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1. 下列方程是一元二次方程的是 （
A.$x+2y=4$
B.$\frac{1}{x}+1=2x$
C.$x^2+x-2=0$
D.$3x=4$
C
）A.$x+2y=4$
B.$\frac{1}{x}+1=2x$
C.$x^2+x-2=0$
D.$3x=4$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先明确判定的三个核心条件：①属于整式方程（即分母中不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件必须同时满足。解题时只需逐个对照选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
对各选项逐一分析：
A. 方程含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B. 方程分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C. 方程只含有未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的所有条件，符合要求；
D. 方程中未知数x的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的识别；方程的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元二次方程判定条件的掌握，解题时要依次核对三个判定要点，尤其要注意先判断是否为整式方程，避免误选分式方程的选项。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先明确判定的三个核心条件：①属于整式方程（即分母中不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件必须同时满足。解题时只需逐个对照选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
对各选项逐一分析：
A. 方程含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B. 方程分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
C. 方程只含有未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的所有条件，符合要求；
D. 方程中未知数x的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的识别；方程的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元二次方程判定条件的掌握，解题时要依次核对三个判定要点，尤其要注意先判断是否为整式方程，避免误选分式方程的选项。
【难度系数】
0.9
2.已知关于x的方程$x^{2a-1}+x=6$是一元二次方程，则a的值为
$\frac{3}{2}$
。答案
2.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。由此可知，本题中未知数x的最高次项的次数必须为2，据此列出关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
解：
∵ 方程$x^{2a-1}+x=6$是一元二次方程
∴ 未知数x的最高次项的次数为2，即$2a-1=2$
移项得：$2a=2+1$
合并同类项得：$2a=3$
系数化为1得：$a=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程定义的掌握，解题的关键是抓住“未知数最高次数为2”这一核心条件，熟练掌握基础定义即可快速得分。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先需要明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。由此可知，本题中未知数x的最高次项的次数必须为2，据此列出关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
解：
∵ 方程$x^{2a-1}+x=6$是一元二次方程
∴ 未知数x的最高次项的次数为2，即$2a-1=2$
移项得：$2a=2+1$
合并同类项得：$2a=3$
系数化为1得：$a=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程定义的掌握，解题的关键是抓住“未知数最高次数为2”这一核心条件，熟练掌握基础定义即可快速得分。
【难度系数】
0.85
3. 新考向·开放性问题 已知关于x的方程$(a+2)x^2 - x - 3 = 0$是一元二次方程，则a的值可以是
1(答案不唯一)
.(填一个即可)答案
3.1(答案不唯一)
解析
【分析】
解题的关键是掌握一元二次方程的判定条件，一元二次方程要求二次项系数不能为0。首先找到题中方程的二次项系数为a+2，根据定义列出不等式a+2≠0，求出a的取值范围后，在范围内任选一个数值即可。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义，形如$Ax^2+Bx+C=0$（$A$、$B$、$C$为常数，且$A≠0$）的方程为一元二次方程。
本题中方程的二次项系数为$a+2$，要使方程为一元二次方程，需满足：
$a+2≠0$
解得$a≠-2$
因此只需取任意一个不等于$-2$的数即可，例如$a=1$。
【答案】
