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9.解方程：$-x^2 + 2 = 2\sqrt{3}x$
答案
9. 解:$x^2 + 2\sqrt{3}x=2$,$(x+\sqrt{3})^2=5$,所以 $x+\sqrt{3}=\pm\sqrt{5}$. 所以 $x_1=-\sqrt{3}+\sqrt{5},x_2=-\sqrt{3}-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题是一元二次方程求解问题，结合配方法的知识求解即可。首先先将方程整理为二次项系数为1的形式，把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边；再根据完全平方公式的结构特征，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式；最后利用平方根的性质开方，即可求出方程的解。
【解析】
首先对原方程进行移项整理：
将$-x^2$移到等号右侧，$2\sqrt{3}x$移到等号左侧，得$x^2 + 2\sqrt{3}x = 2$；
接下来配方，一次项系数为$2\sqrt{3}$，它的一半是$\sqrt{3}$，平方为$(\sqrt{3})^2=3$，给方程两边同时加3：
$x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 2 + 3$，
左边写成完全平方形式得：$(x+\sqrt{3})^2 = 5$；
根据平方根的性质，开平方得：$x+\sqrt{3}=\pm\sqrt{5}$；
分别求解两个一次方程：
当$x+\sqrt{3}=\sqrt{5}$时，$x_1=-\sqrt{3}+\sqrt{5}$；
当$x+\sqrt{3}=-\sqrt{5}$时，$x_2=-\sqrt{3}-\sqrt{5}$。
【答案】
$x_1=-\sqrt{3}+\sqrt{5},x_2=-\sqrt{3}-\sqrt{5}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查配方法解一元二次方程的步骤，解题时要注意先将二次项系数化为1再配方，计算过程中留意根号相关的运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程求解问题，结合配方法的知识求解即可。首先先将方程整理为二次项系数为1的形式，把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边；再根据完全平方公式的结构特征，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式；最后利用平方根的性质开方，即可求出方程的解。
【解析】
首先对原方程进行移项整理：
将$-x^2$移到等号右侧，$2\sqrt{3}x$移到等号左侧，得$x^2 + 2\sqrt{3}x = 2$；
接下来配方，一次项系数为$2\sqrt{3}$，它的一半是$\sqrt{3}$，平方为$(\sqrt{3})^2=3$，给方程两边同时加3：
$x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 2 + 3$，
左边写成完全平方形式得：$(x+\sqrt{3})^2 = 5$；
根据平方根的性质，开平方得：$x+\sqrt{3}=\pm\sqrt{5}$；
分别求解两个一次方程：
当$x+\sqrt{3}=\sqrt{5}$时，$x_1=-\sqrt{3}+\sqrt{5}$；
当$x+\sqrt{3}=-\sqrt{5}$时，$x_2=-\sqrt{3}-\sqrt{5}$。
【答案】
$x_1=-\sqrt{3}+\sqrt{5},x_2=-\sqrt{3}-\sqrt{5}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查配方法解一元二次方程的步骤，解题时要注意先将二次项系数化为1再配方，计算过程中留意根号相关的运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
10.如图,要为一幅长为27 cm,宽为21 cm的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的$\frac{2}{9}$.镜框边的宽度是多少厘米($\sqrt{702}\approx26.50$,结果精确到0.1 cm)?
答案
10. 解:设镜框边的宽度是 x cm. 根据题意,得$(27+2x)(21+2x)-27×21=\frac{2}{9}×27×21$. $2x^2+48x=63$. $(x+12)^2=\frac{351}{2}$. $\therefore x_1=-12-\frac{\sqrt{702}}{2}(舍),x_2=-12+\frac{\sqrt{702}}{2}\approx1.3$.答:镜框边的宽度应是 1.3 cm.
