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1. 下列各数中,是方程$x^2 - x = 2$的解的是（
A.1
B.0
C.-1
D.-2
C
）A.1
B.0
C.-1
D.-2
答案
1.C
解析
【分析】
要判断选项中的数是不是方程的解，核心依据是方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题有两种常用思路：思路1：将四个选项的数值分别代入方程左右两边，计算两边结果是否相等，相等的即为方程的解；思路2：先把方程整理为一元二次方程的标准形式，求解出方程的所有根，再匹配选项中的数值即可。
【解析】
方法一（代入验证法）：
原方程为$x^2 - x = 2$
代入A选项$x=1$：左边$=1^2-1=0$，右边$=2$，左边≠右边，不是方程的解；
代入B选项$x=0$：左边$=0^2-0=0$，右边$=2$，左边≠右边，不是方程的解；
代入C选项$x=-1$：左边$=(-1)^2-(-1)=1+1=2$，右边$=2$，左边=右边，是方程的解；
代入D选项$x=-2$：左边$=(-2)^2-(-2)=4+2=6$，右边$=2$，左边≠右边，不是方程的解。
方法二（解方程法）：
将原方程移项化为标准形式：$x^2 -x -2=0$
因式分解得：$(x-2)(x+1)=0$
$\therefore x-2=0$或$x+1=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$
选项中只有$-1$是方程的解，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程解的判定，对于选择题来说，代入验证法计算量小、作答更快捷，熟练掌握方程解的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断选项中的数是不是方程的解，核心依据是方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题有两种常用思路：思路1：将四个选项的数值分别代入方程左右两边，计算两边结果是否相等，相等的即为方程的解；思路2：先把方程整理为一元二次方程的标准形式，求解出方程的所有根，再匹配选项中的数值即可。
【解析】
方法一（代入验证法）：
原方程为$x^2 - x = 2$
代入A选项$x=1$：左边$=1^2-1=0$，右边$=2$，左边≠右边，不是方程的解；
代入B选项$x=0$：左边$=0^2-0=0$，右边$=2$，左边≠右边，不是方程的解；
代入C选项$x=-1$：左边$=(-1)^2-(-1)=1+1=2$，右边$=2$，左边=右边，是方程的解；
代入D选项$x=-2$：左边$=(-2)^2-(-2)=4+2=6$，右边$=2$，左边≠右边，不是方程的解。
方法二（解方程法）：
将原方程移项化为标准形式：$x^2 -x -2=0$
因式分解得：$(x-2)(x+1)=0$
$\therefore x-2=0$或$x+1=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$
选项中只有$-1$是方程的解，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程解的判定，对于选择题来说，代入验证法计算量小、作答更快捷，熟练掌握方程解的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.(2025·青海)若$x=1$是一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$的一个解，则$c$的值为
3
。答案
2.3
解析
【分析】
要解决本题，首先需回忆一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。已知x=1是方程的解，那么将x=1代入原方程，等式必然成立，此时可得到一个关于c的一元一次方程，解该方程即可求出c的值。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$的一个解，
∴将$x=1$代入原方程，得：
$1^2 - 4×1 + c = 0$
计算整理得：$1 - 4 + c = 0$
即：$-3 + c = 0$
解得：$c=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的解；代入法求参数；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的定义的应用，只要理解“方程的解代入原方程可使等式成立”这一规律，通过简单计算即可得到结果，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需回忆一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。已知x=1是方程的解，那么将x=1代入原方程，等式必然成立，此时可得到一个关于c的一元一次方程，解该方程即可求出c的值。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$的一个解，
∴将$x=1$代入原方程，得：
$1^2 - 4×1 + c = 0$
计算整理得：$1 - 4 + c = 0$
即：$-3 + c = 0$
解得：$c=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的解；代入法求参数；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的定义的应用，只要理解“方程的解代入原方程可使等式成立”这一规律，通过简单计算即可得到结果，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.9