1（答案不唯一，只要$a≠-2$均正确）
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础开放性题目，重点考查对一元二次方程核心特征的掌握，解题时需注意不要遗漏“二次项系数不为0”这一隐含限制条件。
【难度系数】
0.9
解题的关键是掌握一元二次方程的判定条件，一元二次方程要求二次项系数不能为0。首先找到题中方程的二次项系数为a+2，根据定义列出不等式a+2≠0，求出a的取值范围后，在范围内任选一个数值即可。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义，形如$Ax^2+Bx+C=0$（$A$、$B$、$C$为常数，且$A≠0$）的方程为一元二次方程。
本题中方程的二次项系数为$a+2$，要使方程为一元二次方程，需满足：
$a+2≠0$
解得$a≠-2$
因此只需取任意一个不等于$-2$的数即可，例如$a=1$。
【答案】
1（答案不唯一，只要$a≠-2$均正确）
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础开放性题目，重点考查对一元二次方程核心特征的掌握，解题时需注意不要遗漏“二次项系数不为0”这一隐含限制条件。
【难度系数】
0.9
4. 方程$4x^2 + x = 5$化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$后，$a,b,c$的值分别为 （
A.4,1,5
B.1,4,5
C.4,1,-5
D.4,-5,1
C
）A.4,1,5
B.1,4,5
C.4,1,-5
D.4,-5,1
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程一般形式的定义：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），要求等号右侧为0，左侧按$x$的降幂排列。解题时先将给定方程通过移项转化为一般形式，注意移项要变号，再对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
对原方程$4x^2 + x =5$移项，将等号右侧的5移到左侧，移项变号后可得：
$4x^2 + x -5 =0$
对比一般形式，二次项系数$a=4$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-5$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；移项法则
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题的易错点是移项时忘记改变常数项的符号，导致常数项取值错误。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确一元二次方程一般形式的定义：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），要求等号右侧为0，左侧按$x$的降幂排列。解题时先将给定方程通过移项转化为一般形式，注意移项要变号，再对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
对原方程$4x^2 + x =5$移项，将等号右侧的5移到左侧，移项变号后可得：
$4x^2 + x -5 =0$
对比一般形式，二次项系数$a=4$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-5$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；移项法则
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题的易错点是移项时忘记改变常数项的符号，导致常数项取值错误。
【难度系数】
0.9
5.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
答案
5. $9x^2+4x+1=0$，二次项系数9，一次项系数4，常数项1；$2x^2-2x-1=0$，二次项系数2，一次项系数-2，常数项-1
解析
【分析】
解题思路：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先对给出的方程进行展开、移项、合并同类项操作，将其整理为一般形式，再对应提取各项系数即可，注意系数需要包含本身的符号。
第一步处理第一个方程：先利用完全平方公式展开$(3x+1)^2$，再合并同类项整理为右边为0的形式；第二步处理第二个方程：将右侧的项全部移到左侧，合并同类项得到一般形式，最后分别写出两个方程的对应系数。
【解析】
1. 处理方程$(3x+1)^2-2x=0$：
第一步，展开完全平方：$(3x+1)^2=9x^2+6x+1$，代入原方程得：
$9x^2+6x+1-2x=0$
第二步，合并同类项：$9x^2+(6x-2x)+1=0$，即一般形式为$9x^2+4x+1=0$
对应可得：二次项系数为9，一次项系数为4，常数项为1。
2. 处理方程$3x^2-2x=x^2+1$：
第一步，移项（将右侧项移到左侧，变号）：$3x^2-2x-x^2-1=0$
第二步，合并同类项：$(3x^2-x^2)-2x-1=0$，即一般形式为$2x^2-2x-1=0$
对应可得：二次项系数为2，一次项系数为-2，常数项为-1。
【答案】
第一个方程一般形式为$9x^2+4x+1=0$，二次项系数9，一次项系数4，常数项1；第二个方程一般形式为$2x^2-2x-1=0$，二次项系数2，一次项系数-2，常数项-1
【知识点】