解析
【分析】
解题时首先设镜框边的宽度为x cm，由于镜框四边宽度相等，因此装裱后整体的长为(27+2x)cm（左右两侧各有宽度为x的边框），宽为(21+2x)cm（上下两侧各有宽度为x的边框）。根据“镜框所占面积为照片面积的$\frac{2}{9}$”这一等量关系，镜框面积=装裱后总面积-照片面积，可列出一元二次方程，再用配方法求解，最后结合宽度为正数的实际意义舍去不合理的负根，代入近似值计算即可得到结果。
【解析】
解：设镜框边的宽度是x cm。
根据题意列方程：
$(27+2x)(21+2x)-27×21=\frac{2}{9}×27×21$
展开整理得：$4x^2+96x=126$，两边同除以2得：$2x^2+48x=63$
二次项系数化为1：$x^2+24x=\frac{63}{2}$
配方，两边同时加$12^2$：$x^2+24x+144=\frac{63}{2}+144$
即：$(x+12)^2=\frac{351}{2}$
开方得：$x+12=\pm\frac{\sqrt{702}}{2}$
解得：$x_1=-12-\frac{\sqrt{702}}{2}$，$x_2=-12+\frac{\sqrt{702}}{2}$
∵宽度不能为负数，
∴$x_1=-12-\frac{\sqrt{702}}{2}$不符合实际，舍去。
代入$\sqrt{702}\approx26.50$计算：
$x\approx-12+\frac{26.50}{2}=1.25\approx1.3$（cm）
【答案】
1.3 cm
【知识点】
一元二次方程应用、配方法解方程、实际问题验根
【点评】
本题属于几何面积类实际应用题，解题核心是准确表示出装裱后图形的长和宽，找准面积的等量关系列方程，解方程后要注意结合实际意义筛选根，最后按精度要求取近似值即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先设镜框边的宽度为x cm，由于镜框四边宽度相等，因此装裱后整体的长为(27+2x)cm（左右两侧各有宽度为x的边框），宽为(21+2x)cm（上下两侧各有宽度为x的边框）。根据“镜框所占面积为照片面积的$\frac{2}{9}$”这一等量关系，镜框面积=装裱后总面积-照片面积，可列出一元二次方程，再用配方法求解，最后结合宽度为正数的实际意义舍去不合理的负根，代入近似值计算即可得到结果。
【解析】
解：设镜框边的宽度是x cm。
根据题意列方程：
$(27+2x)(21+2x)-27×21=\frac{2}{9}×27×21$
展开整理得：$4x^2+96x=126$，两边同除以2得：$2x^2+48x=63$
二次项系数化为1：$x^2+24x=\frac{63}{2}$
配方，两边同时加$12^2$：$x^2+24x+144=\frac{63}{2}+144$
即：$(x+12)^2=\frac{351}{2}$
开方得：$x+12=\pm\frac{\sqrt{702}}{2}$
解得：$x_1=-12-\frac{\sqrt{702}}{2}$，$x_2=-12+\frac{\sqrt{702}}{2}$
∵宽度不能为负数，
∴$x_1=-12-\frac{\sqrt{702}}{2}$不符合实际，舍去。
代入$\sqrt{702}\approx26.50$计算：
$x\approx-12+\frac{26.50}{2}=1.25\approx1.3$（cm）
【答案】
1.3 cm
【知识点】
一元二次方程应用、配方法解方程、实际问题验根
【点评】
本题属于几何面积类实际应用题，解题核心是准确表示出装裱后图形的长和宽，找准面积的等量关系列方程，解方程后要注意结合实际意义筛选根，最后按精度要求取近似值即可。
【难度系数】
0.6
11. A教材经典素材·几何解法 我国古代数学家赵爽研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法.以方程$x^2+5x-14=0$,即$x(x+5)=14$为例说明,他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:构造如图所示的大正方形,它的面积可表示为$(x+x+5)^2$,同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即$4×14+5^2$,因此有$(x+x+5)^2=81$,可得方程的正数解为$x=2$.小明用此方法解关于$x$的方程$x^2+mx-n=0$时,构造出类似的图形,如果大正方形的面积为41,小正方形的面积为9,则$m,n$的值分别为（
A.2,8
B.3,8
C.2,9
