1. 解下列方程，能用直接开平方法的是 （）

A.$x^2 - x = 0$
B.$x^2 + 2 = 0$
C.$x^2 + x = 1$
D.$x^2 - 3 = 6$

1.D

【分析】
解题时首先要明确直接开平方法的适用条件：一元二次方程可变形为$x^2=p$（$p≥0$）或$(ax+b)^2=p$（$a≠0,p≥0$）的形式，即可用直接开平方法求解。接下来逐一分析四个选项，判断是否符合上述条件即可得出答案。
【解析】
直接开平方法适用于可整理为左边是含未知数的完全平方式，右边为非负常数的一元二次方程。
对各选项逐一判断：
A. $x^2 - x = 0$，左边含有一次项，无法直接写成完全平方式的形式，不能用直接开平方法，不符合要求；
B. $x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2=-2$，右边为负数，不存在实数根，无法用直接开平方法，不符合要求；
C. $x^2 + x = 1$，左边含有一次项，无法直接写成完全平方式的形式，需要先配方才能求解，不能用直接开平方法，不符合要求；
D. $x^2 - 3 = 6$，移项整理得$x^2=9$，符合$x^2=p$且$p=9≥0$的形式，可直接开平方求解，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法的适用条件、一元二次方程的变形
【点评】
本题主要考查一元二次方程解法中直接开平方法的适用范围，解题的核心是准确识别直接开平方法对应方程的结构特征，属于基础类考题，熟练掌握各类解法的适用条件即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2.(2025·贵州)一元二次方程$x^2 -1=0$的根是.

$x_1=1,x_2=-1$

【分析】
本题是求解无一次项的简单一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，不含一次项，可先通过移项将常数项移到等号右侧，得到x²等于非负常数的形式，再根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，注意正数有两个互为相反数的平方根，即可求出方程的两个根，该解法也符合配方法求解一元二次方程的基础逻辑（将方程变形为左边是完全平方式，右边是非负常数的形式再开方求解）。
【解析】
解：对原方程进行移项，得：
$x^2 = 1$
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得：
$x = \pm\sqrt{1}$
即$x = \pm1$
因此方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，重点考查简单一元二次方程的解法，计算难度低，熟练掌握开平方的运算规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

3. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$\frac{1}{2}x^2=8$.
(2)$(2x-1)^2=49$.

解:(1)两边都乘 2,得 $x^2=16$. 所以 $x_1=4,x_2=-4$.(2)两边开平方,得 $2x-1=\pm7$,即 $2x-1=7$ 或 $2x-1=-7$. 所以 $x_1=4,x_2=-3$.

【分析】
首先明确直接开平方法的适用条件：当一元二次方程可化为$x^2=p$（$p≥0$）或$(mx+n)^2=p$（$p≥0$，$m≠0$）的形式时，可直接对两边开平方求解。对于第(1)题，首先要利用等式的性质把$x^2$的系数化为1，得到$x^2=p$的形式后再开平方；对于第(2)题，本身已经是$(mx+n)^2=p$的形式，直接两边开平方，转化为两个一元一次方程分别求解即可，注意开平方后等式右侧要带正负号。
【解析】
(1) 方程两边同时乘2，消去$x^2$的系数，得$x^2=16$，对两边直接开平方得$x=\pm4$，即$x_1=4$，$x_2=-4$。
(2) 对方程两边直接开平方，得$2x-1=\pm7$，即转化为两个一元一次方程：$2x-1=7$或$2x-1=-7$。解$2x-1=7$，移项得$2x=8$，解得$x=4$；解$2x-1=-7$，移项得$2x=-6$，解得$x=-3$，即$x_1=4$，$x_2=-3$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-4$；(2)$x_1=4,x_2=-3$
【知识点】
直接开平方法、等式的基本性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，重点考查对直接开平方法适用方程形式的识别，以及开平方后正负两种情况的处理，计算难度低，熟练掌握方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9

4.(教材习题变式)填空:
(1)$x^2 + 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$.
(2)$x^2 - 12x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$.
(3)$x^2 + 5x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$.
(4)$x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$.