一元二次方程一般形式、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的整理方法，解题时需注意移项时符号的变化，提取各项系数时要连带前面的正负号，是学习一元二次方程后续知识的必备基础技能。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先对给出的方程进行展开、移项、合并同类项操作，将其整理为一般形式，再对应提取各项系数即可，注意系数需要包含本身的符号。
第一步处理第一个方程：先利用完全平方公式展开$(3x+1)^2$，再合并同类项整理为右边为0的形式；第二步处理第二个方程：将右侧的项全部移到左侧，合并同类项得到一般形式，最后分别写出两个方程的对应系数。
【解析】
1. 处理方程$(3x+1)^2-2x=0$：
第一步，展开完全平方：$(3x+1)^2=9x^2+6x+1$，代入原方程得：
$9x^2+6x+1-2x=0$
第二步，合并同类项：$9x^2+(6x-2x)+1=0$，即一般形式为$9x^2+4x+1=0$
对应可得：二次项系数为9，一次项系数为4，常数项为1。
2. 处理方程$3x^2-2x=x^2+1$：
第一步，移项（将右侧项移到左侧，变号）：$3x^2-2x-x^2-1=0$
第二步，合并同类项：$(3x^2-x^2)-2x-1=0$，即一般形式为$2x^2-2x-1=0$
对应可得：二次项系数为2，一次项系数为-2，常数项为-1。
【答案】
第一个方程一般形式为$9x^2+4x+1=0$，二次项系数9，一次项系数4，常数项1；第二个方程一般形式为$2x^2-2x-1=0$，二次项系数2，一次项系数-2，常数项-1
【知识点】
一元二次方程一般形式、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的整理方法，解题时需注意移项时符号的变化，提取各项系数时要连带前面的正负号，是学习一元二次方程后续知识的必备基础技能。
【难度系数】
0.8
6. 两个连续偶数的平方和是100，求这两个数。
设较小的偶数为x，则可列方程为。
。
设较小的偶数为x，则可列方程为。
。
答案
6.$x^2+(x+2)^2=100$
解析
【分析】
首先明确连续偶数的特征：相邻两个偶数的差为2。已知设较小的偶数为x，那么较大的连续偶数可表示为x+2。再提取题目中的等量关系：两个连续偶数的平方和是100，也就是较小偶数的平方加较大偶数的平方等于100，根据这个等量关系即可列出方程，后续解方程就能得到这两个数的具体值。
【解析】
1. 表示较大的连续偶数：因为两个数是连续偶数，较小数为x，所以较大的偶数为$x+2$。
2. 列方程：根据“平方和为100”的条件，可列方程：
$x^2 + (x+2)^2 = 100$
3. 解方程求这两个数：
展开方程得：$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100$
合并同类项得：$2x^2 + 4x - 96 = 0$
化简得：$x^2 + 2x - 48 = 0$
因式分解得：$(x+8)(x-6) = 0$
解得$x_1=-8$，$x_2=6$。
当$x=-8$时，$x+2=-6$；当$x=6$时，$x+2=8$。
【答案】
$x^2+(x+2)^2=100$；这两个数是6和8或-8和-6
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 连续偶数的性质
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是基础应用型题目，解题关键是掌握连续偶数的表示方法，准确提取题目中的等量关系，求解时注意偶数可以为负数，不要遗漏负数解。
【难度系数】
0.8
首先明确连续偶数的特征：相邻两个偶数的差为2。已知设较小的偶数为x，那么较大的连续偶数可表示为x+2。再提取题目中的等量关系：两个连续偶数的平方和是100，也就是较小偶数的平方加较大偶数的平方等于100，根据这个等量关系即可列出方程，后续解方程就能得到这两个数的具体值。
【解析】
1. 表示较大的连续偶数：因为两个数是连续偶数，较小数为x，所以较大的偶数为$x+2$。
2. 列方程：根据“平方和为100”的条件，可列方程：
$x^2 + (x+2)^2 = 100$
3. 解方程求这两个数：
展开方程得：$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100$
合并同类项得：$2x^2 + 4x - 96 = 0$
化简得：$x^2 + 2x - 48 = 0$
因式分解得：$(x+8)(x-6) = 0$
解得$x_1=-8$，$x_2=6$。
当$x=-8$时，$x+2=-6$；当$x=6$时，$x+2=8$。
【答案】
$x^2+(x+2)^2=100$；这两个数是6和8或-8和-6
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 连续偶数的性质
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是基础应用型题目，解题关键是掌握连续偶数的表示方法，准确提取题目中的等量关系，求解时注意偶数可以为负数，不要遗漏负数解。
【难度系数】
0.8
7. A教材经典素材·空地修路 
如图，某小区内有一块长、宽之比为2：1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m且分别与矩形空地的边平行的小路，并将余下的四块小矩形区域铺成草坪，使四块草坪的面积之和为312 m²，设空地的宽为x m，根据题意，可列关于x的方程为
如图，某小区内有一块长、宽之比为2：1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m且分别与矩形空地的边平行的小路，并将余下的四块小矩形区域铺成草坪，使四块草坪的面积之和为312 m²，设空地的宽为x m，根据题意，可列关于x的方程为
