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1. 下列用配方法解方程$2x^2 +4x -1=0$的四个步骤中，开始出现错误的步骤是（
A.①
B.②
C.③
D.④
B
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1.B
解析
【分析】
要判断配方法解方程过程中开始出错的步骤，需严格按照配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤逐一验证：首先移项，将常数项移到等号右侧；再将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数，注意等号两边所有项都要参与运算；接着配方，最后开方求解。我们按这个逻辑逐个核对四个步骤即可找到错误位置。
【解析】
我们按正确配方法步骤推导：
1. 步骤①：移项，将原方程$2x^2+4x-1=0$的常数项移到右侧，得$2x^2+4x=1$，该步骤操作正确。
2. 步骤②：需将二次项系数化为1，等式两边应同时除以2，计算得$x^2+2x=\frac{1}{2}$，但题目中步骤②的结果为$x^2+2x=1$，右侧的1未除以2，此处已经出现错误。
后续步骤③、④都是基于步骤②的错误结果推导的，因此开始出现错误的是步骤②。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 等式的性质
【点评】
本题核心考查配方法的易错点，二次项系数化为1时，切记等式两边的每一项都要除以二次项系数，避免出现只除左侧、漏除右侧的低级错误。
【难度系数】
0.7
要判断配方法解方程过程中开始出错的步骤，需严格按照配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤逐一验证：首先移项，将常数项移到等号右侧；再将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数，注意等号两边所有项都要参与运算；接着配方，最后开方求解。我们按这个逻辑逐个核对四个步骤即可找到错误位置。
【解析】
我们按正确配方法步骤推导：
1. 步骤①：移项，将原方程$2x^2+4x-1=0$的常数项移到右侧，得$2x^2+4x=1$，该步骤操作正确。
2. 步骤②：需将二次项系数化为1，等式两边应同时除以2，计算得$x^2+2x=\frac{1}{2}$，但题目中步骤②的结果为$x^2+2x=1$，右侧的1未除以2，此处已经出现错误。
后续步骤③、④都是基于步骤②的错误结果推导的，因此开始出现错误的是步骤②。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 等式的性质
【点评】
本题核心考查配方法的易错点，二次项系数化为1时，切记等式两边的每一项都要除以二次项系数，避免出现只除左侧、漏除右侧的低级错误。
【难度系数】
0.7
2. 用配方法解方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$，配方后的方程是（
A.$3(x-1)^2 = 0$
B.$(x+\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{3}$
C.$(x+\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{3}$
D.$(x+\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{9}$
D
）A.$3(x-1)^2 = 0$
B.$(x+\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{3}$
C.$(x+\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{3}$
D.$(x+\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{9}$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决用配方法改写方程的问题，需按照配方法的标准步骤思考：首先将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式，即可得到配方后的方程，再对照选项选出答案。
【解析】
解：对原方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$进行变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$3x^2 + 2x = 1$
2. 二次项系数化为1，等号两边同时除以3：$x^2 + \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}$
3. 配方，等号两边同时加上一次项系数$\frac{2}{3}$一半的平方，即$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$：
$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$
4. 左侧写成完全平方式，右侧计算结果：$(x+\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{9}$
因此配方后的方程对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，解题关键是牢记配方前必须先将二次项系数化为1，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏乘、漏加的计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决用配方法改写方程的问题，需按照配方法的标准步骤思考：首先将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式，即可得到配方后的方程，再对照选项选出答案。
【解析】
解：对原方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$进行变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$3x^2 + 2x = 1$
2. 二次项系数化为1，等号两边同时除以3：$x^2 + \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}$
3. 配方，等号两边同时加上一次项系数$\frac{2}{3}$一半的平方，即$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$：
$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$
4. 左侧写成完全平方式，右侧计算结果：$(x+\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{9}$
因此配方后的方程对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，解题关键是牢记配方前必须先将二次项系数化为1，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏乘、漏加的计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 用配方法解方程:$2x^2 - 3x - 2 = 0$.
解:两边都除以2,得 $x^2 - \_\_\_\_\_\_ -1=0$.
配方,得 $x^2 - \frac{3}{2}x + \_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_ -1=0$,
即 $(x - \_\_\_\_\_\_)^2 - \_\_\_\_\_\_=0$.
移项,得 $(x - \_\_\_\_\_\_)^2 = \_\_\_\_\_\_$.