D.3,9
B
）A.2,8
B.3,8
C.2,9
D.3,9
答案
11.B
解析
【分析】
解题时先类比题目给出的赵爽几何解法的思路，先将方程$x^2+mx-n=0$变形为$x(x+m)=n$，明确构造图形中各部分面积和参数的对应关系：每个矩形的面积等于$n$，中间小正方形的边长为$m$，大正方形面积等于4个矩形面积加小正方形面积。先由小正方形面积求出$m$的值，再代入大正方形面积的表达式即可求出$n$的值。
【解析】
1. 整理方程：将$x^2+mx-n=0$移项得$x(x+m)=n$，可知构造图形中每个长方形的面积为$n$。
2. 求$m$的值：中间小正方形的边长为$(x+m)-x=m$，已知小正方形面积为9，且$m$为正数，因此$m^2=9$，解得$m=3$。
3. 求$n$的值：根据题意，大正方形面积=4个长方形面积+小正方形面积，已知大正方形面积为41，代入得：
$4n + 9 = 41$
解得$4n=32$，即$n=8$。
综上，$m=3$，$n=8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的几何解法，正方形面积计算，一元一次方程求解
【点评】
本题结合古代数学研究成果，考查数形结合的应用，解题关键是找准几何图形面积和方程参数的对应关系，理清对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先类比题目给出的赵爽几何解法的思路，先将方程$x^2+mx-n=0$变形为$x(x+m)=n$，明确构造图形中各部分面积和参数的对应关系：每个矩形的面积等于$n$，中间小正方形的边长为$m$，大正方形面积等于4个矩形面积加小正方形面积。先由小正方形面积求出$m$的值，再代入大正方形面积的表达式即可求出$n$的值。
【解析】
1. 整理方程：将$x^2+mx-n=0$移项得$x(x+m)=n$，可知构造图形中每个长方形的面积为$n$。
2. 求$m$的值：中间小正方形的边长为$(x+m)-x=m$，已知小正方形面积为9，且$m$为正数，因此$m^2=9$，解得$m=3$。
3. 求$n$的值：根据题意，大正方形面积=4个长方形面积+小正方形面积，已知大正方形面积为41，代入得：
$4n + 9 = 41$
解得$4n=32$，即$n=8$。
综上，$m=3$，$n=8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的几何解法，正方形面积计算，一元一次方程求解
【点评】
本题结合古代数学研究成果，考查数形结合的应用，解题关键是找准几何图形面积和方程参数的对应关系，理清对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
【例】 填空：
(1)$x^2 + 4x + 8=(x+\_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_$.$\because$不论$x$取何值，$(x+\_\_\_\_\_\_)^2$总是非负数，即$(x+\_\_\_\_\_\_)^2≥0$，$\therefore(x+\_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_≥\_\_\_\_\_\_$.$\therefore$当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$x^2 + 4x + 8$有最小值为________.$\therefore$原式子的值必为________数.（填“正”或“负”）
(2)$-x^2 + 2x + 4=-(x-\_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_$.$\because$不论$x$取何值，$-(x-\_\_\_\_\_\_)^2$总是非正数，即$-(x-\_\_\_\_\_\_)^2≤0$，$\therefore-(x-\_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_≤\_\_\_\_\_\_$.$\therefore$当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$-x^2 + 2x + 4$有最大值为________.
【方法归纳】 用配方法求代数式的最值，需要把代数式配方成$a(x+h)^2 + k$的形式，当$a＞0$，$x=-h$时，该代数式有最小值$k$；当$a＜0$，$x=-h$时，该代数式有最大值$k$.
