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1. 若关于$x$的方程$2(x-1)-6=0$与$1-\dfrac{3a-x}{3}=0$的解互为相反数，则$a$的值为(
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{7}{3}$
D.$-1$
A
).A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{7}{3}$
D.$-1$
答案
1. A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先求解不含参数的方程$2(x-1)-6=0$，得到它的解；第二步根据“两个方程的解互为相反数”的条件，求出第二个方程的解；第三步将第二个方程的解代入$1-\dfrac{3a-x}{3}=0$，得到关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 求解方程$2(x-1)-6=0$：
去括号得：$2x - 2 - 6 = 0$
合并同类项得：$2x - 8 = 0$
移项得：$2x = 8$
系数化为1得：$x = 4$
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$1-\dfrac{3a-x}{3}=0$的解为$x = -4$
3. 将$x=-4$代入$1-\dfrac{3a-x}{3}=0$得：
$1 - \dfrac{3a - (-4)}{3} = 0$
整理得：$1 = \dfrac{3a + 4}{3}$
两边同时乘3得：$3 = 3a + 4$
移项得：$3a = 3 - 4$
合并同类项得：$3a = -1$
系数化为1得：$a = -\dfrac{1}{3}$
【答案】
A
【知识点】
解一元一次方程；相反数的定义；一元一次方程的解
【点评】
本题核心是利用方程解的性质和相反数的关系求解参数，解题时先求已知方程的解，再代入含参方程计算即可，解题过程注意去括号、移项的符号问题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步先求解不含参数的方程$2(x-1)-6=0$，得到它的解；第二步根据“两个方程的解互为相反数”的条件，求出第二个方程的解；第三步将第二个方程的解代入$1-\dfrac{3a-x}{3}=0$，得到关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 求解方程$2(x-1)-6=0$：
去括号得：$2x - 2 - 6 = 0$
合并同类项得：$2x - 8 = 0$
移项得：$2x = 8$
系数化为1得：$x = 4$
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$1-\dfrac{3a-x}{3}=0$的解为$x = -4$
3. 将$x=-4$代入$1-\dfrac{3a-x}{3}=0$得：
$1 - \dfrac{3a - (-4)}{3} = 0$
整理得：$1 = \dfrac{3a + 4}{3}$
两边同时乘3得：$3 = 3a + 4$
移项得：$3a = 3 - 4$
合并同类项得：$3a = -1$
系数化为1得：$a = -\dfrac{1}{3}$
【答案】
A
【知识点】
解一元一次方程；相反数的定义；一元一次方程的解
【点评】
本题核心是利用方程解的性质和相反数的关系求解参数，解题时先求已知方程的解，再代入含参方程计算即可，解题过程注意去括号、移项的符号问题。
【难度系数】
0.8
2. 关于$x$的方程$(m - 1)x = 1$的解(
A.$x=\frac{1}{m - 1}$
B.当$m≠1$时，$x=\frac{1}{m - 1}$；当$m=1$时，方程无解
C.无解
D.不能确定
B
).A.$x=\frac{1}{m - 1}$
B.当$m≠1$时，$x=\frac{1}{m - 1}$；当$m=1$时，方程无解
C.无解
D.不能确定
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道含参数的一元一次方程求解问题，解题时需要分情况讨论一次项系数的取值：首先要明确，当方程的一次项系数不为0时，可以通过等式两边同时除以系数得到方程的解；当一次项系数为0时，需要判断等式左右两边是否相等，若不相等则方程无解，以此来确定不同情况下方程的解的情况。
【解析】
解本题需分两种情况讨论：
1. 当$m-1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$时，方程两边同时除以$(m-1)$，可得方程的解为$x=\frac{1}{m-1}$；
2. 当$m-1 = 0$，即$m = 1$时，原方程左边为$0 × x = 0$，右边为$1$，$0 ≠ 1$，等式不成立，此时方程无解。
