9. 新考向·过程性学习 用配方法解一元二次方程：$x^2 +8x -5=0$.
解:移项,得$x^2 +8x=5$.
配方,得$x^2 +8x +16=5$,
即$(x+4)^2=5$.
所以$x_1=-4+\sqrt{5},x_2=-4-\sqrt{5}$.
上面的解题过程正确吗？若不正确,请写出正确的解题过程.

解:不正确. 正确的解题过程如下:移项,得 $x^2+8x=5$. 配方,得 $x^2+8x+16=5+16$,即$(x+4)^2=21$. 两边开平方,得 $x+4=\pm\sqrt{21}$. 所以 $x_1=-4+\sqrt{21},x_2=-4-\sqrt{21}$.

【分析】
要判断原解题过程是否正确，需依据配方法解一元二次方程的规则：配方时，方程左右两边要同时加上一次项系数一半的平方，保证等式仍然成立。原解题过程中仅左边加了16，右边没有加相同的数，违反了等式的基本性质，因此是错误的。解题时先移项，再给方程两边同时加16，将左边凑成完全平方式，最后开平方求解即可。
【解析】
原解题过程不正确，正确的解题过程如下：
移项，得 $x^2+8x=5$。
配方，得 $x^2+8x+16=5+16$，
即$(x+4)^2=21$。
两边开平方，得 $x+4=\pm\sqrt{21}$。
所以 $x_1=-4+\sqrt{21},x_2=-4-\sqrt{21}$。
【答案】
不正确. 正确的解题过程如下:移项,得 $x^2+8x=5$. 配方,得 $x^2+8x+16=5+16$,即$(x+4)^2=21$. 两边开平方,得 $x+4=\pm\sqrt{21}$. 所以 $x_1=-4+\sqrt{21},x_2=-4-\sqrt{21}$.
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的步骤，易错点为配方时忽略方程左右两边需同时加相同的常数，牢记配方法的操作规范就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

10.若关于$x$的方程$x^2 +4x +c=0$配方后得到方程$(x+2)^2 =c$,则$c$的值为.

10.2

【分析】
解题时先回忆配方法解一元二次方程的步骤，首先对原方程$x^2 +4x +c=0$自主完成配方操作，再将得到的配方结果与题目给出的$(x+2)^2 =c$建立等量关系，解关于$c$的方程即可得到答案。配方法的核心是将方程左边变形为完全平方式，需注意移项要变号，等式两边要同时加相同的数保证等式成立。
【解析】
第一步：对原方程进行配方，先移项，将常数项$c$移到等号右侧，得：
$x^2+4x=-c$
第二步：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为4，一半为2，平方为4，因此两边加4：
$x^2+4x+4=-c+4$
第三步：将左边写成完全平方式，得：
$(x+2)^2=4-c$
第四步：结合题目给出的配方结果$(x+2)^2=c$，可得等式：
$4-c=c$
解这个一元一次方程：移项得$4=2c$，解得$c=2$。
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的应用，牢记配方法的操作步骤是解题的核心，解题时注意配方过程中等式的性质要正确运用，避免移项或计算错误。
【难度系数】
0.8

11.已知(x+y+3)(x+y-3)=72，则x+y的值为.

11.±9

【分析】
观察等式左边的两个因式，发现相同部分是$(x+y)$，相反部分是$+3$和$-3$，符合平方差公式的结构特征，因此可将$x+y$看作一个整体，先利用平方差公式对等式左边展开，再转化为形如$a^2=b$的一元二次方程，最后用直接开平方法求解即可。
【解析】
解：将$x+y$看作一个整体，利用平方差公式展开等式左边：
$(x+y+3)(x+y-3)=(x+y)^2 - 3^2$
因此原方程可化为：
$(x+y)^2 - 9 = 72$
移项合并同类项得：
$(x+y)^2 = 81$
两边直接开平方得：
$x+y = \pm9$
【答案】
$\pm9$
【知识点】
平方差公式，整体代换思想，直接开平方法解方程
【点评】
本题解题核心是运用整体思想，把$x+y$视为一个整体，借助平方差公式简化计算，再通过直接开平方法求出结果，属于基础运算类题目，熟练掌握相关公式和整体代换思想是解题关键。
【难度系数】
0.8

12. 新考向·新定义问题 规定：$a\otimes b=(a-b)b$.
例如：$2\otimes3=(2-3)×3=-3$. 若$4\otimes x=3$，
则$x=$.

