登录
三、解答题
7. 如图所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，容器内部底面积分别为80 cm²，100 cm²，且甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm.甲的容积为多少？
7. 如图所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，容器内部底面积分别为80 cm²，100 cm²，且甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm.甲的容积为多少？
答案
7. 3 200 cm³
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住“甲容器的水全部倒入乙容器，水的体积不变”这一等量关系。我们可以先设甲容器原先的水位高度为未知数，分别用含未知数的式子表示出甲容器中水的体积（即甲的容积）和倒入乙容器后水的体积，根据体积相等列方程求出甲的水位高度，再结合圆柱体积公式（体积=底面积×高）计算甲的容积即可。
【解析】
解：设甲容器原先的水位高度为$ x $ cm。
根据倒水前后水的体积不变，列方程：
$ 80x = 100(x - 8) $
展开得：$ 80x = 100x - 800 $
移项合并同类项得：$ 20x = 800 $
解得：$ x = 40 $
则甲的容积为：$ 80 × 40 = 3200 \, \mathrm{cm}^3 $
【答案】
$ 3200 \, \mathrm{cm}^3 $
【知识点】
一元一次方程的应用，圆柱体积计算
【点评】
本题属于基础的等积变形类应用题，解题的关键是找准倒水前后体积不变的等量关系，正确建立方程求解，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住“甲容器的水全部倒入乙容器，水的体积不变”这一等量关系。我们可以先设甲容器原先的水位高度为未知数，分别用含未知数的式子表示出甲容器中水的体积（即甲的容积）和倒入乙容器后水的体积，根据体积相等列方程求出甲的水位高度，再结合圆柱体积公式（体积=底面积×高）计算甲的容积即可。
【解析】
解：设甲容器原先的水位高度为$ x $ cm。
根据倒水前后水的体积不变，列方程：
$ 80x = 100(x - 8) $
展开得：$ 80x = 100x - 800 $
移项合并同类项得：$ 20x = 800 $
解得：$ x = 40 $
则甲的容积为：$ 80 × 40 = 3200 \, \mathrm{cm}^3 $
【答案】
$ 3200 \, \mathrm{cm}^3 $
【知识点】
一元一次方程的应用，圆柱体积计算
【点评】
本题属于基础的等积变形类应用题，解题的关键是找准倒水前后体积不变的等量关系，正确建立方程求解，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
8. 在一条笔直的公路上，甲、乙两人骑车分别从相距 500 m 的 A，B 两地同时出发，甲每分钟骑行 300 m，乙每分钟骑行 200 m.
（1）若甲、乙两人背向而行，则当两人相距 5 000 m 时，经过了多少分钟？
（2）若甲、乙两人相向而行，则当两人相距 5 000 m 时，经过了多少分钟？
（3）若甲、乙两人同向而行，则当两人相距 5 000 m 时，经过了多少分钟？
（1）若甲、乙两人背向而行，则当两人相距 5 000 m 时，经过了多少分钟？
（2）若甲、乙两人相向而行，则当两人相距 5 000 m 时，经过了多少分钟？
（3）若甲、乙两人同向而行，则当两人相距 5 000 m 时，经过了多少分钟？
答案
(1) 9 min
(2) 11 min
(3) 45 min 或 55 min
(2) 11 min
(3) 45 min 或 55 min
解析
【分析】
本题是行程类的一元一次方程应用题，核心解题依据为“路程=速度×时间”，结合不同运动方向下的路程关系列方程求解即可：
（1）背向而行时，两人距离持续增大，最终相距距离=初始距离+两人行驶的路程和，据此列方程；
（2）相向而行时，两人先相遇再远离，到相距5000m时，两人行驶的总路程和=初始距离+最终相距距离，据此列方程；
（3）同向而行时需分类讨论：①沿A→B方向行驶，甲在后乙在前，甲速度更快，最终甲超过乙5000m，此时甲比乙多走的路程=初始距离+最终相距距离；②沿B→A方向行驶，甲在前乙在后，甲速度更快，两人距离持续拉大，此时甲比乙多走的路程=最终相距距离-初始距离，分别列方程求解即可。
