新考向·跨学科融合(2025·兰州)综合与实践
在学校项目式学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究. 请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题.
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽. 探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决.
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(单位：%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据如下：

【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
说明:①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于或等于0且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验.
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式.
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围.

(1)观察各点的分布规律可知，y关于x的函数是二次函数. 设该二次函数的表达式为y=ax²+bx+35. 将(1,56),(2,63)代入，得$\begin{cases} a+b+35=56, \\ 4a+2b+35=63, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-7, \\ b=28. \end{cases}$
∴该二次函数的表达式为y=-7x²+28x+35.
(2)由表可知，当x=0或x=4时，种子的自然发芽率为35%. 当y=0时，-7x²+28x+35=0，解得x₁=-1(不合题意，舍去)，x₂=5.
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5.

【分析】
(1) 首先观察描点的分布特征，呈抛物线形态，因此判断y与x符合二次函数关系；已知x=0时自然发芽率y=35，可直接确定二次函数的常数项，设解析式为y=ax²+bx+35，再代入两组已知点的坐标，联立二元一次方程组求解参数a、b，即可得到函数表达式。
(2) 先明确抑制发芽的判定条件：发芽率大于等于0且小于自然发芽率35%，同时生长素浓度x＞0。先求解y=35时对应的x值，排除x=0的自然状态得到临界值x=4；再求解y=0时对应的x值，舍去不符合实际的负根得到临界值x=5，结合题意即可确定浓度范围。
【解析】
(1) 观察各点的分布规律可知，y关于x的函数是二次函数。
已知当x=0时，y=35，设该二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+35$。
将$(1,56)$、$(2,63)$代入表达式，得：
$\begin{cases} a+b+35=56 \\ 4a+2b+35=63 \end{cases}$
解方程组得$\begin{cases} a=-7 \\ b=28 \end{cases}$
∴该二次函数的表达式为$y=-7x^2+28x+35$。
(2) 由题意可知种子自然发芽率为35%，抑制发芽满足$0\le y＜35$且$x＞0$。
令$y=35$，代入函数得：$-7x^2+28x+35=35$，化简解得$x_1=0$，$x_2=4$，即x=4时发芽率等于自然发芽率。
令$y=0$，代入函数得：$-7x^2+28x+35=0$，化简解得$x_1=-1$（浓度为负不合题意，舍去），$x_2=5$，即x=5时发芽率为0，停止实验。
因此抑制种子发芽时的生长素浓度范围为$4＜x\le5$。
【答案】
(1) 函数类型为二次函数，表达式为$\boldsymbol{y=-7x^2+28x+35}$；
(2) 抑制种子发芽时的生长素浓度范围为$\boldsymbol{4＜x\le5}$。
【知识点】
二次函数建模，二次函数与一元二次方程，函数实际应用
【点评】
本题结合生物实验背景考查二次函数的应用，需要先提取题干中的限定条件明确变量的实际意义，再结合函数与方程的关系求解，既考查了二次函数的基础知识点，也锻炼了跨学科信息提取和数学建模的能力。
【难度系数】
0.7