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6. (★★)如图①的投石机是古代战争中的攻城首选.已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线.如图②,石块从距离地面5 m的点A处投出,其运动过程中的最高点距离地面30 m,此时到点A的水平距离为50 m.
(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式；
(2)若高为12 m的城墙BC离OA的水平距离为100 m,请判断(1)中按抛物线投出的石块能否越过城墙,并说明理由.
(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式；
(2)若高为12 m的城墙BC离OA的水平距离为100 m,请判断(1)中按抛物线投出的石块能否越过城墙,并说明理由.
答案
解：
(1) 以点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，点A的坐标为$(0,5)$，抛物线的顶点坐标为$(50,30)$。
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-50)^2+30$，
将$A(0,5)$代入解析式得：
$5=a·(0-50)^2+30$
解得$a=-\dfrac{1}{100}$，
因此抛物线对应的函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{100}(x-50)^2+30\quad(x≥0)$
（或展开为$y=-\dfrac{1}{100}x^2+x+5\quad(x≥0)$）
(2) 石块不能越过城墙，理由如下：
将$x=100$代入函数解析式，得：
$y=-\dfrac{1}{100}×(100-50)^2+30=5$
因为$5＜12$，即石块在距离OA水平距离100m处的高度为5m，小于城墙的高度12m，所以石块不能越过城墙。
(1) 以点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，点A的坐标为$(0,5)$，抛物线的顶点坐标为$(50,30)$。
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-50)^2+30$，
将$A(0,5)$代入解析式得：
$5=a·(0-50)^2+30$
解得$a=-\dfrac{1}{100}$，
因此抛物线对应的函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{100}(x-50)^2+30\quad(x≥0)$
（或展开为$y=-\dfrac{1}{100}x^2+x+5\quad(x≥0)$）
(2) 石块不能越过城墙，理由如下：
将$x=100$代入函数解析式，得：
$y=-\dfrac{1}{100}×(100-50)^2+30=5$
因为$5＜12$，即石块在距离OA水平距离100m处的高度为5m，小于城墙的高度12m，所以石块不能越过城墙。
解析
【分析】
首先解决第(1)问：首先要建立便于计算的平面直角坐标系，结合题图②，选择O点为原点，水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建系是最优选择，此时点A坐标直接可得为$(0,5)$。因为已知抛物线的最高点即顶点坐标为$(50,30)$，所以选用顶点式设抛物线解析式，仅需代入点A的坐标就能求出未知参数$a$，快速得到解析式，别忘了标注$x≥0$符合石块从A点投出的实际意义。
再解决第(2)问：判断石块能否越过城墙，就是求当水平距离OA为100m，也就是$x=100$时，对应石块的竖直高度$y$，将$y$的值和城墙高度12m对比：如果$y$比12大，就能越过，比12小就不能越过，代入计算即可得到结论。
【解析】
(1) 以点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，点A的坐标为$(0,5)$，抛物线的顶点（最高点）坐标为$(50,30)$。
设抛物线对应的函数解析式为顶点式$y=a(x-50)^2+30(a≠0)$，
将$A(0,5)$代入解析式得：
$5=a·(0-50)^2+30$
解得$a=-\dfrac{1}{100}$，
因此抛物线对应的函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{100}(x-50)^2+30\quad(x≥0)$，展开也可写为$y=-\dfrac{1}{100}x^2+x+5\quad(x≥0)$。
(2) 石块不能越过城墙，理由如下：
将$x=100$代入函数解析式，得：
$y=-\dfrac{1}{100}×(100-50)^2+30=5$
因为$5＜12$，即石块在距离OA水平距离100m处的高度为5m，小于城墙的高度12m，所以石块不能越过城墙。
【答案】
(1) 以O为原点、水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建立坐标系，抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{100}(x-50)^2+30\quad(x≥0)}$（或$y=-\dfrac{1}{100}x^2+x+5\quad(x≥0)$）；
(2) 石块不能越过城墙。
【知识点】
坐标系建立、待定系数法、二次函数应用
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题的关键是根据已知条件选择合适的抛物线解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算，解题时还要注意实际问题中自变量的取值范围要符合场景要求。
【难度系数】
0.75
