分别计算每种情况下最大值与最小值的差，筛选出差为$\frac{9}{4}$的范围即可得到$n$的取值。
【解析】
(1)
∵对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}$,
∴$b=1$.
∴$y=x^2+x+c$.
又
∵图象经过点$A(-2,5)$,
∴$4-2+c=5$.
∴$c=3$.
∴二次函数的表达式为$y=x^2+x+3$.
(2)
∵将点$B(1,7)$先向上平移2个单位长度,再向左平移$m(m＞0)$个单位长度,
∴平移后的对应点为$(1-m,9)$.
∵点$(1-m,9)$在$y=x^2+x+3$的图象上,
∴$9=(1-m)^2+(1-m)+3$,解得$m=4$或$m=-1$(舍去).
∴$m=4$.
(3)$y=x^2+x+3=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}$.
当$n＜-\frac{1}{2}$时,最大值为$(-2)^2+(-2)+3=5$,最小值为$(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}$,
∴$5-[(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}]=\frac{9}{4}$,解得$n_1=n_2=-\frac{1}{2}$,不符合题意,舍去;
当$-\frac{1}{2}≤n≤1$时,最大值为5,最小值为$\frac{11}{4}$,
∴最大值与最小值的差为$5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$,符合题意;
当$n＞1$时,最大值为$(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}$,最小值为$\frac{11}{4}$,
∴$(n+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$,解得$n=1$或$n=-2$,均不符合题意,舍去.
综上所述,$n$的取值范围为$-\frac{1}{2}≤n≤1$.
【答案】
(1) $y=x^2+x+3$
(2) $m=4$
(3) $-\frac{1}{2}≤n≤1$
【知识点】
1. 二次函数解析式的确定
2. 点的平移规律
3. 二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关知识，前两问侧重基础，难度较低；第三问需要结合二次函数的增减性进行分类讨论，能够很好地考查分类讨论的数学思想，以及对二次函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6