$(x-2)(2x-2)=312$
。答案
7.$(x-2)(2x-2)=312$
解析
【分析】
首先，根据空地长宽比为2:1，已知宽为x m，可先得到空地的长为2x m。其次，修筑的两条小路分别与矩形边平行、宽均为2m，我们可以通过平移法将四块草坪拼接成一个新的矩形：竖直方向的小路占了2m的宽度，所以拼接后草坪的长比原空地长少2m，为(2x-2)m；水平方向的小路占了2m的宽度，所以拼接后草坪的宽比原空地宽少2m，为(x-2)m。最后，结合草坪总面积为312 m²，利用矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
解：已知空地的宽为x m，由长宽比为2:1可得，空地的长为2x m。
将四块草坪平移拼接，得到的新矩形即为草坪区域，该矩形的长为$(2x - 2)$m，宽为$(x - 2)$m。
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，结合草坪面积之和为312 m²，可列方程：
$(x-2)(2x-2)=312$
【答案】
$(x-2)(2x-2)=312$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；平移法求面积
【点评】
本题是面积类一元二次方程应用的基础题型，核心解题技巧是利用平移法规避小路重叠部分的面积计算，只需准确表示出拼接后草坪区域的长和宽，结合面积公式即可快速列方程。
【难度系数】
0.75
首先，根据空地长宽比为2:1，已知宽为x m，可先得到空地的长为2x m。其次，修筑的两条小路分别与矩形边平行、宽均为2m，我们可以通过平移法将四块草坪拼接成一个新的矩形：竖直方向的小路占了2m的宽度，所以拼接后草坪的长比原空地长少2m，为(2x-2)m；水平方向的小路占了2m的宽度，所以拼接后草坪的宽比原空地宽少2m，为(x-2)m。最后，结合草坪总面积为312 m²，利用矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
解：已知空地的宽为x m，由长宽比为2:1可得，空地的长为2x m。
将四块草坪平移拼接，得到的新矩形即为草坪区域，该矩形的长为$(2x - 2)$m，宽为$(x - 2)$m。
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，结合草坪面积之和为312 m²，可列方程：
$(x-2)(2x-2)=312$
【答案】
$(x-2)(2x-2)=312$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；平移法求面积
【点评】
本题是面积类一元二次方程应用的基础题型，核心解题技巧是利用平移法规避小路重叠部分的面积计算，只需准确表示出拼接后草坪区域的长和宽，结合面积公式即可快速列方程。
【难度系数】
0.75
8.若关于$x$的方程$(m-4)x^{|m-2|}+2x-5=0$是一元二次方程，则$m=$
0
。答案
8.0
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程的核心判定要求：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不能为0（若二次项系数为0，方程将不存在二次项，不符合一元二次方程的定义）。我们先根据最高次数为2列出关于m的绝对值方程，得到m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确的m值。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的方程$(m-4)x^{|m-2|}+2x-5=0$是一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数$x$的最高次数为2，即：
$|m-2|=2$
解绝对值方程可得：
$m-2=2$ 或 $m-2=-2$
即 $m=4$ 或 $m=0$
2. 二次项系数不为0，即：
$m-4≠0$，解得 $m≠4$
结合两个条件排除$m=4$，因此$m=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程定义、绝对值运算、不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用，属于易错题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$m=4$或$0$的错误结论，求解这类参数问题时要逐一验证定义的所有限制条件，再确定最终取值。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程的核心判定要求：一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不能为0（若二次项系数为0，方程将不存在二次项，不符合一元二次方程的定义）。我们先根据最高次数为2列出关于m的绝对值方程，得到m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确的m值。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的方程$(m-4)x^{|m-2|}+2x-5=0$是一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数$x$的最高次数为2，即：
$|m-2|=2$
解绝对值方程可得：
$m-2=2$ 或 $m-2=-2$
即 $m=4$ 或 $m=0$
2. 二次项系数不为0，即：
$m-4≠0$，解得 $m≠4$