综上，当$m≠1$时，$x=\frac{1}{m - 1}$；当$m=1$时，方程无解，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
含参一元一次方程求解；方程解的判定；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略一次项系数为0的情况，直接两边除以系数错选A，解题时要注意对参数的不同取值分类讨论，不要漏项。
【难度系数】
0.7
这是一道含参数的一元一次方程求解问题，解题时需要分情况讨论一次项系数的取值：首先要明确，当方程的一次项系数不为0时，可以通过等式两边同时除以系数得到方程的解；当一次项系数为0时，需要判断等式左右两边是否相等，若不相等则方程无解，以此来确定不同情况下方程的解的情况。
【解析】
解本题需分两种情况讨论：
1. 当$m-1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$时，方程两边同时除以$(m-1)$，可得方程的解为$x=\frac{1}{m-1}$；
2. 当$m-1 = 0$，即$m = 1$时，原方程左边为$0 × x = 0$，右边为$1$，$0 ≠ 1$，等式不成立，此时方程无解。
综上，当$m≠1$时，$x=\frac{1}{m - 1}$；当$m=1$时，方程无解，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
含参一元一次方程求解；方程解的判定；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略一次项系数为0的情况，直接两边除以系数错选A，解题时要注意对参数的不同取值分类讨论，不要漏项。
【难度系数】
0.7
二、填空题
3. 已知 $ y_1 = 3x + 2, y_2 = 4 - x $，若 $ y_1 - y_2 = 4 $，则 $ x $ 的值为
3. 已知 $ y_1 = 3x + 2, y_2 = 4 - x $，若 $ y_1 - y_2 = 4 $，则 $ x $ 的值为
1.5
。答案
3. 1.5
解析
【分析】
解题时可根据题目给出的等量关系列方程求解：首先将$y_1$、$y_2$的表达式代入$y_1 - y_2 = 4$中，得到关于$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤逐步计算，就能求出$x$的值。
【解析】
已知$y_1 = 3x + 2$，$y_2 = 4 - x$，且$y_1 - y_2 = 4$，将$y_1$、$y_2$代入等式得：
$(3x + 2) - (4 - x) = 4$
去括号得：
$3x + 2 - 4 + x = 4$
合并同类项得：
$4x - 2 = 4$
移项得：
$4x = 4 + 2$
即$4x = 6$，系数化为1得：
$x = 6 ÷ 4 = 1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
1. 代数式代入
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础运算题，核心考察根据等量关系列方程的能力和解一元一次方程的基本技能，熟练掌握去括号、移项、合并同类项等操作即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时可根据题目给出的等量关系列方程求解：首先将$y_1$、$y_2$的表达式代入$y_1 - y_2 = 4$中，得到关于$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤逐步计算，就能求出$x$的值。
【解析】
已知$y_1 = 3x + 2$，$y_2 = 4 - x$，且$y_1 - y_2 = 4$，将$y_1$、$y_2$代入等式得：
$(3x + 2) - (4 - x) = 4$
去括号得：
$3x + 2 - 4 + x = 4$
合并同类项得：
$4x - 2 = 4$
移项得：
$4x = 4 + 2$
即$4x = 6$，系数化为1得：
$x = 6 ÷ 4 = 1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
1. 代数式代入
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础运算题，核心考察根据等量关系列方程的能力和解一元一次方程的基本技能，熟练掌握去括号、移项、合并同类项等操作即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 现定义一种新运算：对于任意有理数$a$，$b$，$c$，$d$，$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$. 若对于未知数$x$，$\begin{vmatrix} 2 & x \\ 3 & x+1 \end{vmatrix}=3$，则未知数$x=$ ______ .
