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10. (★★★)如图是某隧道截面图,其轮廓可近似看作抛物线的一部分.若隧道底部宽12 m,高8 m,按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)该隧道设计为单向双车道通行,车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m,当两辆车在隧道内并排行驶时,需沿中心线两侧行驶,且两车至少间隔2 m(中心线宽度不计).若宽3 m、高3.5 m的甲、乙两车并排行驶,能否安全通过?请说明理由.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)该隧道设计为单向双车道通行,车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m,当两辆车在隧道内并排行驶时,需沿中心线两侧行驶,且两车至少间隔2 m(中心线宽度不计).若宽3 m、高3.5 m的甲、乙两车并排行驶,能否安全通过?请说明理由.
答案
解：(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(6,8)$，且过点$(0,0)$。
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+8$，
将$(0,0)$代入解析式，得：
$0=a·(0-6)^2+8$
解得$a=-\dfrac{2}{9}$，
因此抛物线对应的函数解析式为：
$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8 \quad (0≤ x≤ 12)$
展开也可写为$y=-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{8}{3}x \quad (0≤ x≤ 12)$。
(2) 能安全通过，理由如下：
由题意，隧道中心线为直线$x=6$，两车沿中心线两侧行驶且间隔不少于$2\ \mathrm{m}$，因此甲车右边缘距离中心线至少$1\ \mathrm{m}$，结合甲车宽$3\ \mathrm{m}$，可得甲车最左侧的横坐标为$6-1-3=2$。
将$x=2$代入抛物线解析式：
$y=-\dfrac{2}{9}×(2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}\approx4.44\ \mathrm{m}$
车辆通行要求的最小隧道高度为$3.5+0.5=4\ \mathrm{m}$。
因为$\dfrac{40}{9}＞4$，同理乙车最右侧$x=10$处对应的隧道高度也为$\dfrac{40}{9}＞4$，满足通行要求。
所以甲、乙两车并排行驶能安全通过。
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+8$，
将$(0,0)$代入解析式，得：
$0=a·(0-6)^2+8$
解得$a=-\dfrac{2}{9}$，
因此抛物线对应的函数解析式为：
$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8 \quad (0≤ x≤ 12)$
展开也可写为$y=-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{8}{3}x \quad (0≤ x≤ 12)$。
(2) 能安全通过，理由如下：
由题意，隧道中心线为直线$x=6$，两车沿中心线两侧行驶且间隔不少于$2\ \mathrm{m}$，因此甲车右边缘距离中心线至少$1\ \mathrm{m}$，结合甲车宽$3\ \mathrm{m}$，可得甲车最左侧的横坐标为$6-1-3=2$。
将$x=2$代入抛物线解析式：
$y=-\dfrac{2}{9}×(2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}\approx4.44\ \mathrm{m}$
车辆通行要求的最小隧道高度为$3.5+0.5=4\ \mathrm{m}$。
因为$\dfrac{40}{9}＞4$，同理乙车最右侧$x=10$处对应的隧道高度也为$\dfrac{40}{9}＞4$，满足通行要求。
所以甲、乙两车并排行驶能安全通过。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式首先要确定已知点的坐标：隧道底部宽12m、高8m，可得抛物线顶点坐标为$(6,8)$，且过原点$(0,0)$，选择顶点式设解析式，代入已知点即可求出系数，得到解析式。
(2) 判断两车能否安全通过，首先要根据通行规则确定车辆最外侧对应的横坐标，再代入解析式求出该位置的隧道高度，将其与“车高+要求的最小空隙”的高度对比，若隧道高度更高则可安全通过。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(6,8)$，且过点$(0,0)$。
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+8$，
将$(0,0)$代入解析式，得：
$0=a·(0-6)^2+8$
解得$a=-\dfrac{2}{9}$，
因此抛物线对应的函数解析式为：
$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8 \quad (0≤ x≤ 12)$，展开也可写为$y=-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{8}{3}x \quad (0≤ x≤ 12)$。
(2) 能安全通过，理由如下：
由题意，隧道中心线为直线$x=6$，两车沿中心线两侧行驶且间隔不少于$2\ \mathrm{m}$，因此每辆车靠近中心线的边缘距离中心线至少$1\ \mathrm{m}$，结合车宽$3\ \mathrm{m}$，可得甲车最左侧的横坐标为$6-1-3=2$，乙车最右侧的横坐标为$6+1+3=10$。
将$x=2$代入抛物线解析式：
$y=-\dfrac{2}{9}×(2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}\approx4.44\ \mathrm{m}$
车辆通行要求的最小隧道高度为$3.5+0.5=4\ \mathrm{m}$。
因为$\dfrac{40}{9}＞4$，由抛物线对称性可知，$x=10$处对应的隧道高度也为$\dfrac{40}{9}＞4$，满足通行要求。
所以甲、乙两车并排行驶能安全通过。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8 \ (0≤x≤12)$（或$y=-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{8}{3}x \ (0≤x≤12)$）
(2) 能安全通过，理由见解析。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数求值
【点评】
本题以隧道通行的实际场景为载体考查二次函数相关知识，解题关键是先准确求出抛物线解析式，再结合实际通行规则确定对应的自变量取值，通过计算函数值对比判断是否满足要求，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求抛物线解析式首先要确定已知点的坐标：隧道底部宽12m、高8m，可得抛物线顶点坐标为$(6,8)$，且过原点$(0,0)$，选择顶点式设解析式，代入已知点即可求出系数，得到解析式。
(2) 判断两车能否安全通过，首先要根据通行规则确定车辆最外侧对应的横坐标，再代入解析式求出该位置的隧道高度，将其与“车高+要求的最小空隙”的高度对比，若隧道高度更高则可安全通过。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(6,8)$，且过点$(0,0)$。
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+8$，
将$(0,0)$代入解析式，得：
$0=a·(0-6)^2+8$
解得$a=-\dfrac{2}{9}$，
因此抛物线对应的函数解析式为：
$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8 \quad (0≤ x≤ 12)$，展开也可写为$y=-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{8}{3}x \quad (0≤ x≤ 12)$。
(2) 能安全通过，理由如下：
由题意，隧道中心线为直线$x=6$，两车沿中心线两侧行驶且间隔不少于$2\ \mathrm{m}$，因此每辆车靠近中心线的边缘距离中心线至少$1\ \mathrm{m}$，结合车宽$3\ \mathrm{m}$，可得甲车最左侧的横坐标为$6-1-3=2$，乙车最右侧的横坐标为$6+1+3=10$。
将$x=2$代入抛物线解析式：
$y=-\dfrac{2}{9}×(2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}\approx4.44\ \mathrm{m}$
车辆通行要求的最小隧道高度为$3.5+0.5=4\ \mathrm{m}$。
因为$\dfrac{40}{9}＞4$，由抛物线对称性可知，$x=10$处对应的隧道高度也为$\dfrac{40}{9}＞4$，满足通行要求。
所以甲、乙两车并排行驶能安全通过。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8 \ (0≤x≤12)$（或$y=-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{8}{3}x \ (0≤x≤12)$）
(2) 能安全通过，理由见解析。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数求值
【点评】
本题以隧道通行的实际场景为载体考查二次函数相关知识，解题关键是先准确求出抛物线解析式，再结合实际通行规则确定对应的自变量取值，通过计算函数值对比判断是否满足要求，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.65