两边开平方,得 $x - \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$.
所以 $x_1 = \_\_\_\_\_\_, x_2 = \_\_\_\_\_\_$.
解:两边都除以2,得 $x^2 - \_\_\_\_\_\_ -1=0$.
配方,得 $x^2 - \frac{3}{2}x + \_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_ -1=0$,
即 $(x - \_\_\_\_\_\_)^2 - \_\_\_\_\_\_=0$.
移项,得 $(x - \_\_\_\_\_\_)^2 = \_\_\_\_\_\_$.
两边开平方,得 $x - \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$.
所以 $x_1 = \_\_\_\_\_\_, x_2 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
3. $\frac{3}{2}x$ $[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$ $[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$ $\frac{3}{4}$ $\frac{25}{16}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{25}{16}$ $\frac{3}{4}$ $\pm\frac{5}{4}$ 2 $-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路如下：第一步，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；第二步，进行配方操作：对含x的二次项和一次项，加上一次项系数一半的平方，同时减去这个平方保证等式左右两边相等；第三步，将含x的部分整理为完全平方形式，把所有常数项移到等号右侧；第四步，对等式两边直接开平方，转化为两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
【解析】
1. 两边都除以2，将二次项系数化为1：$2x^2÷2 -3x÷2 -2÷2 = 0$，化简得 $x^2 - \frac{3}{2}x -1=0$，第一个空填$\frac{3}{2}x$。
2. 配方：一次项系数为$-\frac{3}{2}$，其一半的平方为$[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$，因此等式左边加该式再减该式保持等式成立，得 $x^2 - \frac{3}{2}x + [\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2 - [\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2 -1=0$，第二、三个空依次填$[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$、$[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$。
3. 整理为完全平方形式：$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2=(x-\frac{3}{4})^2$，常数项合并：$-(\frac{3}{4})^2 -1=-\frac{9}{16}-\frac{16}{16}=-\frac{25}{16}$，即 $(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{16}=0$，第四、五个空依次填$\frac{3}{4}$、$\frac{25}{16}$。
4. 移项，将常数项移到等号右侧：得 $(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16}$，第六、七个空依次填$\frac{3}{4}$、$\frac{25}{16}$。
5. 两边开平方：得 $x - \frac{3}{4} = \pm\frac{5}{4}$，第八、九个空依次填$\frac{3}{4}$、$\pm\frac{5}{4}$。
6. 求解一元一次方程：当$x-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$时，$x=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2$；当$x-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$时，$x=-\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$，因此$x_1 = 2, x_2 = -\frac{1}{2}$，最后两个空依次填$2$、$-\frac{1}{2}$。
【答案】
依次为：$\frac{3}{2}x$；$[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$；$[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$；$\frac{3}{4}$；$\frac{25}{16}$；$\frac{3}{4}$；$\frac{25}{16}$；$\frac{3}{4}$；$\pm\frac{5}{4}$；$2$；$-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，完整覆盖了配方法的标准操作步骤，核心考查配方时“添加一次项系数一半的平方”的操作逻辑，熟练掌握本题解法能够为后续学习一元二次方程的其他解法、二次函数等内容打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路如下：第一步，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；第二步，进行配方操作：对含x的二次项和一次项，加上一次项系数一半的平方，同时减去这个平方保证等式左右两边相等；第三步，将含x的部分整理为完全平方形式，把所有常数项移到等号右侧；第四步，对等式两边直接开平方，转化为两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
【解析】
1. 两边都除以2，将二次项系数化为1：$2x^2÷2 -3x÷2 -2÷2 = 0$，化简得 $x^2 - \frac{3}{2}x -1=0$，第一个空填$\frac{3}{2}x$。