3.若$x=m$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2025x+1=0$的一个根，则代数式$m^2+2025m$的值为
-1
。答案
3.-1
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根。已知x=m是方程的根，那么将x=m代入原方程，等式一定成立，再通过简单的移项运算就能求出待求代数式的值。
【解析】
解：
∵x=m是一元二次方程$x^2+2025x+1=0$的一个根，
∴将x=m代入方程，可得：
$m^2 + 2025m + 1 = 0$，
移项得：$m^2 + 2025m = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握一元二次方程根的定义，直接代入根后进行简单变形即可得到结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根。已知x=m是方程的根，那么将x=m代入原方程，等式一定成立，再通过简单的移项运算就能求出待求代数式的值。
【解析】
解：
∵x=m是一元二次方程$x^2+2025x+1=0$的一个根，
∴将x=m代入方程，可得：
$m^2 + 2025m + 1 = 0$，
移项得：$m^2 + 2025m = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握一元二次方程根的定义，直接代入根后进行简单变形即可得到结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
4. 根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个解x的取值范围是（
A.$x＜3.24$
B.$3.24＜x＜3.25$
C.$3.25＜x＜3.26$
D.$x＞3.26$
B
）A.$x＜3.24$
B.$3.24＜x＜3.25$
C.$3.25＜x＜3.26$
D.$x＞3.26$
答案
4.B
解析
【分析】
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确方程的解等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的x的取值。二次函数的图象是连续的抛物线，当函数值在两个相邻的x取值处由负变正（或由正变负）时，这两个x值之间必然存在一个x使得函数值为0，也就是方程的解。观察表格中给出的x对应的函数值，找到函数值正负发生变化的相邻x区间即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时x的值。
由表格数据可知：
当$x=3.24$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；
当$x=3.25$时，$ax^2+bx+c=0.01＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$3.24＜x＜3.25$的范围内，必然存在一个x使得$ax^2+bx+c=0$，即方程的一个解的取值范围是$3.24＜x＜3.25$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；二次函数与一元二次方程的联系；近似解估算
【点评】
本题主要考查一元二次方程近似解的估算，解题的关键是理解一元二次方程的解与对应二次函数函数值之间的关系，结合函数的连续性判断解的区间，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.75
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确方程的解等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的x的取值。二次函数的图象是连续的抛物线，当函数值在两个相邻的x取值处由负变正（或由正变负）时，这两个x值之间必然存在一个x使得函数值为0，也就是方程的解。观察表格中给出的x对应的函数值，找到函数值正负发生变化的相邻x区间即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时x的值。
由表格数据可知：
当$x=3.24$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；
当$x=3.25$时，$ax^2+bx+c=0.01＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$3.24＜x＜3.25$的范围内，必然存在一个x使得$ax^2+bx+c=0$，即方程的一个解的取值范围是$3.24＜x＜3.25$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；二次函数与一元二次方程的联系；近似解估算
【点评】
本题主要考查一元二次方程近似解的估算，解题的关键是理解一元二次方程的解与对应二次函数函数值之间的关系，结合函数的连续性判断解的区间，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.75
5.(教材习题变式)“一块矩形铁片,面积为10 m²,长比宽多4 m,求铁片的长.”小颖在做这道题时,是这样考虑的:设铁片的长为x m,列出方程为$x(x-4)=10$,整理,得$x^2 -4x -10=0$.小颖列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是她的探索过程.
第一步:
所以
第二步:
所以
(1)请帮小颖完成她未完成的部分.
(2)通过以上探索,可以估计矩形铁片长的整数部分是
第一步:
所以
5
＜$x$＜6
.第二步:
所以
5.7
＜$x$＜5.8
.(1)请帮小颖完成她未完成的部分.
