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一、选择题
1. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马$x$天可追上慢马，由题意得(
A.$\frac{x}{240} = \frac{x + 12}{150}$
B.$\frac{x}{240} = \frac{x}{150} - 12$
C.$240(x - 12) = 150x$
D.$240x = 150(x + 12)$
1. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马$x$天可追上慢马，由题意得(
D
)。A.$\frac{x}{240} = \frac{x + 12}{150}$
B.$\frac{x}{240} = \frac{x}{150} - 12$
C.$240(x - 12) = 150x$
D.$240x = 150(x + 12)$
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道行程类的追及问题，解题核心是找到追及时的等量关系：快马追上慢马时，两匹马行驶的总路程相等。我们可以先分别用含x的式子表示出快马和慢马行驶的总路程，再根据路程相等列方程，最后对应选项即可。
【解析】
设快马x天可追上慢马：
1. 计算快马行驶的总路程：快马速度为每天240里，行驶时间为x天，根据“路程=速度×时间”，总路程为$240x$里。
2. 计算慢马行驶的总路程：慢马先行12天，所以慢马一共行驶了$(x+12)$天，慢马速度为每天150里，总路程为$150(x+12)$里。
3. 追及时两匹马路程相等，因此可列方程：$240x = 150(x + 12)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 追及问题
3. 路程=速度×时间
【点评】
本题是行程追及问题的基础考法，解题关键是抓住追及状态下两者路程相等的核心等量关系，再结合行程基本公式表示出各对象的路程即可列出方程，是方程应用类的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的追及问题，解题核心是找到追及时的等量关系：快马追上慢马时，两匹马行驶的总路程相等。我们可以先分别用含x的式子表示出快马和慢马行驶的总路程，再根据路程相等列方程，最后对应选项即可。
【解析】
设快马x天可追上慢马：
1. 计算快马行驶的总路程：快马速度为每天240里，行驶时间为x天，根据“路程=速度×时间”，总路程为$240x$里。
2. 计算慢马行驶的总路程：慢马先行12天，所以慢马一共行驶了$(x+12)$天，慢马速度为每天150里，总路程为$150(x+12)$里。
3. 追及时两匹马路程相等，因此可列方程：$240x = 150(x + 12)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 追及问题
3. 路程=速度×时间
【点评】
本题是行程追及问题的基础考法，解题关键是抓住追及状态下两者路程相等的核心等量关系，再结合行程基本公式表示出各对象的路程即可列出方程，是方程应用类的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 一个长方形的周长为26 cm，若这个长方形的长减少2 cm，宽增加3 cm，就可以变成一个正方形. 设长方形的长为x cm，可列方程(
A.$x+2=(13-x)-3$
B.$x+2=(26-x)-3$
C.$x-2=(26-x)+3$
D.$x-2=(13-x)+3$
D
).A.$x+2=(13-x)-3$
B.$x+2=(26-x)-3$
C.$x-2=(26-x)+3$
D.$x-2=(13-x)+3$
答案
2. D
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先根据长方形周长公式求出宽的表达式：已知长方形周长=2×(长+宽)，周长为26cm，长为x cm，因此长+宽=13cm，即可推出宽为(13-x)cm；第二步找等量关系列方程：长减少2cm、宽增加3cm后变成正方形，正方形的四条边长相等，因此变化后的长=变化后的宽，代入对应的表达式即可得到方程。
【解析】
已知长方形的长为x cm，周长为26 cm，根据长方形周长公式可得：
长方形的宽 = 周长÷2 - 长 = $26÷2 - x = (13 - x)$ cm
根据题意，长减少2 cm后长度为$(x - 2)$ cm，宽增加3 cm后长度为$(13 - x + 3)$ cm，二者为正方形的边长，长度相等，因此可列方程：
$x - 2 = (13 - x) + 3$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用、长方形周长计算、正方形的性质