2. 配方：一次项系数为$-\frac{3}{2}$，其一半的平方为$[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$，因此等式左边加该式再减该式保持等式成立，得 $x^2 - \frac{3}{2}x + [\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2 - [\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2 -1=0$，第二、三个空依次填$[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$、$[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$。
3. 整理为完全平方形式：$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2=(x-\frac{3}{4})^2$，常数项合并：$-(\frac{3}{4})^2 -1=-\frac{9}{16}-\frac{16}{16}=-\frac{25}{16}$，即 $(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{16}=0$，第四、五个空依次填$\frac{3}{4}$、$\frac{25}{16}$。
4. 移项，将常数项移到等号右侧：得 $(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16}$，第六、七个空依次填$\frac{3}{4}$、$\frac{25}{16}$。
5. 两边开平方：得 $x - \frac{3}{4} = \pm\frac{5}{4}$，第八、九个空依次填$\frac{3}{4}$、$\pm\frac{5}{4}$。
6. 求解一元一次方程：当$x-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$时，$x=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2$；当$x-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$时，$x=-\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$，因此$x_1 = 2, x_2 = -\frac{1}{2}$，最后两个空依次填$2$、$-\frac{1}{2}$。
【答案】
依次为：$\frac{3}{2}x$；$[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$；$[\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})]^2$；$\frac{3}{4}$；$\frac{25}{16}$；$\frac{3}{4}$；$\frac{25}{16}$；$\frac{3}{4}$；$\pm\frac{5}{4}$；$2$；$-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，完整覆盖了配方法的标准操作步骤，核心考查配方时“添加一次项系数一半的平方”的操作逻辑，熟练掌握本题解法能够为后续学习一元二次方程的其他解法、二次函数等内容打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
4.若代数式$\frac{1}{2}x^2 - 6x$的值为7，则x的值为
$6+5\sqrt{2}或 6-5\sqrt{2}$
。答案
4.$6+5\sqrt{2}或 6-5\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先根据题目给出的代数式的值为7，可列出关于x的一元二次方程，结合配方法求解即可。解题思路如下：第一步根据等量关系列方程，第二步将方程的二次项系数化为1，第三步配方将方程转化为完全平方式等于常数的形式，第四步开平方求出x的两个解。
【解析】
解：由题意得：$\frac{1}{2}x^2 - 6x = 7$
方程两边同时乘以2消去分母，得：
$x^2 - 12x = 14$
配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{-12}{2})^2=36$，得：
$x^2 -12x +36 =14 +36$
整理得：$(x-6)^2 = 50$
开平方得：$x-6 = ±\sqrt{50}=±5\sqrt{2}$
解得：$x_1=6+5\sqrt{2}$，$x_2=6-5\sqrt{2}$
【答案】
$6+5\sqrt{2}$或$6-5\sqrt{2}$
【知识点】
列一元二次方程；配方法解一元二次方程；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先根据等量关系列出方程，要熟练掌握配方法的操作步骤，开平方时注意不要遗漏负根，二次根式化简要准确。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的代数式的值为7，可列出关于x的一元二次方程，结合配方法求解即可。解题思路如下：第一步根据等量关系列方程，第二步将方程的二次项系数化为1，第三步配方将方程转化为完全平方式等于常数的形式，第四步开平方求出x的两个解。
【解析】
解：由题意得：$\frac{1}{2}x^2 - 6x = 7$
方程两边同时乘以2消去分母，得：
$x^2 - 12x = 14$
配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{-12}{2})^2=36$，得：
$x^2 -12x +36 =14 +36$
整理得：$(x-6)^2 = 50$
开平方得：$x-6 = ±\sqrt{50}=±5\sqrt{2}$
解得：$x_1=6+5\sqrt{2}$，$x_2=6-5\sqrt{2}$
【答案】
$6+5\sqrt{2}$或$6-5\sqrt{2}$
【知识点】
列一元二次方程；配方法解一元二次方程；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先根据等量关系列出方程，要熟练掌握配方法的操作步骤，开平方时注意不要遗漏负根，二次根式化简要准确。
【难度系数】
0.7
5. 解方程：
(1) $4x^2 + 8x = 5$.
(2) $2x^2 - 1 = -\dfrac{1}{2}x$.
(3) $-3x^2 + 4x + 1 = 0$.
(1) $4x^2 + 8x = 5$.
(2) $2x^2 - 1 = -\dfrac{1}{2}x$.
(3) $-3x^2 + 4x + 1 = 0$.