12.1或3

【分析】
解决新定义运算类问题，首先要准确理解新运算的规则，将新运算转化为常规四则运算。本题中先将$4\otimes x$按照给出的$a\otimes b=(a-b)b$的规则，替换为关于x的代数式，再根据$4\otimes x=3$列出一元二次方程，最后解一元二次方程即可得到x的取值。
【解析】
根据新定义的运算规则$a\otimes b=(a-b)b$，可得：
$4\otimes x=(4-x)x$
已知$4\otimes x=3$，因此列方程：
$(4-x)x=3$
展开并移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2-4x+3=0$
用配方法求解：
1. 移项得$x^2-4x=-3$
2. 配方，左右两边同时加一次项系数一半的平方（即4），得：
$x^2-4x+4=-3+4$
即$(x-2)^2=1$
3. 开平方得$x-2=\pm1$
当$x-2=1$时，解得$x=3$；当$x-2=-1$时，解得$x=1$。
【答案】
1或3
【知识点】
新定义运算、配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义与方程结合的基础题型，重点考查对新规则的理解转化能力和一元二次方程的求解能力，掌握配方法解方程的步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7

13. (本课时T11变式)若$25(a^2 + b^2 -1)^2 -36=0$,则$a^2 + b^2=$.

13.$\frac{11}{5}$

【分析】
观察方程结构，可将$a^2+b^2$看作一个整体，先通过移项、系数化为1将方程变形为平方项等于常数的形式，用直接开平方法求解；再结合平方的非负性可知$a^2+b^2≥0$，对求解出的结果进行取舍，舍去不符合要求的负根即可得到最终结果。
【解析】
对原方程进行变形：
1. 移项得：$25(a^2 + b^2 -1)^2 =36$
2. 两边同时除以25得：$(a^2 + b^2 -1)^2 =\frac{36}{25}$
3. 开平方得：$a^2 + b^2 -1 =\pm\frac{6}{5}$
分两种情况计算：
当$a^2 + b^2 -1 =\frac{6}{5}$时，$a^2 + b^2 =1+\frac{6}{5}=\frac{11}{5}$
当$a^2 + b^2 -1 =-\frac{6}{5}$时，$a^2 + b^2 =1-\frac{6}{5}=-\frac{1}{5}$
根据平方的非负性，$a^2≥0$，$b^2≥0$，因此$a^2 + b^2≥0$，故$a^2 + b^2=-\frac{1}{5}$不符合题意，舍去。
【答案】
$\frac{11}{5}$
【知识点】
直接开平方法解方程、平方的非负性、整体思想
【点评】
本题属于基础类计算题，运用整体思想求解可简化计算流程，解题时需注意结合代数式的取值范围对结果进行检验，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75

14. 解下列方程：
(1) $(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$.
(2) $x^2 + 2x + 3 = 2 - 5x$.

解:(1)$2x+3=\pm(3x+2)$,所以 $2x+3=3x+2$ 或 $2x+3=-3x-2$. 所以 $x_1=1,x_2=-1$.(2)$x^2+7x=-1$,$x^2+7x+(\frac{7}{2})^2=(\frac{7}{2})^2-1$,$(x+\frac{7}{2})^2=\frac{45}{4}$,所以 $x+\frac{7}{2}=\pm\frac{3\sqrt{5}}{2}$. 所以 $x_1=\frac{-7+3\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{-7-3\sqrt{5}}{2}$.