【解析】
设经过的时间为$ t $分钟。
（1）背向而行时，依题意列方程：
$ 500 + (300+200)t = 5000 $
化简得：$ 500t = 4500 $
解得：$ t=9 $
（2）相向而行时，依题意列方程：
$ (300+200)t = 500 + 5000 $
化简得：$ 500t = 5500 $
解得：$ t=11 $
（3）同向而行分两种情况：
情况1：两人沿A→B方向行驶，依题意列方程：
$ 300t - 200t = 500 + 5000 $
化简得：$ 100t = 5500 $
解得：$ t=55 $
情况2：两人沿B→A方向行驶，依题意列方程：
$ 300t - 200t = 5000 - 500 $
化简得：$ 100t = 4500 $
解得：$ t=45 $
综上，同向而行时经过45分钟或55分钟。
【答案】
（1）9 min；（2）11 min；（3）45 min 或 55 min
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；分类讨论
【点评】
本题重点考查不同运动状态下路程等量关系的梳理，易错点是同向行驶时容易遗漏其中一种行驶方向的情况，解题时要结合实际运动场景全面分析路程关系。
【难度系数】
0.6
本题是行程类的一元一次方程应用题，核心解题依据为“路程=速度×时间”，结合不同运动方向下的路程关系列方程求解即可：
（1）背向而行时，两人距离持续增大，最终相距距离=初始距离+两人行驶的路程和，据此列方程；
（2）相向而行时，两人先相遇再远离，到相距5000m时，两人行驶的总路程和=初始距离+最终相距距离，据此列方程；
（3）同向而行时需分类讨论：①沿A→B方向行驶，甲在后乙在前，甲速度更快，最终甲超过乙5000m，此时甲比乙多走的路程=初始距离+最终相距距离；②沿B→A方向行驶，甲在前乙在后，甲速度更快，两人距离持续拉大，此时甲比乙多走的路程=最终相距距离-初始距离，分别列方程求解即可。
【解析】
设经过的时间为$ t $分钟。
（1）背向而行时，依题意列方程：
$ 500 + (300+200)t = 5000 $
化简得：$ 500t = 4500 $
解得：$ t=9 $
（2）相向而行时，依题意列方程：
$ (300+200)t = 500 + 5000 $
化简得：$ 500t = 5500 $
解得：$ t=11 $
（3）同向而行分两种情况：
情况1：两人沿A→B方向行驶，依题意列方程：
$ 300t - 200t = 500 + 5000 $
化简得：$ 100t = 5500 $
解得：$ t=55 $
情况2：两人沿B→A方向行驶，依题意列方程：
$ 300t - 200t = 5000 - 500 $
化简得：$ 100t = 4500 $
解得：$ t=45 $
综上，同向而行时经过45分钟或55分钟。
【答案】
（1）9 min；（2）11 min；（3）45 min 或 55 min
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；分类讨论
【点评】
本题重点考查不同运动状态下路程等量关系的梳理，易错点是同向行驶时容易遗漏其中一种行驶方向的情况，解题时要结合实际运动场景全面分析路程关系。
【难度系数】
0.6
8人在距离火车站15 km的地方出发赶往火车站，此时离火车停止检票时间还有42 min，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘5人，这辆小汽车的平均速度为60 km/h，这8人能赶上火车吗？（假设人的步行速度为5 km/h，忽略从火车站口到检票口的时间）
答案
探究与思考 提示：汽车在送第一批人的同时其他人先步行，可以节省时间
解析
【分析】
要判断8人能否赶上火车，需先找到最节省时间的接送方案：汽车先送第一批4人（除司机外限载4名乘客）前往火车站，同时剩下的4人步行前进；汽车将第一批人送到后立即返回接步行的第二批人，再送第二批人到火车站。我们只需按这个最优方案分步计算总耗时，再和42分钟对比即可得出结论。
【解析】
首先统一单位：42 min = $\frac{42}{60}$ = 0.7 h
1. 计算送第一批人到车站的时间及第二批人步行路程
汽车送第一批人到车站的时间：$t_1=\frac{s}{v_车}=\frac{15}{60}=0.25\ \mathrm{h}=15\ \mathrm{min}$
这段时间第二批人步行的路程：$s_1=v_人× t_1=5×0.25=1.25\ \mathrm{km}$
此时第二批人距离车站的路程：$s_剩=15-1.25=13.75\ \mathrm{km}$
