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8. 如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，$∠ A=90°$，$∠ ABC=105°$，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（
A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\sqrt{2}$
D
）A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
D
9. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=8$。
(1)分别以直线 $AC$,$BC$ 为轴,把 $△ ABC$ 旋转一周,得到两个不同的圆锥,求这两个圆锥的侧面积。
(2)以直线 $AB$ 为轴,把 $△ ABC$ 旋转一周,求所得几何体的表面积。
(1)分别以直线 $AC$,$BC$ 为轴,把 $△ ABC$ 旋转一周,得到两个不同的圆锥,求这两个圆锥的侧面积。
(2)以直线 $AB$ 为轴,把 $△ ABC$ 旋转一周,求所得几何体的表面积。
答案
(1)因为$∠ C=90°,AC=6,BC=8$,所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$,所以以直线AC为轴,把$△ ABC$旋转一周,得到的圆锥的侧面积$=π×8×10=80π$;以直线BC为轴,把$△ ABC$旋转一周,得到的圆锥的侧面积$=π×6×10=60π$。
(2)作$CD⊥ AB$于点D,因为$\frac{1}{2}CD· AB=\frac{1}{2}AC· BC$,所以$CD=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$,以直线AB为轴,把$△ ABC$旋转一周,所得几何体是以CD为底面半径的两个圆锥,则它的表面积$=π×\frac{24}{5}×8+π×\frac{24}{5}×6=\frac{336}{5}π$。
(2)作$CD⊥ AB$于点D,因为$\frac{1}{2}CD· AB=\frac{1}{2}AC· BC$,所以$CD=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$,以直线AB为轴,把$△ ABC$旋转一周,所得几何体是以CD为底面半径的两个圆锥,则它的表面积$=π×\frac{24}{5}×8+π×\frac{24}{5}×6=\frac{336}{5}π$。
10. 综合与实践
问题情境:如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开,可得到一个半径为l,圆心角为n°的扇形。工人在制作圆锥形物品时,通常要先确定扇形圆心角度数,再度量裁剪材料。
(1)探索尝试:图1中,圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长
(2)解决问题:为操作简便,工人希望能简洁求$n$的值,请用含$r,l$的式子表示$n$。
(3)拓展延伸:图2是一种纸质圆锥形生日帽,$AB=6\mathrm{cm},l=6\mathrm{cm},C$是$PB$中点,现要从点$A$到点$C$再到点$A$之间拉一装饰彩带,求彩带长度的最小值。
问题情境:如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开,可得到一个半径为l,圆心角为n°的扇形。工人在制作圆锥形物品时,通常要先确定扇形圆心角度数,再度量裁剪材料。
(1)探索尝试:图1中,圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长
相等
(填“相等”或“不相等”);若$r=3,l=9$,则$n=$120
。(2)解决问题:为操作简便,工人希望能简洁求$n$的值,请用含$r,l$的式子表示$n$。
(3)拓展延伸:图2是一种纸质圆锥形生日帽,$AB=6\mathrm{cm},l=6\mathrm{cm},C$是$PB$中点,现要从点$A$到点$C$再到点$A$之间拉一装饰彩带,求彩带长度的最小值。
答案
(1)圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等;因为$\frac{nπ l}{180}=2π r,r=3,l=9$,所以$n°=\frac{r}{l}×360°=\frac{3}{9}×360°=120°$。
(2)由圆锥的底面周长等于扇形$BPB'$的弧长,得$2π r=\frac{nπ l}{180}$,所以$n=\frac{2π r×180}{π l}=\frac{360r}{l}$。
(3)因为$l=6\mathrm{cm},r=3\mathrm{cm}$,所以$n=\frac{360×3}{6}=180$,所以圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为$180°$,如图
。所以$∠ A'PC=\frac{1}{2}×180°=90°$。所以$PA'=PB=6$,所以$PC=\frac{1}{2}PB=3$,所以在$\mathrm{Rt}△ A'PC$中,$A'C=\sqrt{PA'^2+PC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}(\mathrm{cm})$,所以彩带长度的最小值为$2A'C=6\sqrt{5}\mathrm{cm}$。