(1)$x^2 + 4x + 8=(x+\_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_$.$\because$不论$x$取何值，$(x+\_\_\_\_\_\_)^2$总是非负数，即$(x+\_\_\_\_\_\_)^2≥0$，$\therefore(x+\_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_≥\_\_\_\_\_\_$.$\therefore$当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$x^2 + 4x + 8$有最小值为________.$\therefore$原式子的值必为________数.（填“正”或“负”）
(2)$-x^2 + 2x + 4=-(x-\_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_$.$\because$不论$x$取何值，$-(x-\_\_\_\_\_\_)^2$总是非正数，即$-(x-\_\_\_\_\_\_)^2≤0$，$\therefore-(x-\_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_≤\_\_\_\_\_\_$.$\therefore$当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$-x^2 + 2x + 4$有最大值为________.
【方法归纳】 用配方法求代数式的最值，需要把代数式配方成$a(x+h)^2 + k$的形式，当$a＞0$，$x=-h$时，该代数式有最小值$k$；当$a＜0$，$x=-h$时，该代数式有最大值$k$.
答案
(1)2 4 2 2 2 4 4 -2 4 正 (2)1 5 1 1 1 5 5 1 5
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，解题思路如下：首先明确配方法的核心步骤：对于二次三项式，先将二次项和一次项组合，若二次项系数不为1，先提取二次项系数，再加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，最后调整常数项保证式子值不变；再利用完全平方的非负性（任意实数的平方大于等于0）推导整个代数式的取值范围，进而得到最值、判断正负性。
(1) 第一小问二次项系数为正，配方后完全平方式的系数为正，代数式存在最小值；
(2) 第二小问二次项系数为负，提取负号后配方，完全平方式的系数为负，代数式存在最大值。
【解析】
(1) 对$x^2 + 4x + 8$配方：
一次项系数为4，其一半为2，平方为$2^2=4$，因此：
$x^2 + 4x + 8 = (x^2+4x+4) + 4 = (x+2)^2 + 4$
根据平方的非负性，对任意实数$x$，$(x+2)^2 ≥ 0$恒成立，因此：
$(x+2)^2 + 4 ≥ 0 + 4 = 4$
当$(x+2)^2=0$即$x=-2$时，代数式取得最小值4，最小值为正数，因此原式子的值必为正数。
对应空依次填：2、4、2、2、2、4、4、-2、4、正。
(2) 对$-x^2 + 2x + 4$配方：
先提取二次项系数$-1$，得$-x^2 + 2x + 4 = -(x^2-2x) + 4$
括号内一次项系数为$-2$，其一半为$-1$，平方为$(-1)^2=1$，因此：
$x^2-2x = (x^2-2x+1) - 1 = (x-1)^2 - 1$
代入原式得：$-[(x-1)^2 - 1] + 4 = -(x-1)^2 + 1 + 4 = -(x-1)^2 + 5$
根据平方的非负性，对任意实数$x$，$(x-1)^2 ≥ 0$，因此$-(x-1)^2 ≤ 0$恒成立，故：
$-(x-1)^2 + 5 ≤ 0 + 5 = 5$
当$(x-1)^2=0$即$x=1$时，代数式取得最大值5。
对应空依次填：1、5、1、1、1、5、5、1、5。
【答案】
(1)2 4 2 2 2 4 4 -2 4 正 (2)1 5 1 1 1 5 5 1 5
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能准确对二次三项式进行配方，再结合平方的非负性分析代数式的取值范围，是代数变形中常用的基础技巧，也为后续二次函数相关知识的学习打下基础。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法的应用，解题思路如下：首先明确配方法的核心步骤：对于二次三项式，先将二次项和一次项组合，若二次项系数不为1，先提取二次项系数，再加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，最后调整常数项保证式子值不变；再利用完全平方的非负性（任意实数的平方大于等于0）推导整个代数式的取值范围，进而得到最值、判断正负性。