【点评】
本题是列一元一次方程的基础题型，解题核心是抓住"变化后为正方形，边长相等"这一等量关系，易错点是计算宽时忘记将周长除以2，直接用26减x得到宽，导致错选C。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先根据长方形周长公式求出宽的表达式：已知长方形周长=2×(长+宽)，周长为26cm，长为x cm，因此长+宽=13cm，即可推出宽为(13-x)cm；第二步找等量关系列方程：长减少2cm、宽增加3cm后变成正方形，正方形的四条边长相等，因此变化后的长=变化后的宽，代入对应的表达式即可得到方程。
【解析】
已知长方形的长为x cm，周长为26 cm，根据长方形周长公式可得：
长方形的宽 = 周长÷2 - 长 = $26÷2 - x = (13 - x)$ cm
根据题意，长减少2 cm后长度为$(x - 2)$ cm，宽增加3 cm后长度为$(13 - x + 3)$ cm，二者为正方形的边长，长度相等，因此可列方程：
$x - 2 = (13 - x) + 3$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用、长方形周长计算、正方形的性质
【点评】
本题是列一元一次方程的基础题型，解题核心是抓住"变化后为正方形，边长相等"这一等量关系，易错点是计算宽时忘记将周长除以2，直接用26减x得到宽，导致错选C。
【难度系数】
0.8
3. 汽车以72 km/h的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷. 驾驶员按一下喇叭，4 s后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340 m/s. 设听到回响时，汽车离山谷x m，根据题意，列出方程为(
A.$2x + 4 × 20 = 4 × 340$
B.$2x - 4 × 72 = 4 × 340$
C.$2x + 4 × 72 = 4 × 340$
D.$2x - 4 × 20 = 4 × 340$
A
).A.$2x + 4 × 20 = 4 × 340$
B.$2x - 4 × 72 = 4 × 340$
C.$2x + 4 × 72 = 4 × 340$
D.$2x - 4 × 20 = 4 × 340$
答案
3. A
解析
【分析】
解题首先要统一单位，将汽车速度的单位从km/h换算为m/s，再分析回声问题的等量关系：声音4秒传播的总路程等于按喇叭时汽车到山谷的距离加上听到回响时汽车到山谷的距离。已知听到回响时汽车离山谷x m，4秒内汽车向前行驶了一段距离，因此按喇叭时汽车到山谷的距离为x加上汽车4秒行驶的路程，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
第一步：统一单位，汽车速度$72\mathrm{km/h}=72× \frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}=20\mathrm{m/s}$。
第二步：计算相关路程，4s内汽车行驶的路程为$4× 20\mathrm{m}$，4s内声音传播的路程为$4× 340\mathrm{m}$。
第三步：找等量关系列方程：声音传播的总路程 = 听到回响时汽车到山谷的距离×2 + 汽车4s行驶的路程，代入得$2x + 4× 20 = 4× 340$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；单位换算
【点评】
本题是典型的回声类行程问题，解题的核心是理清声音传播路径对应的路程与汽车行驶路程、所求距离之间的数量关系，解题时需注意先统一单位，避免因单位不匹配选错选项。
【难度系数】
0.7
解题首先要统一单位，将汽车速度的单位从km/h换算为m/s，再分析回声问题的等量关系：声音4秒传播的总路程等于按喇叭时汽车到山谷的距离加上听到回响时汽车到山谷的距离。已知听到回响时汽车离山谷x m，4秒内汽车向前行驶了一段距离，因此按喇叭时汽车到山谷的距离为x加上汽车4秒行驶的路程，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
第一步：统一单位，汽车速度$72\mathrm{km/h}=72× \frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}=20\mathrm{m/s}$。
第二步：计算相关路程，4s内汽车行驶的路程为$4× 20\mathrm{m}$，4s内声音传播的路程为$4× 340\mathrm{m}$。
第三步：找等量关系列方程：声音传播的总路程 = 听到回响时汽车到山谷的距离×2 + 汽车4s行驶的路程，代入得$2x + 4× 20 = 4× 340$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；单位换算