答案
5. 解:(1)两边都除以 4,得 $x^2+2x=\frac{5}{4}$,配方,得 $x^2+2x+(\frac{2}{2})^2=\frac{5}{4}+(\frac{2}{2})^2$,即$(x+1)^2=\frac{9}{4}$.两边开平方,得 $x+1=\pm\frac{3}{2}$.所以 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{5}{2}$. (2)两边都除以 2,得 $x^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x$. 移项,得$x^2+\frac{1}{4}x=\frac{1}{2}$. 配方,得 $x^2+\frac{1}{4}x+(\frac{1}{2}×\frac{1}{4})^2=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}×\frac{1}{4})^2$,即$(x+\frac{1}{8})^2=\frac{33}{64}$.两边开平方,得 $x+\frac{1}{8}=\pm\frac{\sqrt{33}}{8}$.所以 $x_1=\frac{-1+\sqrt{33}}{8},x_2=\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$. (3)两边都除以 -3,得 $x^2-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}=0$. 移项,得 $x^2-\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$. 配方,得 $x^2-\frac{4}{3}x+[\frac{1}{2}×(-\frac{4}{3})]^2=\frac{1}{3}+[\frac{1}{2}×(-\frac{4}{3})]^2$,即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{7}{9}$.两边开平方,得 $x-\frac{2}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$.所以 $x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$.
解析
【分析】
这三道题均是用配方法求解一元二次方程的基础题型，解题可按固定步骤展开：首先将二次项系数化为1，即方程两边同时除以二次项系数，注意二次项系数为负时各项符号要同步变化；其次移项，将常数项移到方程右侧，仅保留含未知数的项在左侧；接下来配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧化为完全平方式，右侧合并为常数；最后直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根，计算时注意分数、负数的符号不要出错。
【解析】
(1)两边都除以 4,得 $x^2+2x=\frac{5}{4}$,配方,得 $x^2+2x+(\frac{2}{2})^2=\frac{5}{4}+(\frac{2}{2})^2$,即$(x+1)^2=\frac{9}{4}$.两边开平方,得 $x+1=\pm\frac{3}{2}$.所以 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{5}{2}$.
(2)两边都除以 2,得 $x^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x$. 移项,得$x^2+\frac{1}{4}x=\frac{1}{2}$. 配方,得 $x^2+\frac{1}{4}x+(\frac{1}{2}×\frac{1}{4})^2=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}×\frac{1}{4})^2$,即$(x+\frac{1}{8})^2=\frac{33}{64}$.两边开平方,得 $x+\frac{1}{8}=\pm\frac{\sqrt{33}}{8}$.所以 $x_1=\frac{-1+\sqrt{33}}{8},x_2=\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$.
(3)两边都除以 -3,得 $x^2-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}=0$. 移项,得 $x^2-\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$. 配方,得 $x^2-\frac{4}{3}x+[\frac{1}{2}×(-\frac{4}{3})]^2=\frac{1}{3}+[\frac{1}{2}×(-\frac{4}{3})]^2$,即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{7}{9}$.两边开平方,得 $x-\frac{2}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$.所以 $x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$.
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{5}{2}$
(2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{33}}{8},x_2=\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$
(3) $x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的常规应用，熟练掌握“化1、移项、配方、开方”四个步骤是解题核心，解题时需注意二次项系数化1时不要漏除常数项，配方时等号两边需同时加一次项系数一半的平方，涉及分数、负数运算时要细心，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.75
这三道题均是用配方法求解一元二次方程的基础题型，解题可按固定步骤展开：首先将二次项系数化为1，即方程两边同时除以二次项系数，注意二次项系数为负时各项符号要同步变化；其次移项，将常数项移到方程右侧，仅保留含未知数的项在左侧；接下来配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧化为完全平方式，右侧合并为常数；最后直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根，计算时注意分数、负数的符号不要出错。
【解析】
(1)两边都除以 4,得 $x^2+2x=\frac{5}{4}$,配方,得 $x^2+2x+(\frac{2}{2})^2=\frac{5}{4}+(\frac{2}{2})^2$,即$(x+1)^2=\frac{9}{4}$.两边开平方,得 $x+1=\pm\frac{3}{2}$.所以 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{5}{2}$.
(2)两边都除以 2,得 $x^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x$. 移项,得$x^2+\frac{1}{4}x=\frac{1}{2}$. 配方,得 $x^2+\frac{1}{4}x+(\frac{1}{2}×\frac{1}{4})^2=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}×\frac{1}{4})^2$,即$(x+\frac{1}{8})^2=\frac{33}{64}$.两边开平方,得 $x+\frac{1}{8}=\pm\frac{\sqrt{33}}{8}$.所以 $x_1=\frac{-1+\sqrt{33}}{8},x_2=\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$.