(1) 第一小问二次项系数为正，配方后完全平方式的系数为正，代数式存在最小值；
(2) 第二小问二次项系数为负，提取负号后配方，完全平方式的系数为负，代数式存在最大值。
【解析】
(1) 对$x^2 + 4x + 8$配方：
一次项系数为4，其一半为2，平方为$2^2=4$，因此：
$x^2 + 4x + 8 = (x^2+4x+4) + 4 = (x+2)^2 + 4$
根据平方的非负性，对任意实数$x$，$(x+2)^2 ≥ 0$恒成立，因此：
$(x+2)^2 + 4 ≥ 0 + 4 = 4$
当$(x+2)^2=0$即$x=-2$时，代数式取得最小值4，最小值为正数，因此原式子的值必为正数。
对应空依次填：2、4、2、2、2、4、4、-2、4、正。
(2) 对$-x^2 + 2x + 4$配方：
先提取二次项系数$-1$，得$-x^2 + 2x + 4 = -(x^2-2x) + 4$
括号内一次项系数为$-2$，其一半为$-1$，平方为$(-1)^2=1$，因此：
$x^2-2x = (x^2-2x+1) - 1 = (x-1)^2 - 1$
代入原式得：$-[(x-1)^2 - 1] + 4 = -(x-1)^2 + 1 + 4 = -(x-1)^2 + 5$
根据平方的非负性，对任意实数$x$，$(x-1)^2 ≥ 0$，因此$-(x-1)^2 ≤ 0$恒成立，故：
$-(x-1)^2 + 5 ≤ 0 + 5 = 5$
当$(x-1)^2=0$即$x=1$时，代数式取得最大值5。
对应空依次填：1、5、1、1、1、5、5、1、5。
【答案】
(1)2 4 2 2 2 4 4 -2 4 正 (2)1 5 1 1 1 5 5 1 5
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能准确对二次三项式进行配方，再结合平方的非负性分析代数式的取值范围，是代数变形中常用的基础技巧，也为后续二次函数相关知识的学习打下基础。
【难度系数】
0.8
1.不论a为何实数，多项式$a^2+3a+5$的值一定是 （
A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定
A
）A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定
答案
1.A
解析
【分析】
要判断含参数的二次多项式的正负，优先使用配方法将多项式转化为“完全平方式+常数”的结构，再结合完全平方的非负性分析：完全平方式的取值恒大于等于0，只需判断常数的正负，即可确定整个多项式的取值范围。
【解析】
对多项式$a^2+3a+5$进行配方：
一次项系数为3，其一半的平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此：
$\begin{aligned}a^2+3a+5&=a^2+3a+\frac{9}{4}+5-\frac{9}{4}\\&=(a+\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
∵ 不论a为任意实数，都有$(a+\frac{3}{2})^2≥0$，
∴ $(a+\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}≥\frac{11}{4}＞0$，
即多项式的值一定是正数，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法；完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是通过配方将代数式转化为非负项与常数的和，再结合非负性质判断取值，熟练掌握配方法的操作步骤是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85
要判断含参数的二次多项式的正负，优先使用配方法将多项式转化为“完全平方式+常数”的结构，再结合完全平方的非负性分析：完全平方式的取值恒大于等于0，只需判断常数的正负，即可确定整个多项式的取值范围。
【解析】
对多项式$a^2+3a+5$进行配方：
一次项系数为3，其一半的平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此：
$\begin{aligned}a^2+3a+5&=a^2+3a+\frac{9}{4}+5-\frac{9}{4}\\&=(a+\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
∵ 不论a为任意实数，都有$(a+\frac{3}{2})^2≥0$，