【点评】
本题是典型的回声类行程问题，解题的核心是理清声音传播路径对应的路程与汽车行驶路程、所求距离之间的数量关系，解题时需注意先统一单位，避免因单位不匹配选错选项。
【难度系数】
0.7
4. 小明和妈妈今年的年龄之和为36岁，再过5年，妈妈的年龄比小明年龄4倍还大1岁，则小明今年的年龄为
4
岁。答案
4. 4
解析
【分析】
这是典型的年龄类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，设小明今年的年龄为未知数，根据两人今年的年龄和可表示出妈妈今年的年龄；第二步，明确再过5年，两人的年龄都各自增加5岁，分别写出5年后两人的年龄表达式；第三步，根据题目给出的“5年后妈妈的年龄比小明年龄4倍还大1岁”的等量关系列方程，最后求解并验证结果即可。
【解析】
解：设小明今年的年龄为$ x $岁，则妈妈今年的年龄为$ (36 - x) $岁。
再过5年，小明的年龄为$ (x + 5) $岁，妈妈的年龄为$ (36 - x + 5) = (41 - x) $岁。
根据题意可列方程：
$ 41 - x = 4(x + 5) + 1 $
展开右边得：$ 41 - x = 4x + 20 + 1 $
整理得：$ 41 - x = 4x + 21 $
移项得：$ 4x + x = 41 - 21 $
合并同类项得：$ 5x = 20 $
系数化为1得：$ x = 4 $
验证：今年小明4岁，妈妈32岁，5年后小明9岁，妈妈37岁，$ 4×9 +1 = 37 $，符合题意。
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程应用；年龄问题计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是抓住年龄同步增长的规律，准确提取题目中的等量关系列方程求解，计算量小，只要理清数量关系就很容易得分。
【难度系数】
0.8
这是典型的年龄类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，设小明今年的年龄为未知数，根据两人今年的年龄和可表示出妈妈今年的年龄；第二步，明确再过5年，两人的年龄都各自增加5岁，分别写出5年后两人的年龄表达式；第三步，根据题目给出的“5年后妈妈的年龄比小明年龄4倍还大1岁”的等量关系列方程，最后求解并验证结果即可。
【解析】
解：设小明今年的年龄为$ x $岁，则妈妈今年的年龄为$ (36 - x) $岁。
再过5年，小明的年龄为$ (x + 5) $岁，妈妈的年龄为$ (36 - x + 5) = (41 - x) $岁。
根据题意可列方程：
$ 41 - x = 4(x + 5) + 1 $
展开右边得：$ 41 - x = 4x + 20 + 1 $
整理得：$ 41 - x = 4x + 21 $
移项得：$ 4x + x = 41 - 21 $
合并同类项得：$ 5x = 20 $
系数化为1得：$ x = 4 $
验证：今年小明4岁，妈妈32岁，5年后小明9岁，妈妈37岁，$ 4×9 +1 = 37 $，符合题意。
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程应用；年龄问题计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是抓住年龄同步增长的规律，准确提取题目中的等量关系列方程求解，计算量小，只要理清数量关系就很容易得分。
【难度系数】
0.8
5. 若将底面直径为 10 dm、高为 8 dm 的圆柱体钢材，锻造成底面直径为 4 dm 的圆柱体钢材，则锻造后钢材高为
50
dm.答案
5. 50
解析
【分析】
本题属于等积变形类问题，解题核心是明确钢材锻造前后仅形状发生改变，体积始终保持不变。解题思路可分为三步：第一步回忆圆柱体积计算公式；第二步计算锻造前圆柱体钢材的体积；第三步根据体积相等，结合锻造后圆柱的底面积，求出锻造后的高度，也可通过设未知数列一元一次方程的方式求解。
【解析】
圆柱的体积公式为$V = π r^2 h$（其中$r$为底面半径，$h$为高）。
1. 计算锻造前圆柱的体积：
锻造前底面直径为10dm，因此半径$r_1=\frac{10}{2}=5\mathrm{dm}$，高$h_1=8\mathrm{dm}$，
体积$V_1=π r_1^2 h_1 = π × 5^2 × 8 = 200π \ \mathrm{dm}^3$。
2. 设锻造后钢材的高为$h_2$，锻造后底面直径为4dm，因此半径$r_2=\frac{4}{2}=2\mathrm{dm}$，
锻造后体积$V_2=π r_2^2 h_2 = π × 2^2 × h_2 = 4π h_2\ \mathrm{dm}^3$。
3. 根据锻造前后体积相等，即$V_1=V_2$，列等式：
$200π = 4π h_2$
两边同时除以$π$得：$200=4h_2$，解得$h_2=50$。