【分析】
(1) 观察方程左右两边都是完全平方式，根据“若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数”，可直接对两边开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，比展开整理后再求解更简便。
(2) 先将方程整理为左边是含未知数的项、右边是常数项的形式，此时二次项系数为1，根据配方法的要求，两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，再开平方转化为一次方程求解即可。
【解析】
(1) 对$(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$两边开平方，得：
$2x+3=\pm(3x+2)$
分两种情况求解：
① 当$2x+3=3x+2$时，移项得$3-2=3x-2x$，解得$x=1$；
② 当$2x+3=-(3x+2)$时，去括号得$2x+3=-3x-2$，移项合并得$5x=-5$，解得$x=-1$。
(2) 整理$x^2 + 2x + 3 = 2 - 5x$：
移项得$x^2+2x+5x=2-3$，合并同类项得$x^2+7x=-1$，
配方：两边同时加上$(\frac{7}{2})^2$，得
$x^2+7x+(\frac{7}{2})^2=(\frac{7}{2})^2-1$
左边写成完全平方式：$(x+\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}-\frac{4}{4}=\frac{45}{4}$，
开平方得$x+\frac{7}{2}=\pm\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
移项得$x=-\frac{7}{2}\pm\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-1$；
(2) $x_1=\frac{-7+3\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-7-3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，第一题利用平方的性质转化为一次方程，可减少计算量；第二题考查配方法的规范步骤，注意配方时等式两边需同时加相同的数，掌握好基础解法是后续解更复杂方程的基础。
【难度系数】
0.8

15.（教材习题变式）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列.

解:设增加了 $x$ 行,则增加了 $x$ 列. 根据题意,得$(6+x)(8+x)-6×8=51$,整理,得 $x^2+14x-51=0$. 解得 $x_1=3,x_2=-17$(不合题意,舍去).答:增加了3行3列.

【分析】
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题核心是找准等量关系：增加后的总人数 - 原有总人数 = 新增人数51。首先根据“增加的行、列数相同”设未知数，设增加了x行，则也增加了x列；再分别表示出增减前后的总人数：原有队伍6行8列，总人数为6×8，增加后队伍行数为(6+x)、列数为(8+x)，总人数为(6+x)(8+x)；代入等量关系列方程后求解，最后结合实际意义，行/列数为非负数，舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
解：设增加了 $x$ 行，则增加了 $x$ 列。
根据题意，列方程得：
$(6+x)(8+x)-6×8=51$
展开整理得：
$x^2+14x-51=0$
用配方法求解：
配方得$x^2+14x+49=51+49$，即$(x+7)^2=100$
开方得$x+7=\pm10$
解得 $x_1=3,x_2=-17$
因为增加的行/列数不能为负数，$x_2=-17$不合题意，舍去。
【答案】
增加了3行3列
【知识点】
一元二次方程的应用；配方法解方程；实际问题根的检验
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题关键是准确找到人数变化的等量关系，同时要注意求解方程后必须结合实际场景判断根的合理性，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.8

16.已知关于x的方程$a(x+m)^2 + b = 0$（a,b,m为常数，a≠0）的根是$x_1=2$，$x_2=-1$，那么方程$a(x+m+2)^2 + b = 0$的根是.

16.$x_1=0,x_2=-3$

【分析】
观察两个方程的结构可发现，第二个方程中的$x+m+2$可改写为$(x+2)+m$，与第一个方程中的$x+m$结构完全一致，因此可采用整体代换的思路解题：先根据第一个方程的根，确定括号内代数式的取值，再代入第二个方程的括号结构求解x即可。
【解析】
已知方程$a(x+m)^2 + b = 0$的根是$x_1=2$，$x_2=-1$，根据一元二次方程根的定义，可得当$x+m=2$或$x+m=-1$时，等式成立。
对于方程$a(x+m+2)^2 + b = 0$，将括号内变形为$(x+2)+m$，令$t=x+2$，则方程转化为$a(t+m)^2 + b = 0$。
由第一个方程的根可知，关于t的方程的根为$t_1=2$，$t_2=-1$。
将$t=x+2$代回，分别求解：
当$t_1=2$时，$x+2=2$，解得$x_1=0$；
当$t_2=-1$时，$x+2=-1$，解得$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=0,x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代换思想、换元法
【点评】
本题不需要展开求解方程，重点考查对同结构方程的观察能力和整体代换思想的应用，掌握该方法可以大幅简化同类型题目的运算过程，是一元二次方程相关题型中的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7