结合两个条件排除$m=4$，因此$m=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程定义、绝对值运算、不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用，属于易错题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$m=4$或$0$的错误结论，求解这类参数问题时要逐一验证定义的所有限制条件，再确定最终取值。
【难度系数】
0.6
9.若将关于$x$的一元二次方程$3x^2 + x - 2 = ax(x - 2)$化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为-2，则它的一次项系数为
5
。答案
9.5
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），其中$A$是二次项系数，$B$是一次项系数，$C$是常数项。解题思路如下：第一步先对原方程去括号、移项、合并同类项，整理为一般形式；第二步根据题目给出的“二次项系数为1”的条件求出参数$a$的值；第三步将$a$代入一次项系数的表达式计算结果，还可通过“常数项为-2”的条件验证计算是否正确。
【解析】
解：先将原方程整理为一般形式：
原方程：$3x^2 + x - 2 = ax(x - 2)$
去括号得：$3x^2 + x - 2 = ax^2 - 2ax$
移项、合并同类项得：$(3 - a)x^2 + (1 + 2a)x - 2 = 0$
由题意得一般形式的二次项系数为1，常数项-2符合题干要求，因此：
$3 - a = 1$
解得：$a = 2$
将$a=2$代入一次项系数表达式$1 + 2a$得：
$1 + 2×2 = 5$
【答案】
5
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式 2.整式化简 3.代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对一元二次方程一般形式的理解，解题时要注意去括号、移项的符号规则，合并同类项不要漏项，掌握基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），其中$A$是二次项系数，$B$是一次项系数，$C$是常数项。解题思路如下：第一步先对原方程去括号、移项、合并同类项，整理为一般形式；第二步根据题目给出的“二次项系数为1”的条件求出参数$a$的值；第三步将$a$代入一次项系数的表达式计算结果，还可通过“常数项为-2”的条件验证计算是否正确。
【解析】
解：先将原方程整理为一般形式：
原方程：$3x^2 + x - 2 = ax(x - 2)$
去括号得：$3x^2 + x - 2 = ax^2 - 2ax$
移项、合并同类项得：$(3 - a)x^2 + (1 + 2a)x - 2 = 0$
由题意得一般形式的二次项系数为1，常数项-2符合题干要求，因此：
$3 - a = 1$
解得：$a = 2$
将$a=2$代入一次项系数表达式$1 + 2a$得：
$1 + 2×2 = 5$
【答案】
5
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式 2.整式化简 3.代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对一元二次方程一般形式的理解，解题时要注意去括号、移项的符号规则，合并同类项不要漏项，掌握基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
10. A教材经典素材·《九章算术》我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多6尺8寸（1尺=10寸），门的对角线长为1丈（1丈=10尺），那么门的高和宽各是多少？”设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为
$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
。答案
10.$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
解析
【分析】
这是一道结合古代数学素材的列方程题目，解题思路如下：第一步先统一单位，将题目中不同的长度单位都换算为尺：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺；第二步根据所设未知数表示另一个未知量：设门的宽为x尺，已知高比宽多6.8尺，因此门的高可表示为(x+6.8)尺；第三步找等量关系：矩形的相邻两边和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出对应方程。
【解析】
1. 单位换算：6尺8寸$=6+8÷10=6.8$尺，1丈$=10$尺；
2. 表示未知量：设门的宽为x尺，则门的高为$(x+6.8)$尺；
3. 依据勾股定理列方程：矩形的宽、高和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，因此有$\mathrm{宽}^2+\mathrm{高}^2=\mathrm{对角线}^2$，代入得$x^2+(x+6.8)^2=10^2$。
【答案】
$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 列一元二次方程
3. 单位换算
【点评】
本题以我国古代数学典籍《九章算术》的经典问题为载体，考查将实际问题转化为数学方程的能力，解题核心是统一单位后利用勾股定理找准等量关系，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