【答案】
50
【知识点】
1. 圆柱体积计算
2. 等积变形问题
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的几何类实际应用题，解题的关键是准确提取“形变体积不变”的核心等量关系，结合基础的圆柱体积公式即可顺利求解，主要考查对基础公式的掌握和等量关系的分析能力。
【难度系数】
0.8
本题属于等积变形类问题，解题核心是明确钢材锻造前后仅形状发生改变，体积始终保持不变。解题思路可分为三步：第一步回忆圆柱体积计算公式；第二步计算锻造前圆柱体钢材的体积；第三步根据体积相等，结合锻造后圆柱的底面积，求出锻造后的高度，也可通过设未知数列一元一次方程的方式求解。
【解析】
圆柱的体积公式为$V = π r^2 h$（其中$r$为底面半径，$h$为高）。
1. 计算锻造前圆柱的体积：
锻造前底面直径为10dm，因此半径$r_1=\frac{10}{2}=5\mathrm{dm}$，高$h_1=8\mathrm{dm}$，
体积$V_1=π r_1^2 h_1 = π × 5^2 × 8 = 200π \ \mathrm{dm}^3$。
2. 设锻造后钢材的高为$h_2$，锻造后底面直径为4dm，因此半径$r_2=\frac{4}{2}=2\mathrm{dm}$，
锻造后体积$V_2=π r_2^2 h_2 = π × 2^2 × h_2 = 4π h_2\ \mathrm{dm}^3$。
3. 根据锻造前后体积相等，即$V_1=V_2$，列等式：
$200π = 4π h_2$
两边同时除以$π$得：$200=4h_2$，解得$h_2=50$。
【答案】
50
【知识点】
1. 圆柱体积计算
2. 等积变形问题
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的几何类实际应用题，解题的关键是准确提取“形变体积不变”的核心等量关系，结合基础的圆柱体积公式即可顺利求解，主要考查对基础公式的掌握和等量关系的分析能力。
【难度系数】
0.8
6. 在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如需乙处工作的人数是甲处工作人数的$\frac{1}{3}$，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则列出方程是
$\frac{1}{3}(272+x)=196-x$
。答案
6. $\frac{1}{3}(272+x)=196-x$
解析
【分析】
这是人员调配类的一元一次方程应用题，解题核心是先明确调配后甲乙两处的人数，再根据题目给出的数量关系找等量关系列方程。首先设从乙处调x人到甲处，调配后甲处人数会增加x，乙处人数会减少x，再根据“乙处工作的人数是甲处工作人数的$\frac{1}{3}$”这一条件，即可列出等式。
【解析】
解：设应从乙处调x人到甲处。
1. 调配后甲处的人数：原有272人，调入x人，因此甲处现有$(272+x)$人；
2. 调配后乙处的人数：原有196人，调出x人，因此乙处现有$(196-x)$人；
3. 根据题意，调配后乙处人数是甲处人数的$\frac{1}{3}$，即甲处人数的$\frac{1}{3}$等于乙处人数，因此列方程得：
$\frac{1}{3}(272+x)=196-x$
【答案】
$\frac{1}{3}(272+x)=196-x$
【知识点】
一元一次方程应用、调配问题、等量关系建立
【点评】
本题是典型的调配类应用题，解题的关键是准确表示出调配后两个对象的数量，再抓住题干给出的比例类等量关系列方程，熟练掌握找等量关系的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是人员调配类的一元一次方程应用题，解题核心是先明确调配后甲乙两处的人数，再根据题目给出的数量关系找等量关系列方程。首先设从乙处调x人到甲处，调配后甲处人数会增加x，乙处人数会减少x，再根据“乙处工作的人数是甲处工作人数的$\frac{1}{3}$”这一条件，即可列出等式。
【解析】
解：设应从乙处调x人到甲处。
1. 调配后甲处的人数：原有272人，调入x人，因此甲处现有$(272+x)$人；
2. 调配后乙处的人数：原有196人，调出x人，因此乙处现有$(196-x)$人；
3. 根据题意，调配后乙处人数是甲处人数的$\frac{1}{3}$，即甲处人数的$\frac{1}{3}$等于乙处人数，因此列方程得：
$\frac{1}{3}(272+x)=196-x$
【答案】
$\frac{1}{3}(272+x)=196-x$
【知识点】
一元一次方程应用、调配问题、等量关系建立
【点评】
本题是典型的调配类应用题，解题的关键是准确表示出调配后两个对象的数量，再抓住题干给出的比例类等量关系列方程，熟练掌握找等量关系的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