首先解决第(1)问：首先要建立便于计算的平面直角坐标系，结合题图②，选择O点为原点，水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建系是最优选择，此时点A坐标直接可得为$(0,5)$。因为已知抛物线的最高点即顶点坐标为$(50,30)$，所以选用顶点式设抛物线解析式，仅需代入点A的坐标就能求出未知参数$a$，快速得到解析式，别忘了标注$x≥0$符合石块从A点投出的实际意义。
再解决第(2)问：判断石块能否越过城墙，就是求当水平距离OA为100m，也就是$x=100$时，对应石块的竖直高度$y$，将$y$的值和城墙高度12m对比：如果$y$比12大，就能越过，比12小就不能越过，代入计算即可得到结论。
【解析】
(1) 以点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，点A的坐标为$(0,5)$，抛物线的顶点（最高点）坐标为$(50,30)$。
设抛物线对应的函数解析式为顶点式$y=a(x-50)^2+30(a≠0)$，
将$A(0,5)$代入解析式得：
$5=a·(0-50)^2+30$
解得$a=-\dfrac{1}{100}$，
因此抛物线对应的函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{100}(x-50)^2+30\quad(x≥0)$，展开也可写为$y=-\dfrac{1}{100}x^2+x+5\quad(x≥0)$。
(2) 石块不能越过城墙，理由如下：
将$x=100$代入函数解析式，得：
$y=-\dfrac{1}{100}×(100-50)^2+30=5$
因为$5＜12$，即石块在距离OA水平距离100m处的高度为5m，小于城墙的高度12m，所以石块不能越过城墙。
【答案】
(1) 以O为原点、水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建立坐标系，抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{100}(x-50)^2+30\quad(x≥0)}$（或$y=-\dfrac{1}{100}x^2+x+5\quad(x≥0)$）；
(2) 石块不能越过城墙。
【知识点】
坐标系建立、待定系数法、二次函数应用
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题的关键是根据已知条件选择合适的抛物线解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算，解题时还要注意实际问题中自变量的取值范围要符合场景要求。
【难度系数】
0.75
7. (★★)如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度$y$(单位:m)与距离停车棚支柱$AO$的水平距离$x$(单位:m)近似满足函数关系$y=-0.02x^2+0.3x+1.6$的图象，点$B(6,2.68)$在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长$CD=4\ \mathrm{m}$，高$DE=1.8\ \mathrm{m}$的矩形，则可判定货车 (填“能”或“不能”)完全停到车棚内.
答案
$\boldsymbol{能}$
解析
【分析】
要判断货车能否完全停入车棚，需判断是否存在长度为4m的水平区间，使得该区间内棚顶的竖直高度y都不低于货车高度1.8m。解题思路为：先令y=1.8，代入二次函数解析式得到一元二次方程，求解得到y=1.8对应的两个水平距离x的值，计算两个x的差值，若差值≥4m，说明存在符合要求的区间，货车可以停入，反之则不能。
【解析】
令函数中$y=1.8$，代入解析式得：
$-0.02x^2 + 0.3x + 1.6 = 1.8$
移项整理得：
$x^2 - 15x + 10 = 0$
由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=1$，$b=-15$，$c=10$，代入得：
$x=\frac{15\pm\sqrt{(-15)^2-4×1×10}}{2×1}=\frac{15\pm\sqrt{185}}{2}$
计算两根之差：
$x_2 - x_1 = \frac{15+\sqrt{185}}{2} - \frac{15-\sqrt{185}}{2} = \sqrt{185} \approx 13.6\ \mathrm{m}$
因为$13.6\ \mathrm{m} ＞ 4\ \mathrm{m}$，说明存在长度大于4m的水平区间，区间内棚顶高度都不低于1.8m，满足货车停放要求。
【答案】
$\boldsymbol{能}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，核心是将实际停放需求转化为二次函数的数值范围问题，通过解一元二次方程得到符合高度要求的水平区间长度，即可得出结论，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
要判断货车能否完全停入车棚，需判断是否存在长度为4m的水平区间，使得该区间内棚顶的竖直高度y都不低于货车高度1.8m。解题思路为：先令y=1.8，代入二次函数解析式得到一元二次方程，求解得到y=1.8对应的两个水平距离x的值，计算两个x的差值，若差值≥4m，说明存在符合要求的区间，货车可以停入，反之则不能。
【解析】
令函数中$y=1.8$，代入解析式得：
$-0.02x^2 + 0.3x + 1.6 = 1.8$
移项整理得：
$x^2 - 15x + 10 = 0$
由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=1$，$b=-15$，$c=10$，代入得：
$x=\frac{15\pm\sqrt{(-15)^2-4×1×10}}{2×1}=\frac{15\pm\sqrt{185}}{2}$
计算两根之差：
$x_2 - x_1 = \frac{15+\sqrt{185}}{2} - \frac{15-\sqrt{185}}{2} = \sqrt{185} \approx 13.6\ \mathrm{m}$