4.(1)4 2 (2)36 6 (3)$\frac{25}{4}$ $\frac{5}{2}$ (4)$\frac{1}{25}$ $\frac{1}{5}$

【分析】
本题考查配方法的应用，核心依据是完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。当二次项系数为1时，配方的规律是：给$x^2+mx$型的式子加上一次项系数一半的平方$(\frac{m}{2})^2$，即可配成完全平方的形式，括号内的常数就是一次项系数的一半，符号与一次项符号保持一致。我们只需分别找出每道小题的一次项系数，按上述规律计算即可。
【解析】
根据完全平方公式的配方规则：二次项系数为1时，常数项=（一次项系数÷2）²，括号内的数=一次项系数÷2。
(1) 一次项系数为4，常数项为$(\frac{4}{2})^2=2^2=4$，括号内的数为$\frac{4}{2}=2$；
(2) 一次项系数为-12，常数项为$(\frac{-12}{2})^2=(-6)^2=36$，括号内的数为$\vert\frac{-12}{2}\vert=6$；
(3) 一次项系数为5，常数项为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，括号内的数为$\frac{5}{2}$；
(4) 一次项系数为$-\frac{2}{5}$，常数项为$(\frac{-\frac{2}{5}}{2})^2=(-\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，括号内的数为$\vert\frac{-\frac{2}{5}}{2}\vert=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)4，2；(2)36，6；(3)$\frac{25}{4}$，$\frac{5}{2}$；(4)$\frac{1}{25}$，$\frac{1}{5}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础练习题，熟练掌握二次项系数为1时的配方规则，是后续用配方法解一元二次方程、求二次函数最值等内容的重要基础，需牢记“常数项是一次项系数一半的平方”这一核心规律。
【难度系数】
0.8

5. (2024·德州)把多项式$x^2 - 3x + 4$进行配方，结果为 （）

A.$(x - 3)^2 - 5$
B.$(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$
C.$(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}$
D.$(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

5.B

【分析】
要对二次三项式配方，首先回忆配方法的基本思路：对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+bx+c$，先将前两项凑成完全平方的形式，即加上一次项系数一半的平方，再减去这个数保证整式的值不变，最后合并常数项即可得到配方结果。本题中二次项系数已经是1，直接对$x^2-3x$进行凑平方，再调整常数项即可。
【解析】
对多项式$x^2 - 3x + 4$配方步骤如下：
1. 拆分常数项，凑完全平方：
一次项系数为$-3$，其一半的平方为$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此：
$\begin{aligned}x^2 - 3x + 4&=x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 4\\&=(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 4\end{aligned}$
2. 合并常数项：
$-\frac{9}{4} + 4 = -\frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{7}{4}$
因此配方结果为$(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式；整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用，核心是掌握完全平方公式的结构特征，配方时注意添加一次项系数一半的平方后要减去相同的数，保证原式的值不变，计算常数项时要注意通分，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

6. 解一元二次方程$x^2 -6x -5=0$，配方后正确的是（）

A.$(x-3)^2=14$
B.$(x-3)^2=5$
C.$(x-3)^2=4$
D.$(x+3)^2=14$

6.A

【分析】
本题考查用配方法对一元二次方程变形，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在左侧；第二步计算一次项系数一半的平方，将这个数同时加到等号两侧；第三步将左侧写成完全平方的形式，计算右侧的结果，再和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 6x = 5$
2. 配方，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-3)^2=9$，在方程两边同时加9：
$x^2 -6x +9 = 5 +9$
3. 左侧根据完全平方公式变形，右侧计算得：$(x-3)^2=14$
因此配方后正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是基础类题型，重点考查配方法的规范操作，解题时要注意移项要变号，配方时需给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，不要漏加右侧的常数，掌握基本步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