(2)通过以上探索,可以估计矩形铁片长的整数部分是
5
,十分位是7
.答案
5.(1)5 6 5.7 5.8 (2)5 7
解析
【分析】
我们通过试值代入法估算一元二次方程$x^2 -4x -10=0$的正根范围：首先代入整数计算代数式$x^2-4x-10$的值，找到值由负变正的两个相邻整数，确定x的整数范围；再在该整数范围内代入不同的一位小数计算，找到代数式值由负变正的两个相邻一位小数，确定x的十分位范围，最终就能得到矩形长的整数部分和十分位。
【解析】
(1) 第一步：代入整数计算代数式$x^2-4x-10$的值：
当$x=5$时，$5^2 -4×5 -10=25-20-10=-5＜0$；
当$x=6$时，$6^2 -4×6 -10=36-24-10=2＞0$；
因此$\boldsymbol{5}＜x＜\boldsymbol{6}$。
第二步：在5~6之间代入一位小数计算：
当$x=5.7$时，$5.7^2 -4×5.7 -10=32.49-22.8-10=-0.31＜0$；
当$x=5.8$时，$5.8^2 -4×5.8 -10=33.64-23.2-10=0.44＞0$；
因此$\boldsymbol{5.7}＜x＜\boldsymbol{5.8}$。
(2) 由上述范围可知，矩形铁片长的整数部分是5，十分位是7。
【答案】
(1) 5，6；5.7，5.8
(2) 5，7
【知识点】
一元二次方程解的估算，代数式求值，矩形面积计算
【点评】
本题考查用试值法估算一元二次方程的解，解题核心是逐步缩小解的取值范围，当两个相邻数对应的代数式值异号时，方程的解就落在这两个数之间，能有效锻炼估算思维。
【难度系数】
0.7
我们通过试值代入法估算一元二次方程$x^2 -4x -10=0$的正根范围：首先代入整数计算代数式$x^2-4x-10$的值，找到值由负变正的两个相邻整数，确定x的整数范围；再在该整数范围内代入不同的一位小数计算，找到代数式值由负变正的两个相邻一位小数，确定x的十分位范围，最终就能得到矩形长的整数部分和十分位。
【解析】
(1) 第一步：代入整数计算代数式$x^2-4x-10$的值：
当$x=5$时，$5^2 -4×5 -10=25-20-10=-5＜0$；
当$x=6$时，$6^2 -4×6 -10=36-24-10=2＞0$；
因此$\boldsymbol{5}＜x＜\boldsymbol{6}$。
第二步：在5~6之间代入一位小数计算：
当$x=5.7$时，$5.7^2 -4×5.7 -10=32.49-22.8-10=-0.31＜0$；
当$x=5.8$时，$5.8^2 -4×5.8 -10=33.64-23.2-10=0.44＞0$；
因此$\boldsymbol{5.7}＜x＜\boldsymbol{5.8}$。
(2) 由上述范围可知，矩形铁片长的整数部分是5，十分位是7。
【答案】
(1) 5，6；5.7，5.8
(2) 5，7
【知识点】
一元二次方程解的估算，代数式求值，矩形面积计算
【点评】
本题考查用试值法估算一元二次方程的解，解题核心是逐步缩小解的取值范围，当两个相邻数对应的代数式值异号时，方程的解就落在这两个数之间，能有效锻炼估算思维。
【难度系数】
0.7
6.(2024·凉山州)若关于$x$的一元二次方程$(a+2)x^2 + x + a^2 -4=0$的一个解是$x=0$，则$a$的值为（
A.$2$
B.$-2$
C.$2$或$-2$
D.$\frac{1}{2}$
A
）A.$2$
B.$-2$
C.$2$或$-2$
D.$\frac{1}{2}$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时需分两步思考：第一步，根据方程解的定义，若x=0是方程的解，将x=0代入原方程等式必然成立，由此可求出a的初步取值；第二步，题目明确说明是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此要对第一步求出的a的值进行检验，排除不符合条件的取值，最终得到正确的a值。
【解析】
解：
∵x=0是一元二次方程$(a+2)x^2 + x + a^2 -4=0$的解，
∴将x=0代入方程得：
$a^2 - 4 = 0$，
解得：$a=2$或$a=-2$。
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数$a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$，
∴$a=2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的解的性质
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础易错题，解题的核心是不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，不少同学仅代入x=0求解a后就直接选择，容易误选C选项，解题时要注意对题目隐含条件的挖掘。
【难度系数】
0.7
解题时需分两步思考：第一步，根据方程解的定义，若x=0是方程的解，将x=0代入原方程等式必然成立，由此可求出a的初步取值；第二步，题目明确说明是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此要对第一步求出的a的值进行检验，排除不符合条件的取值，最终得到正确的a值。
【解析】
解：
∵x=0是一元二次方程$(a+2)x^2 + x + a^2 -4=0$的解，
∴将x=0代入方程得：
$a^2 - 4 = 0$，
解得：$a=2$或$a=-2$。
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数$a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$，
∴$a=2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的解的性质
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础易错题，解题的核心是不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，不少同学仅代入x=0求解a后就直接选择，容易误选C选项，解题时要注意对题目隐含条件的挖掘。
【难度系数】
0.7
7. 观察下列表格，一元二次方程$x^2 - x = 1.1$的一个近似解可能是 （