∴ $(a+\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}≥\frac{11}{4}＞0$，
即多项式的值一定是正数，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法；完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是通过配方将代数式转化为非负项与常数的和，再结合非负性质判断取值，熟练掌握配方法的操作步骤是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85
2. 已知$P=m^2 - 1$，$Q=2m - 3$，则$P,Q$的大小关系为（
A.$P≥ Q$
B.$P＞Q$
C.$P＜Q$
D.不能确定
B
）A.$P≥ Q$
B.$P＞Q$
C.$P＜Q$
D.不能确定
答案
2.B
解析
【分析】
比较两个代数式的大小，常用作差法解题：先计算P与Q的差，再将差通过配方变形，结合平方数的非负性判断差的正负，若差为正则P＞Q，差为负则P＜Q，差为0则P=Q，由此即可得出二者的大小关系。
【解析】
要判断P和Q的大小，计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P-Q&=(m^2 -1)-(2m-3)\\&=m^2 -1 -2m +3\\&=m^2 -2m +2\\&=(m^2-2m+1)+1\\&=(m-1)^2 +1\end{aligned}$
∵ 无论m取何实数，都有$(m-1)^2 ≥ 0$
∴ $(m-1)^2 +1 ≥ 1＞0$，即$P-Q＞0$
∴ $P＞Q$
【答案】
B
【知识点】
作差法比较大小，配方法，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，掌握作差法的解题步骤，熟练对多项式进行配方变形，结合非负数的性质判断差的符号即可快速解题。
【难度系数】
0.8
比较两个代数式的大小，常用作差法解题：先计算P与Q的差，再将差通过配方变形，结合平方数的非负性判断差的正负，若差为正则P＞Q，差为负则P＜Q，差为0则P=Q，由此即可得出二者的大小关系。
【解析】
要判断P和Q的大小，计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P-Q&=(m^2 -1)-(2m-3)\\&=m^2 -1 -2m +3\\&=m^2 -2m +2\\&=(m^2-2m+1)+1\\&=(m-1)^2 +1\end{aligned}$
∵ 无论m取何实数，都有$(m-1)^2 ≥ 0$
∴ $(m-1)^2 +1 ≥ 1＞0$，即$P-Q＞0$
∴ $P＞Q$
【答案】
B
【知识点】
作差法比较大小，配方法，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，掌握作差法的解题步骤，熟练对多项式进行配方变形，结合非负数的性质判断差的符号即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 对于代数式$-3x^2 -6x +1$，当$x=$
-1
时，代数式有最大
（填“大”或“小”）值，其值为4
。答案
3.-1 大 4
解析
【分析】
本题是求二次代数式的最值问题，首先观察到代数式中二次项系数为-3＜0，因此代数式存在最大值，解题核心是利用配方法将原式变形为“完全平方式+常数”的结构，再结合完全平方的非负性推导最值：第一步先提取二次项与一次项的公因式，将二次项系数化为1；第二步凑完全平方，注意恒等变形，不能改变原式的值；第三步整理变形结果，根据完全平方式的取值范围确定最值及对应x的值。
【解析】
对代数式$-3x^2 -6x +1$进行配方变形：
1. 提取二次项、一次项的公因式$-3$：
$\begin{aligned}-3x^2 -6x +1&=-3(x^2 + 2x) + 1\end{aligned}$
2. 对括号内的式子配方，一次项系数为2，其一半的平方为1，因此括号内加1再减1保证值不变：
$\begin{aligned}&=-3[(x^2 + 2x + 1) - 1] + 1\\&=-3(x+1)^2 + 3 + 1\\&=-3(x+1)^2 + 4\end{aligned}$
3. 结合完全平方的非负性分析：$\because (x+1)^2≥0$，$\therefore -3(x+1)^2≤0$，当且仅当$(x+1)^2=0$即$x=-1$时，$-3(x+1)^2$取最大值0，此时代数式的最大值为$0+4=4$。
【答案】
-1；大；4
【知识点】
配方法；完全平方的非负性；二次式最值