(3)两边都除以 -3,得 $x^2-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}=0$. 移项,得 $x^2-\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$. 配方,得 $x^2-\frac{4}{3}x+[\frac{1}{2}×(-\frac{4}{3})]^2=\frac{1}{3}+[\frac{1}{2}×(-\frac{4}{3})]^2$,即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{7}{9}$.两边开平方,得 $x-\frac{2}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$.所以 $x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$.
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{5}{2}$
(2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{33}}{8},x_2=\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$
(3) $x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的常规应用，熟练掌握“化1、移项、配方、开方”四个步骤是解题核心，解题时需注意二次项系数化1时不要漏除常数项，配方时等号两边需同时加一次项系数一半的平方，涉及分数、负数运算时要细心，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.75
6.如果一个一元二次方程的二次项是$2x^2$，配方后整理得$(x-\frac{1}{2})^2=1$，那么它的一次项和常数项分别是（
A.$-x,-\frac{3}{4}$
B.$-2x,-\frac{1}{2}$
C.$-2x,-\frac{3}{2}$
D.$x,-\frac{3}{2}$
C
）A.$-x,-\frac{3}{4}$
B.$-2x,-\frac{1}{2}$
C.$-2x,-\frac{3}{2}$
D.$x,-\frac{3}{2}$
答案
6.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以逆用配方法的步骤：首先将配方后的方程展开，再根据已知的二次项系数为2，将方程变形为二次项是$2x^2$的标准一元二次方程形式，最后识别一次项和常数项即可。
【解析】
步骤1：展开配方后的方程
对$(x-\frac{1}{2})^2=1$左边用完全平方公式展开，得：
$x^2 - x + \frac{1}{4} = 1$
步骤2：整理方程并调整二次项系数
移项得：$x^2 - x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
已知原方程二次项为$2x^2$，将上式两边同时乘2，得：
$2x^2 - 2x = \frac{3}{2}$
移项化为标准一元二次方程形式：$2x^2 - 2x - \frac{3}{2} = 0$
步骤3：识别一次项和常数项
一次项为$-2x$，常数项为$-\frac{3}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；完全平方公式；配方法的逆用
【点评】
本题考查配方法的逆应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的展开规则，以及一元二次方程各项的识别，计算时注意系数的变换，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以逆用配方法的步骤：首先将配方后的方程展开，再根据已知的二次项系数为2，将方程变形为二次项是$2x^2$的标准一元二次方程形式，最后识别一次项和常数项即可。
【解析】
步骤1：展开配方后的方程
对$(x-\frac{1}{2})^2=1$左边用完全平方公式展开，得：
$x^2 - x + \frac{1}{4} = 1$
步骤2：整理方程并调整二次项系数
移项得：$x^2 - x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
已知原方程二次项为$2x^2$，将上式两边同时乘2，得：
$2x^2 - 2x = \frac{3}{2}$
移项化为标准一元二次方程形式：$2x^2 - 2x - \frac{3}{2} = 0$
步骤3：识别一次项和常数项
一次项为$-2x$，常数项为$-\frac{3}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；完全平方公式；配方法的逆用
【点评】
本题考查配方法的逆应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的展开规则，以及一元二次方程各项的识别，计算时注意系数的变换，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.7
7.若一元二次方程$4x^2 +12x -27=0$的两根分别为$a,b$,且$a＞b$,则$3a + b$的值为 （
A.0
B.$-3$
C.$-12$
D.$6$
A
）A.0
B.$-3$
C.$-12$
D.$6$
答案
7.A
解析
【分析】
解题思路如下：首先我们需要求出给定一元二次方程的两个根，按照配方法的常规步骤先将二次项系数化为1，再移项、配方、开方得到两根，接着根据a＞b的条件确定a、b的具体取值，最后将a、b代入3a+b计算出结果即可。
【解析】
解：用配方法解方程$4x^2 +12x -27=0$：
1. 二次项系数化为1：两边同时除以4，得$x^2 + 3x - \frac{27}{4}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + 3x = \frac{27}{4}$；
3. 配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = \frac{27}{4} + \frac{9}{4}$，即$(x+\frac{3}{2})^2=9$；
4. 开方：两边同时开平方，得$x+\frac{3}{2}=\pm3$；
5. 求根：解得$x_1=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}-3=-\frac{9}{2}$。
因为方程的两根$a＞b$，所以$a=\frac{3}{2}$，$b=-\frac{9}{2}$。
代入$3a+b$计算：$3a+b=3×\frac{3}{2} + (-\frac{9}{2})=\frac{9}{2}-\frac{9}{2}=0$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、代数式求值、有理数大小比较