A.0.9
B.1.58
C.1.66
D.1.73
C
）A.0.9
B.1.58
C.1.66
D.1.73
答案
7.C
解析
【分析】
要确定一元二次方程$x^2 - x =1.1$的近似解，需先找到表格中代数式$x^2-x$的值最接近1.1时对应的x的取值范围。首先观察表格里$x^2-x$的数值，找到比1.1小和比1.1大的两个相邻的$x^2-x$值，对应的x值就是解的区间，再看哪个选项落在这个区间内即可。
【解析】
由表格数据可得：
当$x=1.6$时，$x^2 - x =0.96 ＜ 1.1$；
当$x=1.7$时，$x^2 - x =1.19 ＞ 1.1$；
因此一元二次方程$x^2 - x =1.1$的解$x$满足$1.6 ＜ x ＜ 1.7$。
观察各选项，只有1.66在$1.6∼1.7$的取值范围内，因此该方程的一个近似解可能是1.66。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解的估算、代数式求值
【点评】
本题考查利用列表法估算一元二次方程的近似解，解题核心是通过代数式的取值范围反推自变量的取值区间，再结合选项判断结果，是估算类问题的典型考法。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$x^2 - x =1.1$的近似解，需先找到表格中代数式$x^2-x$的值最接近1.1时对应的x的取值范围。首先观察表格里$x^2-x$的数值，找到比1.1小和比1.1大的两个相邻的$x^2-x$值，对应的x值就是解的区间，再看哪个选项落在这个区间内即可。
【解析】
由表格数据可得：
当$x=1.6$时，$x^2 - x =0.96 ＜ 1.1$；
当$x=1.7$时，$x^2 - x =1.19 ＞ 1.1$；
因此一元二次方程$x^2 - x =1.1$的解$x$满足$1.6 ＜ x ＜ 1.7$。
观察各选项，只有1.66在$1.6∼1.7$的取值范围内，因此该方程的一个近似解可能是1.66。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解的估算、代数式求值
【点评】
本题考查利用列表法估算一元二次方程的近似解，解题核心是通过代数式的取值范围反推自变量的取值区间，再结合选项判断结果，是估算类问题的典型考法。
【难度系数】
0.8
8. 新考向·开放性问题构造一个关于x的一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个解为－1.这个一元二次方程可以是
（写出一个即可）.
（写出一个即可）.
答案
8.答案不唯一,如:$x^2-1=0$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），题目要求两个条件：①常数项$c≠0$；②$x=-1$是方程的解，即把$x=-1$代入方程等式成立。我们先将$x=-1$代入一般式，得到系数满足的关系$a - b + c = 0$，再给$a、b、c$取满足$a≠0$、$c≠0$且$a-b+c=0$的数值，即可构造出符合要求的方程。
【解析】
设待构造的一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）：
1. 把$x=-1$代入方程，可得：$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0$，化简得$a - b + c = 0$；
2. 结合常数项不为0的要求，可知$c≠0$；
3. 给系数赋值，例如取$a=1$，$b=0$，代入$a-b+c=0$可得$1-0+c=0$，解得$c=-1$，满足$c≠0$的要求；
4. 代入系数得到方程$x^2 - 1 = 0$，经验证：方程是一元二次方程，常数项为$-1≠0$，把$x=-1$代入左边得$(-1)^2-1=0$，符合要求。
（注：答案不唯一，只要满足条件即可）
【答案】
答案不唯一，如：$x^2-1=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的解的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对一元二次方程相关概念的理解与应用，只要熟练掌握一元二次方程的定义和方程解的含义，就能轻松构造出符合要求的方程，答案不唯一。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），题目要求两个条件：①常数项$c≠0$；②$x=-1$是方程的解，即把$x=-1$代入方程等式成立。我们先将$x=-1$代入一般式，得到系数满足的关系$a - b + c = 0$，再给$a、b、c$取满足$a≠0$、$c≠0$且$a-b+c=0$的数值，即可构造出符合要求的方程。
【解析】
设待构造的一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）：
1. 把$x=-1$代入方程，可得：$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0$，化简得$a - b + c = 0$；
2. 结合常数项不为0的要求，可知$c≠0$；
3. 给系数赋值，例如取$a=1$，$b=0$，代入$a-b+c=0$可得$1-0+c=0$，解得$c=-1$，满足$c≠0$的要求；
4. 代入系数得到方程$x^2 - 1 = 0$，经验证：方程是一元二次方程，常数项为$-1≠0$，把$x=-1$代入左边得$(-1)^2-1=0$，符合要求。
（注：答案不唯一，只要满足条件即可）
【答案】
答案不唯一，如：$x^2-1=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的解的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对一元二次方程相关概念的理解与应用，只要熟练掌握一元二次方程的定义和方程解的含义，就能轻松构造出符合要求的方程，答案不唯一。
【难度系数】
0.9
9. 已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$. 若方程有一个解为$-1$,则$a-b+c=$
0
;若$a+b+c=0$,则方程有一个解为1
.答案
9.0 1
解析
【分析】