7. 某同学将方程$x^2 -4x -3=0$化成了$(x+m)^2 =n$的形式，则$m,n$的值分别为（）

A.$-2,7$
B.$2,7$
C.$-2,1$
D.$2,-7$

7.A

【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程一般式转化为完全平方形式的方法。解题思路如下：第一步先将原方程的常数项移到等号右侧；第二步给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方式；第三步对比给定的$(x+m)^2 =n$的形式，即可对应求出$m$和$n$的值。
【解析】
对原方程$x^2 -4x -3=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -4x = 3$
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给方程左右两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = 3 +4$
3. 整理式子：左侧写成完全平方式，右侧合并常数项，可得$(x-2)^2 =7$
将所得式子与$(x+m)^2 =n$对比，可知$m=-2$，$n=7$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法的基础应用，核心是掌握配方法的操作步骤，注意配方时方程左右两边需同时加上相同的数，保证等式成立。
【难度系数】
0.8

8. 用配方法解方程：
(1)$(2025·徐州)x^2 + 2x - 4 = 0.$
(2)$x^2 + 6x + 1 = -4.$
(3)$x^2 - 1 = x - \frac{3}{4}.$

解:(1)将常数项移到方程的右边,得 $x^2+2x=4$. 两边都加一次项系数 2 的一半的平方,得 $x^2+2x+(\frac{2}{2})^2=4+(\frac{2}{2})^2$,即$(x+1)^2=5$. 两边开平方,得 $x+1=\pm\sqrt{5}$,即 $x+1=\sqrt{5}$或 $x+1=-\sqrt{5}$. 所以 $x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$.(2)将常数项移到方程的右边,得 $x^2+6x=-5$. 两边都加一次项系数 6 的一半的平方,得 $x^2+6x+(\frac{6}{2})^2=-5+(\frac{6}{2})^2$,即$(x+3)^2=4$. 两边开平方,得 $x+3=\pm2$,即 $x+3=2$ 或 $x+3=-2$. 所以 $x_1=-1,x_2=-5$.(3)将一次项移到方程的左边、常数项移到方程的右边,得 $x^2-x=\frac{1}{4}$. 两边都加一次项系数 $-1$ 的一半的平方,得 $x^2-x+(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}+(-\frac{1}{2})^2$,即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$. 两边开平方,得 $x-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$,即 $x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$或 $x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 所以 $x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$.

【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式的形式再求解，解题思路分为四步：①先整理方程，把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，化为$x^2+bx=c$的标准形式；②配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方公式的形式，得到$(x+m)^2=n$；③开平方：当$n≥0$时，两边直接开平方得到两个一元一次方程；④分别求解两个一次方程，即可得到原方程的根，注意开平方时不要漏掉负根。
【解析】
(1)将常数项移到方程的右边，得 $x^2+2x=4$. 两边都加一次项系数2的一半的平方，得 $x^2+2x+(\frac{2}{2})^2=4+(\frac{2}{2})^2$，即$(x+1)^2=5$. 两边开平方，得 $x+1=\pm\sqrt{5}$，即 $x+1=\sqrt{5}$或 $x+1=-\sqrt{5}$. 所以 $x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$.
(2)将常数项移到方程的右边，得 $x^2+6x=-5$. 两边都加一次项系数6的一半的平方，得 $x^2+6x+(\frac{6}{2})^2=-5+(\frac{6}{2})^2$，即$(x+3)^2=4$. 两边开平方，得 $x+3=\pm2$，即 $x+3=2$ 或 $x+3=-2$. 所以 $x_1=-1,x_2=-5$.
(3)将一次项移到方程的左边、常数项移到方程的右边，得 $x^2-x=\frac{1}{4}$. 两边都加一次项系数$-1$的一半的平方，得 $x^2-x+(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}+(-\frac{1}{2})^2$，即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$. 两边开平方，得 $x-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$或 $x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 所以 $x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$；
(2)$x_1=-1,x_2=-5$；
(3)$x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$.
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意移项要变号，配方时方程两边需同时加相同的数，开平方时要考虑正负两种情况，熟练掌握本题的解法能为后续解更复杂的一元二次方程打好基础。
【难度系数】
0.8