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查配方法解一元二次方程的步骤掌握情况，只要熟练掌握配方法的操作流程，正确求出方程的根，就能顺利算出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先我们需要求出给定一元二次方程的两个根，按照配方法的常规步骤先将二次项系数化为1，再移项、配方、开方得到两根，接着根据a＞b的条件确定a、b的具体取值，最后将a、b代入3a+b计算出结果即可。
【解析】
解：用配方法解方程$4x^2 +12x -27=0$：
1. 二次项系数化为1：两边同时除以4，得$x^2 + 3x - \frac{27}{4}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + 3x = \frac{27}{4}$；
3. 配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = \frac{27}{4} + \frac{9}{4}$，即$(x+\frac{3}{2})^2=9$；
4. 开方：两边同时开平方，得$x+\frac{3}{2}=\pm3$；
5. 求根：解得$x_1=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}-3=-\frac{9}{2}$。
因为方程的两根$a＞b$，所以$a=\frac{3}{2}$，$b=-\frac{9}{2}$。
代入$3a+b$计算：$3a+b=3×\frac{3}{2} + (-\frac{9}{2})=\frac{9}{2}-\frac{9}{2}=0$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、代数式求值、有理数大小比较
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查配方法解一元二次方程的步骤掌握情况，只要熟练掌握配方法的操作流程，正确求出方程的根，就能顺利算出结果。
【难度系数】
0.8
8. 若等腰三角形的两边长分别是方程$3x^2 -8x +4=0$的两个根，则此三角形的周长为
$\frac{14}{3}$
。答案
8.$\frac{14}{3}$
解析
【分析】
解题时首先需要解出一元二次方程的两个根，再结合等腰三角形两腰相等的性质分两种情况讨论腰长和底边长的取值，最后根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）排除无法构成三角形的情况，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：用配方法解一元二次方程$3x^2 -8x +4=0$
1. 二次项系数化为1：$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3}=0$
2. 移项：$x^2 - \frac{8}{3}x = -\frac{4}{3}$
3. 配方：两边同时加上$(\frac{4}{3})^2$，得$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = -\frac{4}{3} + \frac{16}{9}$
4. 整理得：$(x-\frac{4}{3})^2 = \frac{4}{9}$
5. 开方得：$x-\frac{4}{3} = ±\frac{2}{3}$
解得$x_1=2$，$x_2=\frac{2}{3}$
第二步：结合等腰三角形性质和三边关系讨论
情况1：若腰长为$\frac{2}{3}$，底边长为2
此时两腰之和为$\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}＜2$，不符合三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
情况2：若腰长为2，底边长为$\frac{2}{3}$
此时$2+2＞\frac{2}{3}$，$2+\frac{2}{3}＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为$2+2+\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$
【答案】
$\frac{14}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于方程与几何的综合基础题，解题的关键是在分类讨论等腰三角形边长后，切记用三角形三边关系验证取值是否合理，避免忽略验证导致多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要解出一元二次方程的两个根，再结合等腰三角形两腰相等的性质分两种情况讨论腰长和底边长的取值，最后根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）排除无法构成三角形的情况，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：用配方法解一元二次方程$3x^2 -8x +4=0$
1. 二次项系数化为1：$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3}=0$
2. 移项：$x^2 - \frac{8}{3}x = -\frac{4}{3}$
3. 配方：两边同时加上$(\frac{4}{3})^2$，得$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = -\frac{4}{3} + \frac{16}{9}$
4. 整理得：$(x-\frac{4}{3})^2 = \frac{4}{9}$
5. 开方得：$x-\frac{4}{3} = ±\frac{2}{3}$
解得$x_1=2$，$x_2=\frac{2}{3}$
第二步：结合等腰三角形性质和三边关系讨论
情况1：若腰长为$\frac{2}{3}$，底边长为2
此时两腰之和为$\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}＜2$，不符合三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
情况2：若腰长为2，底边长为$\frac{2}{3}$
此时$2+2＞\frac{2}{3}$，$2+\frac{2}{3}＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为$2+2+\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$
【答案】
$\frac{14}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于方程与几何的综合基础题，解题的关键是在分类讨论等腰三角形边长后，切记用三角形三边关系验证取值是否合理，避免忽略验证导致多解错误。
【难度系数】
0.7