本题考查一元二次方程解的定义的应用，解题核心是明确：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。对于第一空，已知x=-1是方程的解，我们只需将x=-1代入原方程，化简后即可得到a-b+c的值；对于第二空，观察已知条件a+b+c=0的结构，对比原方程左边$ax^2+bx+c$的形式，找到能使左边变为a+b+c的x的取值，即可得到方程的一个解。
【解析】
1. 求$a-b+c$的值：
∵ $x=-1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，根据方程解的定义，将$x=-1$代入方程，等式成立，
∴ $a·(-1)^2 + b·(-1) + c = 0$，
化简得：$a - b + c = 0$。
2. 求$a+b+c=0$时方程的一个解：
将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边，可得：
$a·1^2 + b·1 + c = a + b + c$，
已知$a+b+c=0$，即当$x=1$时，方程左右两边相等，
∴ 此时方程有一个解为$x=1$。
【答案】
0；1
【知识点】
一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程解的概念的理解，解题时只需灵活运用“方程的解代入原方程等式成立”这一规律即可快速求解，是对基础概念应用的典型考查。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程解的定义的应用，解题核心是明确：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。对于第一空，已知x=-1是方程的解，我们只需将x=-1代入原方程，化简后即可得到a-b+c的值；对于第二空，观察已知条件a+b+c=0的结构，对比原方程左边$ax^2+bx+c$的形式，找到能使左边变为a+b+c的x的取值，即可得到方程的一个解。
【解析】
1. 求$a-b+c$的值：
∵ $x=-1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，根据方程解的定义，将$x=-1$代入方程，等式成立，
∴ $a·(-1)^2 + b·(-1) + c = 0$，
化简得：$a - b + c = 0$。
2. 求$a+b+c=0$时方程的一个解：
将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边，可得：
$a·1^2 + b·1 + c = a + b + c$，
已知$a+b+c=0$，即当$x=1$时，方程左右两边相等，
∴ 此时方程有一个解为$x=1$。
【答案】
0；1
【知识点】
一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程解的概念的理解，解题时只需灵活运用“方程的解代入原方程等式成立”这一规律即可快速求解，是对基础概念应用的典型考查。
【难度系数】
0.9
10.若$a$是方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个解，则代数式$a^2 - 2026a + \frac{a^2 + 1}{2025}$的值为
-1
。答案
10.-1
解析
【分析】
首先根据一元二次方程解的定义，将x=a代入原方程可得到关于a的等式，对等式变形就能得到$a^2$和$a^2+1$的表达式。观察所求代数式的结构，不需要直接求解a的值，采用整体代入的方法，把变形得到的式子代入代数式化简，即可快速求出结果，避免复杂运算。
【解析】
∵a是方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个解，
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 2025a + 1 = 0$，
变形可得：$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$。
将上述两个式子代入待求代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2026a + \frac{a^2 + 1}{2025}&=(2025a - 1) - 2026a + \frac{2025a}{2025}\\&=2025a - 1 - 2026a + a\\&=(2025a - 2026a + a) - 1\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的解的定义；整体代入求值；整式化简
【点评】
本题是代数式求值的典型考法，核心是运用整体代入思想，借助一元二次方程解的性质变形得到对应关系式，无需计算方程的根即可简化运算，有效降低了计算量。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程解的定义，将x=a代入原方程可得到关于a的等式，对等式变形就能得到$a^2$和$a^2+1$的表达式。观察所求代数式的结构，不需要直接求解a的值，采用整体代入的方法，把变形得到的式子代入代数式化简，即可快速求出结果，避免复杂运算。
【解析】
∵a是方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个解，
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 2025a + 1 = 0$，
变形可得：$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$。
将上述两个式子代入待求代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2026a + \frac{a^2 + 1}{2025}&=(2025a - 1) - 2026a + \frac{2025a}{2025}\\&=2025a - 1 - 2026a + a\\&=(2025a - 2026a + a) - 1\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的解的定义；整体代入求值；整式化简
【点评】
本题是代数式求值的典型考法，核心是运用整体代入思想，借助一元二次方程解的性质变形得到对应关系式，无需计算方程的根即可简化运算，有效降低了计算量。
【难度系数】
0.7