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是熟练掌握配方法的步骤，注意提取负的二次项系数时的符号变化，结合完全平方的非负性即可快速求出二次代数式的最值。
【难度系数】
0.8
本题是求二次代数式的最值问题，首先观察到代数式中二次项系数为-3＜0，因此代数式存在最大值，解题核心是利用配方法将原式变形为“完全平方式+常数”的结构，再结合完全平方的非负性推导最值：第一步先提取二次项与一次项的公因式，将二次项系数化为1；第二步凑完全平方，注意恒等变形，不能改变原式的值；第三步整理变形结果，根据完全平方式的取值范围确定最值及对应x的值。
【解析】
对代数式$-3x^2 -6x +1$进行配方变形：
1. 提取二次项、一次项的公因式$-3$：
$\begin{aligned}-3x^2 -6x +1&=-3(x^2 + 2x) + 1\end{aligned}$
2. 对括号内的式子配方，一次项系数为2，其一半的平方为1，因此括号内加1再减1保证值不变：
$\begin{aligned}&=-3[(x^2 + 2x + 1) - 1] + 1\\&=-3(x+1)^2 + 3 + 1\\&=-3(x+1)^2 + 4\end{aligned}$
3. 结合完全平方的非负性分析：$\because (x+1)^2≥0$，$\therefore -3(x+1)^2≤0$，当且仅当$(x+1)^2=0$即$x=-1$时，$-3(x+1)^2$取最大值0，此时代数式的最大值为$0+4=4$。
【答案】
-1；大；4
【知识点】
配方法；完全平方的非负性；二次式最值
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是熟练掌握配方法的步骤，注意提取负的二次项系数时的符号变化，结合完全平方的非负性即可快速求出二次代数式的最值。
【难度系数】
0.8
4.设$a,b$为实数,代数式$a^2+b^2-4a-2b+6$的最小值为
1
.答案
4.1
解析
【分析】
本题要求二元二次代数式的最小值，可通过配方法将代数式变形为几个完全平方式与常数相加的形式，结合完全平方的非负性即可求出最小值。思考步骤：1. 将代数式中含a的项、含b的项分别分组；2. 对两组分别添加合适的常数凑成完全平方式，同步调整原式的常数项保证代数式值不变；3. 根据完全平方≥0的性质，当所有完全平方式取0时，代数式取得最小值，即剩下的常数项。
【解析】
对代数式进行配方：
$\begin{aligned}a^2+b^2-4a-2b+6&=(a^2-4a)+(b^2-2b)+6\\&=(a^2-4a+4)+(b^2-2b+1)+6-4-1\\&=(a-2)^2+(b-1)^2+1\end{aligned}$
根据完全平方的非负性可知，$(a-2)^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，因此$(a-2)^2+(b-1)^2≥0$。
当$a=2$、$b=1$时，两个完全平方式均取0，此时代数式取得最小值，最小值为$0+0+1=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法；完全平方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是合理分组、拆分常数项完成配方，再结合非负性求最值，熟练掌握配方技巧能快速解决此类代数式最值问题。
【难度系数】
0.8
本题要求二元二次代数式的最小值，可通过配方法将代数式变形为几个完全平方式与常数相加的形式，结合完全平方的非负性即可求出最小值。思考步骤：1. 将代数式中含a的项、含b的项分别分组；2. 对两组分别添加合适的常数凑成完全平方式，同步调整原式的常数项保证代数式值不变；3. 根据完全平方≥0的性质，当所有完全平方式取0时，代数式取得最小值，即剩下的常数项。
【解析】
对代数式进行配方：
$\begin{aligned}a^2+b^2-4a-2b+6&=(a^2-4a)+(b^2-2b)+6\\&=(a^2-4a+4)+(b^2-2b+1)+6-4-1\\&=(a-2)^2+(b-1)^2+1\end{aligned}$
根据完全平方的非负性可知，$(a-2)^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，因此$(a-2)^2+(b-1)^2≥0$。
当$a=2$、$b=1$时，两个完全平方式均取0，此时代数式取得最小值，最小值为$0+0+1=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法；完全平方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是合理分组、拆分常数项完成配方，再结合非负性求最值，熟练掌握配方技巧能快速解决此类代数式最值问题。
【难度系数】
0.8