答案
4. -1
解析
【分析】
首先要准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的运算结果为对角线上元素乘积的差，即左上角与右下角元素的乘积减去右上角与左下角元素的乘积。接下来只需将题目中对应位置的数值和含x的式子代入该规则，就能得到一个关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解，即可得到x的值。
【解析】
根据新运算的定义可得：
$\begin{vmatrix}2&x\\3&x+1\end{vmatrix}=2(x+1)-3x=3$
展开括号：$2x + 2 - 3x = 3$
合并同类项：$-x + 2 = 3$
移项：$-x = 3 - 2$
计算得：$-x = 1$
系数化为1：$x = -1$
【答案】
-1
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心是快速提取新运算的规则，将陌生的行列式形式转化为熟悉的一元一次方程，再按常规解方程步骤求解即可，主要考查信息转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先要准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的运算结果为对角线上元素乘积的差，即左上角与右下角元素的乘积减去右上角与左下角元素的乘积。接下来只需将题目中对应位置的数值和含x的式子代入该规则，就能得到一个关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解，即可得到x的值。
【解析】
根据新运算的定义可得：
$\begin{vmatrix}2&x\\3&x+1\end{vmatrix}=2(x+1)-3x=3$
展开括号：$2x + 2 - 3x = 3$
合并同类项：$-x + 2 = 3$
移项：$-x = 3 - 2$
计算得：$-x = 1$
系数化为1：$x = -1$
【答案】
-1
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心是快速提取新运算的规则，将陌生的行列式形式转化为熟悉的一元一次方程，再按常规解方程步骤求解即可，主要考查信息转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
5. 若关于$x$的方程$ax + 3 = 2x - 1$的解为正整数，则所有满足条件的整数$a$的值为________.
答案
5. -2或0或1
解析
【分析】
本题是含参数的一元一次方程求整数参数的问题，解题思路如下：首先把参数a当作已知常数，按照一元一次方程的常规解法，通过移项、合并同类项，用含a的代数式表示出方程的解x；再根据“解为正整数、a为整数”的条件，可知x的表达式中分母是分子的正约数，由此列出分母的所有可能取值，进而求出对应的a值即可，注意要保证x的系数不为0，否则方程无解。
【解析】
解方程 $ax + 3 = 2x - 1$：
1. 移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得：
$ax - 2x = -1 - 3$
2. 合并同类项，得：
$(a - 2)x = -4$
3. 当$a ≠ 2$时（若$a=2$，方程左边为0，右边为-4，等式不成立，方程无解），系数化为1，得：
$x = \frac{-4}{a - 2} = \frac{4}{2 - a}$
因为方程的解x是正整数，且a是整数，所以$2 - a$是4的正约数。
4的正约数有1、2、4，分情况计算：
① 若$2 - a = 1$，解得$a = 1$，此时$x = 4$，是正整数，符合要求；
② 若$2 - a = 2$，解得$a = 0$，此时$x = 2$，是正整数，符合要求；
③ 若$2 - a = 4$，解得$a = -2$，此时$x = 1$，是正整数，符合要求。
综上，满足条件的整数a的值为-2、0、1。
【答案】
-2或0或1
【知识点】
一元一次方程解法，含参一元一次方程，整数解求解
【点评】
本题是含参一元一次方程整数解的常考题型，解题核心是先将参数视为已知数求出方程的解，再结合解的限制条件反推参数的取值，解题时需注意排除使方程无解的参数值，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
本题是含参数的一元一次方程求整数参数的问题，解题思路如下：首先把参数a当作已知常数，按照一元一次方程的常规解法，通过移项、合并同类项，用含a的代数式表示出方程的解x；再根据“解为正整数、a为整数”的条件，可知x的表达式中分母是分子的正约数，由此列出分母的所有可能取值，进而求出对应的a值即可，注意要保证x的系数不为0，否则方程无解。
【解析】
解方程 $ax + 3 = 2x - 1$：
1. 移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得：
$ax - 2x = -1 - 3$
2. 合并同类项，得：
$(a - 2)x = -4$
