7. 已知 $ p $，$ q $ 都是质数，并且关于 $ x $ 的一元一次方程 $ px + 5q = 97 $ 的解是 $ x = 1 $，求代数式 $ 40p + 101q + 27 $ 的值.

7. 2026

【分析】
首先根据方程解的定义，把x=1代入原方程，得到关于p、q的关系式p+5q=97。已知p、q都是质数，结合奇数和偶数的运算性质：奇数=奇数+偶数，质数中只有2是唯一的偶质数，因此分两种情况讨论p和q哪个为偶质数2，排除不符合质数要求的情况，即可得到p、q的正确取值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
解：把x=1代入方程$px + 5q = 97$，得：
$p + 5q = 97$
∵97是奇数，根据“奇数+偶数=奇数”，可知p和5q中必有一个是偶数，一个是奇数
又
∵质数中只有2是偶质数，分两种情况讨论：
①若p为偶数，则$p=2$，代入$p+5q=97$得：
$2 + 5q = 97$
解得$q=19$，19是质数，符合题意
②若5q为偶数，则$q=2$，代入$p+5q=97$得：
$p + 5×2 = 97$
解得$p=87$，$87=3×29$，不是质数，不符合题意，舍去
∴$p=2$，$q=19$
将$p=2$，$q=19$代入$40p + 101q + 27$得：
$40×2 + 101×19 + 27$
$=80 + 1919 + 27$
$=2026$
【答案】
2026
【知识点】
一元一次方程的解，质数的定义，奇偶性运算性质
【点评】
本题属于综合型基础题，解题的突破口是利用奇偶性分析结合唯一偶质数2的性质缩小取值范围，通过分类讨论排除不符合要求的取值，避免盲目枚举质数，提升解题效率。
【难度系数】
0.6

8. 将连续的自然数1到100按如图所示的方式排成一个长方形陈列，用一个正方形框出9个数，能否使这个正方形框出的9个数之和分别等于：(1) 160；(2) 162；(3) 495？并说明理由.

(1) 不可能 (2) 可能 (3) 不可能 理由略

【分析】
首先观察数阵排列规律：每行有5个连续自然数，相邻两行同一列的数相差5。框出的3×3共9个数中，中间数是9个数的平均数，我们设中间数为x，可表示出其余8个数，相加后可得9个数的总和为9x，即和一定是9的倍数。同时中间数需要满足两个位置要求：①列号为2、3、4（不能是每行第1个或第5个，否则左右没有足够的数框入）；②行号在2~19之间（上下要有足够的行框入），结合这两个条件逐一判断即可。
【解析】
解：设正方形框中间的数为$ x $，则框出的9个数之和为$ 9x $。
(1) 当和为160时：
$ 160÷9\approx17.78 $，结果不是整数，不符合总和为$ 9x $的特征，因此不可能框出和为160的9个数。
(2) 当和为162时：
列方程$ 9x=162 $，解得$ x=18 $。
18位于数阵第4行第3列，列号为3，行号为4，满足位置要求，因此可以框出和为162的9个数。
(3) 当和为495时：
列方程$ 9x=495 $，解得$ x=55 $。
55是5的倍数，位于数阵第11行第5列，列号为5，左侧没有足够的数可以框入，因此不可能框出和为495的9个数。
【答案】
(1) 不可能；(2) 可能；(3) 不可能
【知识点】
数阵规律探究，一元一次方程应用，整除性质
【点评】
本题解题核心是找到框出9个数的和与中间数的数量关系，易错点是容易忽略中间数的位置限制，仅通过和是9的倍数就判断可行，需要结合数阵的行列规则进一步验证。
【难度系数】
0.65