因为$13.6\ \mathrm{m} ＞ 4\ \mathrm{m}$，说明存在长度大于4m的水平区间，区间内棚顶高度都不低于1.8m，满足货车停放要求。
【答案】
$\boldsymbol{能}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，核心是将实际停放需求转化为二次函数的数值范围问题，通过解一元二次方程得到符合高度要求的水平区间长度，即可得出结论，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
8. (★★)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高 m时,水柱落点距O点4 m.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，解题思路如下：
1. 由题意可知，喷头上下移动时水柱抛物线仅竖直平移，因此抛物线的二次项系数$a$、一次项系数$b$不变，仅常数项为喷头高度$h$；
2. 设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+h$（$x$为水平距离，$y$为水柱高度），利用两组已知的喷头高度和落点距离列方程组，求出系数$a$、$b$；
3. 再将落点距离为4m（即$x=4,y=0$）代入解析式，即可求出对应喷头高度$h$。
【解析】
设水柱对应的抛物线解析式为$y=ax^2+bx+h$，其中$h$为喷头高度，当水柱落地时$y=0$，对应$x$为落点距O点的距离。
根据题意：
① 当$h=2.5$时，$x=2.5$，$y=0$，代入得：
$0=a×(2.5)^2 + b×2.5 + 2.5$，化简得：$5a+2b+2=0$ --- (1)
② 当$h=4$时，$x=3$，$y=0$，代入得：
$0=a×3^2 + b×3 + 4$，化简得：$9a+3b+4=0$ --- (2)
联立(1)(2)解方程组：
将(1)×3得：$15a+6b+6=0$，(2)×2得：$18a+6b+8=0$
两式相减得：$3a+2=0$，解得$a=-\frac{2}{3}$
把$a=-\frac{2}{3}$代入(1)得：$5×(-\frac{2}{3}) +2b +2=0$，解得$b=\frac{2}{3}$
当落点距O点4m时，即$x=4$，$y=0$，代入解析式：
$0=-\frac{2}{3}×4^2 + \frac{2}{3}×4 + h$
计算得：$0=-\frac{32}{3}+\frac{8}{3}+h$，即$0=-8+h$，解得$h=8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数平移性质；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是抓住抛物线竖直平移时仅常数项改变的特点，通过已知条件求出函数系数，再代入求解未知量，贴合生活实际，能锻炼学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数的实际应用，解题思路如下：
1. 由题意可知，喷头上下移动时水柱抛物线仅竖直平移，因此抛物线的二次项系数$a$、一次项系数$b$不变，仅常数项为喷头高度$h$；
2. 设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+h$（$x$为水平距离，$y$为水柱高度），利用两组已知的喷头高度和落点距离列方程组，求出系数$a$、$b$；
3. 再将落点距离为4m（即$x=4,y=0$）代入解析式，即可求出对应喷头高度$h$。
【解析】
设水柱对应的抛物线解析式为$y=ax^2+bx+h$，其中$h$为喷头高度，当水柱落地时$y=0$，对应$x$为落点距O点的距离。
根据题意：
① 当$h=2.5$时，$x=2.5$，$y=0$，代入得：
$0=a×(2.5)^2 + b×2.5 + 2.5$，化简得：$5a+2b+2=0$ --- (1)
② 当$h=4$时，$x=3$，$y=0$，代入得：
$0=a×3^2 + b×3 + 4$，化简得：$9a+3b+4=0$ --- (2)
联立(1)(2)解方程组：
将(1)×3得：$15a+6b+6=0$，(2)×2得：$18a+6b+8=0$
两式相减得：$3a+2=0$，解得$a=-\frac{2}{3}$
把$a=-\frac{2}{3}$代入(1)得：$5×(-\frac{2}{3}) +2b +2=0$，解得$b=\frac{2}{3}$
当落点距O点4m时，即$x=4$，$y=0$，代入解析式：
$0=-\frac{2}{3}×4^2 + \frac{2}{3}×4 + h$
计算得：$0=-\frac{32}{3}+\frac{8}{3}+h$，即$0=-8+h$，解得$h=8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数平移性质；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是抓住抛物线竖直平移时仅常数项改变的特点，通过已知条件求出函数系数，再代入求解未知量，贴合生活实际，能锻炼学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
9. (★★)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-h)^2+k$,其中x(单位:m)是水柱距喷水头的水平距离,y(单位:m)是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3 m.身高1.6 m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3 m.身高1.6 m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.