3. 当$a ≠ 2$时（若$a=2$，方程左边为0，右边为-4，等式不成立，方程无解），系数化为1，得：
$x = \frac{-4}{a - 2} = \frac{4}{2 - a}$
因为方程的解x是正整数，且a是整数，所以$2 - a$是4的正约数。
4的正约数有1、2、4，分情况计算：
① 若$2 - a = 1$，解得$a = 1$，此时$x = 4$，是正整数，符合要求；
② 若$2 - a = 2$，解得$a = 0$，此时$x = 2$，是正整数，符合要求；
③ 若$2 - a = 4$，解得$a = -2$，此时$x = 1$，是正整数，符合要求。
综上，满足条件的整数a的值为-2、0、1。
【答案】
-2或0或1
【知识点】
一元一次方程解法，含参一元一次方程，整数解求解
【点评】
本题是含参一元一次方程整数解的常考题型，解题核心是先将参数视为已知数求出方程的解，再结合解的限制条件反推参数的取值，解题时需注意排除使方程无解的参数值，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
6. 解下列方程：
(1) $\frac{5(x + 5)}{6} - \frac{x - 1}{12} = 5$；
(2) $x - \frac{1}{6}[12 - 6(\frac{3}{5}x + 1)] = \frac{3}{7}x - 2$；
(3) $\frac{5 - 0.1x}{1.2} - \frac{x - 0.1}{2.4} = 1$；
(4) $\frac{0.2(0.2 - x)}{0.01} + 1.2x = 0.12 + 20x$。
6. 解下列方程：
(1) $\frac{5(x + 5)}{6} - \frac{x - 1}{12} = 5$；
(2) $x - \frac{1}{6}[12 - 6(\frac{3}{5}x + 1)] = \frac{3}{7}x - 2$；
(3) $\frac{5 - 0.1x}{1.2} - \frac{x - 0.1}{2.4} = 1$；
(4) $\frac{0.2(0.2 - x)}{0.01} + 1.2x = 0.12 + 20x$。
答案
$6. (1) x=1 (2) x=-\dfrac{35}{41} (3) x=\dfrac{77}{12} (4) x=\dfrac{1}{10}$
解析
【分析】
解一元一次方程的通用步骤为：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。解题时注意：①去分母时要给方程两边所有项都乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；②去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号；③若分母是小数，可先利用分数的基本性质将分母化为整数再计算，降低计算错误率。我们按照这个思路逐个求解4个方程即可。
【解析】
(1) $\dfrac{5(x + 5)}{6} - \dfrac{x - 1}{12} = 5$
解：去分母，两边同乘12，得：
$10(x+5)-(x-1)=60$
去括号，得：
$10x + 50 - x + 1 = 60$
合并同类项，得：
$9x + 51 = 60$
移项，得：
$9x = 60 - 51$
$9x = 9$
系数化为1，得：
$x=1$
(2) $x - \dfrac{1}{6}[12 - 6(\dfrac{3}{5}x + 1)] = \dfrac{3}{7}x - 2$
解：先去小括号，得：
$x - \dfrac{1}{6}[12 - \dfrac{18}{5}x - 6] = \dfrac{3}{7}x - 2$
合并中括号内的常数项，得：
$x - \dfrac{1}{6}(6 - \dfrac{18}{5}x) = \dfrac{3}{7}x - 2$
去中括号，得：
$x - 1 + \dfrac{3}{5}x = \dfrac{3}{7}x - 2$
合并左边同类项，得：
$\dfrac{8}{5}x - 1 = \dfrac{3}{7}x - 2$
移项，得：
$\dfrac{8}{5}x - \dfrac{3}{7}x = -2 + 1$
通分计算，得：
$\dfrac{56}{35}x - \dfrac{15}{35}x = -1$
$\dfrac{41}{35}x = -1$
系数化为1，得：
$x=-\dfrac{35}{41}$
(3) $\dfrac{5 - 0.1x}{1.2} - \dfrac{x - 0.1}{2.4} = 1$
解：去分母，两边同乘2.4，得：
$2(5 - 0.1x) - (x - 0.1) = 2.4$
去括号，得：
$10 - 0.2x - x + 0.1 = 2.4$
合并同类项，得：
$10.1 - 1.2x = 2.4$
移项，得：
$-1.2x = 2.4 - 10.1$
$-1.2x = -7.7$
系数化为1，得：
$x=\dfrac{7.7}{1.2}=\dfrac{77}{12}$
(4) $\dfrac{0.2(0.2 - x)}{0.01} + 1.2x = 0.12 + 20x$
