知识建构

填空：
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
⑩

解：
① 直线$x=-\dfrac{b}{2a}$
② $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
③ 向上
④ 最低点
⑤ 减小
⑥ 增大
⑦ 向下
⑧ 最高点
⑨ 增大
⑩ 减小

【分析】
这道题考查二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的基本图象与性质，解题时先回忆二次函数一般式的相关结论，按图象特征、$a＞0$时的性质、$a＜0$时的性质三类逐一对应填空即可：第一步先回忆对称轴和顶点坐标的公式填①②；第二步根据$a$的正负判断开口方向、顶点是最高点还是最低点，再结合对称轴两侧的增减性规律填剩下的空。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 图象相关：它的图象是抛物线，对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$，将$x=-\dfrac{b}{2a}$代入函数计算得$y=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，因此顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$，对应①②的答案；
2. 当$a＞0$时：抛物线开口向上，此时顶点是整个抛物线的最低点；在对称轴左侧（即$x＜-\dfrac{b}{2a}$时），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（即$x＞-\dfrac{b}{2a}$时），$y$随$x$的增大而增大，对应③~⑥的答案；
3. 当$a＜0$时：抛物线开口向下，此时顶点是整个抛物线的最高点；在对称轴左侧（即$x＜-\dfrac{b}{2a}$时），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（即$x＞-\dfrac{b}{2a}$时），$y$随$x$的增大而减小，对应⑦~⑩的答案。
【答案】
① 直线$x=-\dfrac{b}{2a}$
② $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
③ 向上
④ 最低点
⑤ 减小
⑥ 增大
⑦ 向下
⑧ 最高点
⑨ 增大
⑩ 减小
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的顶点与对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础性质的考察，相关结论是学习二次函数的核心基础，既要求准确记忆公式和性质规律，也需要理解性质推导的逻辑，为后续解决二次函数综合题、实际应用类问题打好基础。
【难度系数】
0.9

1. (★)有下列函数:①$y=1-x^2$;②$y=\frac{2}{x^2}$;③$y=x(x-3)$;④$y=ax^2+bx+c$;⑤$y=2x+1$. 其中是二次函数的有
【 】

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

【分析】
要判断给定函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需满足三个条件：①是整式函数；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们逐一对照这三个条件判断每个函数即可。
【解析】
我们逐个分析所给函数：
1. 对于①$y=1-x^2$，整理得$y=-x^2+1$，符合二次函数定义，是二次函数；
2. 对于②$y=\frac{2}{x^2}$，右侧是分式，不是整式，不符合二次函数是整式函数的要求，不是二次函数；
3. 对于③$y=x(x-3)$，展开得$y=x^2-3x$，符合二次函数定义，是二次函数；
4. 对于④$y=ax^2+bx+c$，没有说明$a≠0$，若$a=0$则函数最高次不是2，因此不能确定是二次函数；
5. 对于⑤$y=2x+1$，自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数。
综上，是二次函数的有①和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是熟记二次函数的判定条件，尤其要注意形如$y=ax^2+bx+c$的函数，必须明确二次项系数$a≠0$才属于二次函数，同时要注意区分整式函数和分式函数，避免误判。
【难度系数】
0.7

2. (★)如图,已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ (a≠0).

(1)①该抛物线开口向,对称轴为.
②当x＜1时,y随x的增大而.
③若点$ (4,y_1),(2,y_2),(-2,y_3) $在该抛物线上,则$ y_1,y_2,y_3 $的大小关系为.
(2)①a0, b0, c0, abc0.
②$ a - b + c $0, $ 4a + 2b + c $0.
③y的最大值为.
(3)①$ b^2 - 4ac $0.
②若已知抛物线过点$ (-\frac{1}{2},0) $,关于x的一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $的解为,关于x的不等式$ ax^2 + bx + c ＜ 0 $的解集为.

解：
(1)① 下；直线$x=1$
② 增大
③ $y_2＞y_1=y_3$
(2)① $＜$；$＞$；$＞$；$＜$
② $＜$；$＞$
③ $a+b+c$（即$x=1$时的函数值）
(3)① $＞$
② $x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{5}{2}$；$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞\frac{5}{2}$

【分析】
本题考查二次函数的图像与性质，解题时可结合图像特征逐步分析：
1. 先观察图像的开口方向、对称轴，利用二次函数增减性判断y随x的变化规律；比较函数值大小时，利用二次函数的对称性，计算各点到对称轴的距离，开口向下时距离对称轴越近，函数值越大。
2. 判断系数符号时：a由开口方向决定，b结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$判断，c由抛物线与y轴的交点位置判断；$a-b+c$、$4a+2b+c$这类式子可理解为x取特定值时的函数值，结合图像上对应x处的点的位置判断符号；最大值就是顶点处的函数值，即$x=1$时的y值。
3. 判别式符号由抛物线与x轴的交点个数决定；一元二次方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标，利用对称性可由一个根求出另一个根；不等式的解集对应抛物线在x轴下方时x的取值范围。
【解析】
(1)① 由图像可直接观察到抛物线开口向下，对称轴为标注的虚线直线$x=1$；
② 抛物线开口向下时，在对称轴左侧（$x＜1$），y随x的增大而增大；
③ 计算三个点到对称轴$x=1$的距离：点$(2,y_2)$距离为1，点$(4,y_1)$和$(-2,y_3)$距离均为3；开口向下时，到对称轴距离越小函数值越大，距离相等则函数值相等，因此$y_2＞y_1=y_3$。
(2)① 开口向下故$a＜0$；由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$得$b=-2a$，a为负则$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴故$c＞0$，因此$abc＜0$；
② $a-b+c$是$x=-1$时的函数值，$x=-1$时抛物线上的点在x轴下方，故$a-b+c＜0$；$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，$x=2$时抛物线上的点在x轴上方，故$4a+2b+c＞0$；
③ 抛物线开口向下，顶点处取最大值，顶点横坐标为1，代入解析式得最大值为$a+b+c$。
(3)① 抛物线与x轴有2个交点，对应一元二次方程有两个不等实根，故$b^2-4ac＞0$；
② 方程的解为抛物线与x轴交点的横坐标，已知一个根为$-\frac{1}{2}$，两根关于对称轴$x=1$对称，解得另一根为$\frac{5}{2}$；不等式$ax^2+bx+c＜0$对应抛物线在x轴下方的部分，即$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)① 下；直线$x=1$
② 增大
③ $y_2＞y_1=y_3$
(2)① $＜$；$＞$；$＞$；$＜$
② $＜$；$＞$
③ $a+b+c$（即$x=1$时的函数值）
(3)① $＞$
② $x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{5}{2}$；$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞\frac{5}{2}$
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数基础常考题，将函数解析式、图像、方程、不等式相结合，核心是掌握二次函数图像特征与性质的对应关系，运用数形结合思想即可快速求解。
【难度系数】
0.8