答案
解：
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(5, 3.2)$，
将$h=5$，$k=3.2$代入$y=a(x-h)^2+k$，得$y=a(x-5)^2+3.2$。
将点$P(0, 0.7)$代入上式，得：
$0.7 = a(0-5)^2 + 3.2$
解得$a=-0.1$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-5)^2+3.2$（或整理为$y=-0.1x^2+x+0.7$）。
(2) 当$y=1.6$时，代入解析式得：
$1.6 = -0.1(x-5)^2 + 3.2$
整理得$(x-5)^2=16$，
解得$x_1=1$，$x_2=9$。
已知爸爸所在位置对应的水平距离为$x=3$，
则小红与爸爸的水平距离为$|3-1|=2\ \mathrm{m}$或$|9-3|=6\ \mathrm{m}$。
答：她与爸爸的水平距离为2 m或6 m。
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(5, 3.2)$，
将$h=5$，$k=3.2$代入$y=a(x-h)^2+k$，得$y=a(x-5)^2+3.2$。
将点$P(0, 0.7)$代入上式，得：
$0.7 = a(0-5)^2 + 3.2$
解得$a=-0.1$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-5)^2+3.2$（或整理为$y=-0.1x^2+x+0.7$）。
(2) 当$y=1.6$时，代入解析式得：
$1.6 = -0.1(x-5)^2 + 3.2$
整理得$(x-5)^2=16$，
解得$x_1=1$，$x_2=9$。
已知爸爸所在位置对应的水平距离为$x=3$，
则小红与爸爸的水平距离为$|3-1|=2\ \mathrm{m}$或$|9-3|=6\ \mathrm{m}$。
答：她与爸爸的水平距离为2 m或6 m。
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式时，题目已给出顶点式形式，首先根据“水柱在距喷水头水平距离5m处最高，高3.2m”确定抛物线顶点坐标为$(5,3.2)$，即可得到$h$、$k$的值，得到含参数$a$的解析式；再将喷水头$P(0,0.7)$代入解析式，求解得到$a$的值即可确定完整解析式。
(2) 小红头顶接触水柱时，水柱高度等于小红身高1.6m，即$y=1.6$，将其代入已求得的解析式中，解一元二次方程得到对应的两个$x$值；已知爸爸所在位置对应$x=3$，水平距离为两点横坐标差的绝对值，分别计算两个$x$与3的差值的绝对值即可得到结果，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(5, 3.2)$，
将$h=5$，$k=3.2$代入$y=a(x-h)^2+k$，得$y=a(x-5)^2+3.2$。
将点$P(0, 0.7)$代入上式，得：
$0.7 = a(0-5)^2 + 3.2$
解得$a=-0.1$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-5)^2+3.2$（或整理为$y=-0.1x^2+x+0.7$）。
(2) 当$y=1.6$时，代入解析式得：
$1.6 = -0.1(x-5)^2 + 3.2$
整理得$(x-5)^2=16$，
解得$x_1=1$，$x_2=9$。
已知爸爸所在位置对应的水平距离为$x=3$，
则小红与爸爸的水平距离为$|3-1|=2\ \mathrm{m}$或$|9-3|=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-0.1(x-5)^2+3.2$（或$y=-0.1x^2+x+0.7$）
(2) 2 m或6 m
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数实际应用；一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确获取题干中的坐标信息确定函数解析式，再结合实际条件代入求解，计算水平距离时要注意结果为非负数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式时，题目已给出顶点式形式，首先根据“水柱在距喷水头水平距离5m处最高，高3.2m”确定抛物线顶点坐标为$(5,3.2)$，即可得到$h$、$k$的值，得到含参数$a$的解析式；再将喷水头$P(0,0.7)$代入解析式，求解得到$a$的值即可确定完整解析式。
(2) 小红头顶接触水柱时，水柱高度等于小红身高1.6m，即$y=1.6$，将其代入已求得的解析式中，解一元二次方程得到对应的两个$x$值；已知爸爸所在位置对应$x=3$，水平距离为两点横坐标差的绝对值，分别计算两个$x$与3的差值的绝对值即可得到结果，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(5, 3.2)$，
将$h=5$，$k=3.2$代入$y=a(x-h)^2+k$，得$y=a(x-5)^2+3.2$。
将点$P(0, 0.7)$代入上式，得：
$0.7 = a(0-5)^2 + 3.2$
解得$a=-0.1$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-5)^2+3.2$（或整理为$y=-0.1x^2+x+0.7$）。
(2) 当$y=1.6$时，代入解析式得：
$1.6 = -0.1(x-5)^2 + 3.2$
整理得$(x-5)^2=16$，
解得$x_1=1$，$x_2=9$。
已知爸爸所在位置对应的水平距离为$x=3$，
则小红与爸爸的水平距离为$|3-1|=2\ \mathrm{m}$或$|9-3|=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-0.1(x-5)^2+3.2$（或$y=-0.1x^2+x+0.7$）
(2) 2 m或6 m
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数实际应用；一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确获取题干中的坐标信息确定函数解析式，再结合实际条件代入求解，计算水平距离时要注意结果为非负数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