解：利用分数基本性质，将左边第一项分母化为整数，分子分母同乘100，得：
$20(0.2 - x) + 1.2x = 0.12 + 20x$
去括号，得：
$4 - 20x + 1.2x = 0.12 + 20x$
合并同类项，得：
$4 - 18.8x = 0.12 + 20x$
移项，得：
$4 - 0.12 = 20x + 18.8x$
$3.88 = 38.8x$
系数化为1，得：
$x=\dfrac{3.88}{38.8}=\dfrac{1}{10}$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=-\dfrac{35}{41}$；(3) $x=\dfrac{77}{12}$；(4) $x=\dfrac{1}{10}$
【知识点】
一元一次方程解法、等式的基本性质、分数的基本性质
【点评】
这组题目覆盖了一元一次方程的常见考法，包括普通分母、多层括号、小数分母等不同形式的方程求解，核心是熟练掌握解方程的基本步骤，计算时要注意避免漏乘、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.7
解一元一次方程的通用步骤为：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。解题时注意：①去分母时要给方程两边所有项都乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；②去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号；③若分母是小数，可先利用分数的基本性质将分母化为整数再计算，降低计算错误率。我们按照这个思路逐个求解4个方程即可。
【解析】
(1) $\dfrac{5(x + 5)}{6} - \dfrac{x - 1}{12} = 5$
解：去分母，两边同乘12，得：
$10(x+5)-(x-1)=60$
去括号，得：
$10x + 50 - x + 1 = 60$
合并同类项，得：
$9x + 51 = 60$
移项，得：
$9x = 60 - 51$
$9x = 9$
系数化为1，得：
$x=1$
(2) $x - \dfrac{1}{6}[12 - 6(\dfrac{3}{5}x + 1)] = \dfrac{3}{7}x - 2$
解：先去小括号，得：
$x - \dfrac{1}{6}[12 - \dfrac{18}{5}x - 6] = \dfrac{3}{7}x - 2$
合并中括号内的常数项，得：
$x - \dfrac{1}{6}(6 - \dfrac{18}{5}x) = \dfrac{3}{7}x - 2$
去中括号，得：
$x - 1 + \dfrac{3}{5}x = \dfrac{3}{7}x - 2$
合并左边同类项，得：
$\dfrac{8}{5}x - 1 = \dfrac{3}{7}x - 2$
移项，得：
$\dfrac{8}{5}x - \dfrac{3}{7}x = -2 + 1$
通分计算，得：
$\dfrac{56}{35}x - \dfrac{15}{35}x = -1$
$\dfrac{41}{35}x = -1$
系数化为1，得：
$x=-\dfrac{35}{41}$
(3) $\dfrac{5 - 0.1x}{1.2} - \dfrac{x - 0.1}{2.4} = 1$
解：去分母，两边同乘2.4，得：
$2(5 - 0.1x) - (x - 0.1) = 2.4$
去括号，得：
$10 - 0.2x - x + 0.1 = 2.4$
合并同类项，得：
$10.1 - 1.2x = 2.4$
移项，得：
$-1.2x = 2.4 - 10.1$
$-1.2x = -7.7$
系数化为1，得：
$x=\dfrac{7.7}{1.2}=\dfrac{77}{12}$
(4) $\dfrac{0.2(0.2 - x)}{0.01} + 1.2x = 0.12 + 20x$
解：利用分数基本性质，将左边第一项分母化为整数，分子分母同乘100，得：
$20(0.2 - x) + 1.2x = 0.12 + 20x$
去括号，得：
$4 - 20x + 1.2x = 0.12 + 20x$
合并同类项，得：
$4 - 18.8x = 0.12 + 20x$
移项，得：
$4 - 0.12 = 20x + 18.8x$
$3.88 = 38.8x$
系数化为1，得：
$x=\dfrac{3.88}{38.8}=\dfrac{1}{10}$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=-\dfrac{35}{41}$；(3) $x=\dfrac{77}{12}$；(4) $x=\dfrac{1}{10}$
【知识点】
一元一次方程解法、等式的基本性质、分数的基本性质
【点评】
这组题目覆盖了一元一次方程的常见考法，包括普通分母、多层括号、小数分母等不同形式的方程求解，核心是熟练掌握解方程的基本步骤，计算时要注意避免漏乘、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.7