2. 计算汽车返回和第二批人相遇的时间
汽车返回与步行的人是相向而行的相遇问题，速度和为$v_车+v_人=60+5=65\ \mathrm{km/h}$
相遇时间：$t_2=\frac{s_剩}{v_和}=\frac{13.75}{65}\approx0.2115\ \mathrm{h}\approx12.7\ \mathrm{min}$
相遇时第二批人又步行的路程：$s_2=v_人× t_2\approx5×0.2115\approx1.06\ \mathrm{km}$
此时第二批人距离车站的路程：$s_剩'=13.75-1.06\approx12.69\ \mathrm{km}$
3. 计算汽车送第二批人到车站的时间
$t_3=\frac{s_剩'}{v_车}\approx\frac{12.69}{60}\approx0.2115\ \mathrm{h}\approx12.7\ \mathrm{min}$
总用时：$t_总=t_1+t_2+t_3\approx0.25+0.2115+0.2115\approx0.673\ \mathrm{h}\approx40.4\ \mathrm{min}$
因为$40.4\ \mathrm{min}＜42\ \mathrm{min}$，所以8人能赶上火车。
【答案】
这8人能赶上火车，采用汽车送第一批人的同时剩余人员步行、汽车送完第一批后返回接第二批人的方案即可，总用时约40.4分钟，小于42分钟。
【知识点】
行程问题计算、相遇问题、最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际考查行程问题的应用，解题的核心是打破“等待乘车的人原地不动”的思维定式，想到让未乘车的人先步行缩短总路程，从而节省总时间，再通过分步计算各段时间求和，和限定时间对比即可得到结论。
【难度系数】
0.6
要判断8人能否赶上火车，需先找到最节省时间的接送方案：汽车先送第一批4人（除司机外限载4名乘客）前往火车站，同时剩下的4人步行前进；汽车将第一批人送到后立即返回接步行的第二批人，再送第二批人到火车站。我们只需按这个最优方案分步计算总耗时，再和42分钟对比即可得出结论。
【解析】
首先统一单位：42 min = $\frac{42}{60}$ = 0.7 h
1. 计算送第一批人到车站的时间及第二批人步行路程
汽车送第一批人到车站的时间：$t_1=\frac{s}{v_车}=\frac{15}{60}=0.25\ \mathrm{h}=15\ \mathrm{min}$
这段时间第二批人步行的路程：$s_1=v_人× t_1=5×0.25=1.25\ \mathrm{km}$
此时第二批人距离车站的路程：$s_剩=15-1.25=13.75\ \mathrm{km}$
2. 计算汽车返回和第二批人相遇的时间
汽车返回与步行的人是相向而行的相遇问题，速度和为$v_车+v_人=60+5=65\ \mathrm{km/h}$
相遇时间：$t_2=\frac{s_剩}{v_和}=\frac{13.75}{65}\approx0.2115\ \mathrm{h}\approx12.7\ \mathrm{min}$
相遇时第二批人又步行的路程：$s_2=v_人× t_2\approx5×0.2115\approx1.06\ \mathrm{km}$
此时第二批人距离车站的路程：$s_剩'=13.75-1.06\approx12.69\ \mathrm{km}$
3. 计算汽车送第二批人到车站的时间
$t_3=\frac{s_剩'}{v_车}\approx\frac{12.69}{60}\approx0.2115\ \mathrm{h}\approx12.7\ \mathrm{min}$
总用时：$t_总=t_1+t_2+t_3\approx0.25+0.2115+0.2115\approx0.673\ \mathrm{h}\approx40.4\ \mathrm{min}$
因为$40.4\ \mathrm{min}＜42\ \mathrm{min}$，所以8人能赶上火车。
【答案】
这8人能赶上火车，采用汽车送第一批人的同时剩余人员步行、汽车送完第一批后返回接第二批人的方案即可，总用时约40.4分钟，小于42分钟。
【知识点】
行程问题计算、相遇问题、最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际考查行程问题的应用，解题的核心是打破“等待乘车的人原地不动”的思维定式，想到让未乘车的人先步行缩短总路程，从而节省总时间，再通过分步计算各段时间求和，和限定时间对比即可得到结论。
【难度系数】
0.6