这是一道结合古代数学素材的列方程题目，解题思路如下：第一步先统一单位，将题目中不同的长度单位都换算为尺：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺；第二步根据所设未知数表示另一个未知量：设门的宽为x尺，已知高比宽多6.8尺，因此门的高可表示为(x+6.8)尺；第三步找等量关系：矩形的相邻两边和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出对应方程。
【解析】
1. 单位换算：6尺8寸$=6+8÷10=6.8$尺，1丈$=10$尺；
2. 表示未知量：设门的宽为x尺，则门的高为$(x+6.8)$尺；
3. 依据勾股定理列方程：矩形的宽、高和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，因此有$\mathrm{宽}^2+\mathrm{高}^2=\mathrm{对角线}^2$，代入得$x^2+(x+6.8)^2=10^2$。
【答案】
$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 列一元二次方程
3. 单位换算
【点评】
本题以我国古代数学典籍《九章算术》的经典问题为载体，考查将实际问题转化为数学方程的能力，解题核心是统一单位后利用勾股定理找准等量关系，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
11. 新考向·跨学科融合 对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，物体离抛出点的高度$h$(单位:m)与抛出时间$t$(单位:s)有如下关系：$h=v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$，其中，$v_0$(单位:m/s)是上抛物体的初速度，$g$(单位:m/s²)是重力加速度。如果以21 m/s的初速度向上抛出一物体，$x$ s时，它在距离抛出点20 m的高处。请根据公式写出关于$x$的方程，并化成一般形式。($g$取10 m/s²)
答案
11. 解:根据题意,得 $v_0=21,g=10,h=20,t=x$. 把 $v_0=21,g=10,h=20,t=x$ 代入 $h=v_0 t-\frac{1}{2} g t^2$,得 $21x-\frac{1}{2}× 10x^2=20$. 化为一般形式:$5x^2-21x+20=0$.
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的高度公式中各字母的含义，对应提取题干已知量：初速度$v_0=21\ \mathrm{m/s}$，重力加速度$g=10\ \mathrm{m/s}^2$，物体高度$h=20\ \mathrm{m}$，运动时间$t=x\ \mathrm{s}$；再将已知量代入给定公式得到关于$x$的方程；最后根据一元二次方程一般形式的要求（$ax^2+bx+c=0$，$a\ne0$），对方程移项、合并同类项，调整各项顺序使二次项系数为正，即可得到一般形式。
【解析】
解：由题意可知$v_0=21$，$g=10$，$h=20$，$t=x$，
将上述数值代入公式$h=v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$，得：
$21x-\frac{1}{2}× 10x^2=20$
化简整理为一般形式：
先计算$\frac{1}{2}×10=5$，方程变为$21x-5x^2=20$，移项后可得$5x^2-21x+20=0$。
【答案】
关于$x$的方程为$21x-5x^2=20$，一般形式为$\boldsymbol{5x^2-21x+20=0}$
【知识点】
根据实际问题列一元二次方程；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于跨学科融合类基础题，结合物理上抛运动公式考查一元二次方程的相关知识，难度较低，只要找准已知量和公式中字母的对应关系，移项时注意符号变化，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的高度公式中各字母的含义，对应提取题干已知量：初速度$v_0=21\ \mathrm{m/s}$，重力加速度$g=10\ \mathrm{m/s}^2$，物体高度$h=20\ \mathrm{m}$，运动时间$t=x\ \mathrm{s}$；再将已知量代入给定公式得到关于$x$的方程；最后根据一元二次方程一般形式的要求（$ax^2+bx+c=0$，$a\ne0$），对方程移项、合并同类项，调整各项顺序使二次项系数为正，即可得到一般形式。
【解析】
解：由题意可知$v_0=21$，$g=10$，$h=20$，$t=x$，
将上述数值代入公式$h=v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$，得：
$21x-\frac{1}{2}× 10x^2=20$
化简整理为一般形式：
先计算$\frac{1}{2}×10=5$，方程变为$21x-5x^2=20$，移项后可得$5x^2-21x+20=0$。
【答案】
关于$x$的方程为$21x-5x^2=20$，一般形式为$\boldsymbol{5x^2-21x+20=0}$
【知识点】
根据实际问题列一元二次方程；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于跨学科融合类基础题，结合物理上抛运动公式考查一元二次方程的相关知识，难度较低，只要找准已知量和公式中字母的对应关系，移项时注意符号变化，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
