1. 一个零件的形状如图所示，按规定$∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = ∠ G = 90°$，$∠ E = 140°$，质检工人测得$∠ F = 140°$，就断定这个零件不合格，这是为什么？

1. 解：如图，延长AG，CD交于点H。

五边形 DHGFE 的内角和是 $180° × (5-2) =540°$，
则$∠F=540°-90°-90°-90°-140°=130°$，
而测得$∠F=140°$，
故这个零件不合格。

【分析】
遇到不规则图形的角度计算问题时，我们可以通过作辅助线将其转化为已学的规则多边形，再利用多边形内角和公式求解。本题中先延长AG、CD交于点H，构造出规则五边形DHGFE，结合已知的直角条件可得到新构造的∠H为90°，再通过五边形内角和公式计算出合格零件中∠F的标准度数，最后和测得的∠F度数对比即可判断零件是否合格。
【解析】
解：如图，延长AG，CD交于点H。

根据多边形内角和公式，五边形DHGFE的内角和为：
$180° × (5-2) = 540°$
已知合格零件中∠H=90°、∠G=90°、∠D=90°、∠E=140°，因此合格状态下∠F的度数为：
$∠F=540°-90°-90°-90°-140°=130°$
现在测得∠F=140°，和标准度数不符，因此零件不合格。
【答案】
1. 解：如图，延长AG，CD交于点H。

五边形 DHGFE 的内角和是 $180° × (5-2) =540°$，
则$∠F=540°-90°-90°-90°-140°=130°$，
而测得$∠F=140°$，
故这个零件不合格。
【知识点】
多边形内角和公式，不规则图形角度计算
【点评】
本题结合实际质检场景考查多边形内角和的应用，解题关键是通过补形法构造规则五边形，将未知角度问题转化为规则多边形内角和计算问题，这类题目能有效锻炼学生的图形转化能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图，求$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6+∠ 7$的度数。

$∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°$。

【分析】
要求这7个角的度数和，我们可以运用转化思想，把分散的多个角整合到规则多边形中，利用已学的多边形内角和公式计算。首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和=(n-2)×180°。观察图形，我们可以利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将∠1、∠2、∠5的和转化为五边形的一个内角，此时7个角的和刚好对应五边形的内角和，代入公式计算即可。
【解析】
解：根据多边形内角和公式：$n$边形内角和$=(n-2)×180°$。
通过三角形外角性质，可将$∠1+∠2+∠5$转化为五边形的一个内角，因此$∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7$的和等于五边形的内角和。
代入公式计算：
五边形内角和$=(5-2)×180°=3×180°=540°$。
【答案】
$\boxed{540°}$
【知识点】
多边形内角和公式，角度转化思想，三角形外角性质
【点评】
本题是典型的不规则图形角度求和问题，核心考查转化思想的应用，不需要逐个计算每个角的度数，只要将分散的角整合到规则多边形中就能快速求解，锻炼了学生的图形观察能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6

探究1: (1)多边形内角的一边与另一边的所组成的角叫作这个多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的；
(2)多边形的外角和定理：多边形的外角和等于。
探究2: (1)正$n$边形的一个外角为$72°$，则$n$的值是；
(2)若$n$边形的内角和比外角和多$540°$，则
$n=$；
(3)一个正多边形的每个内角都等于外角的2倍，则这个正多边形的每一个外角的度数为；
(4)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多$180°$，则它是边形，从该多边形的一个顶点，可以引条对角线。
归纳总结
(1)多边形的外角和与边数无关，无论边数为多少，外角和都是$360°$；
(2)正$n$边形的每个外角都相等，因此每个外角都等于$\dfrac{360°}{n}$。

探究1 (1) 反向延长线 外角和
(2) 360°
探究2 (1) 5
(2) 7
(3) 60°
(4) 九 6

【分析】
本题围绕多边形的外角、外角和相关知识点设置题目，解题思路如下：首先回忆多边形外角、外角和的基础定义以及外角和定理，完成概念类填空；计算类题目需牢记两个核心公式：①n边形内角和公式为$(n-2)×180°$；②正n边形所有外角相等，外角和恒为$360°$，同时明确同一顶点处内角与外角互补、n边形从一个顶点引出的对角线条数为$n-3$，结合题目给出的等量关系列方程求解即可。
【解析】
探究1
(1) 根据多边形外角的定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作多边形的外角；在每个顶点处取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和。
(2) 根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于$360°$，与边数无关。
探究2
(1) 正n边形每个外角相等，外角和为$360°$，因此$n=\frac{360°}{72°}=5$。
(2) 设边数为n，根据题意列方程：
$(n-2)×180° - 360°=540°$
展开得$180° n - 360° - 360°=540°$
整理得$180° n=1260°$，解得$n=7$。
(3) 设这个正多边形的一个外角度数为x，则对应内角度数为2x，同一顶点处内角与外角互补，因此：
$x+2x=180°$
解得$x=60°$，即外角度数为$60°$。
(4) 设边数为n，根据题意列方程：
$(n-2)×180°=3×360° + 180°$
计算右边得$3×360°+180°=1260°$，因此$n-2=\frac{1260°}{180°}=7$，解得$n=9$，即该多边形为九边形。
n边形从一个顶点引出的对角线条数为$n-3$，因此九边形从一个顶点可引对角线：$9-3=6$条。
【答案】
探究1 (1) 反向延长线；外角和
(2) $360°$
探究2 (1) 5
(2) 7
(3) $60°$
(4) 九；6
【知识点】
多边形外角相关概念；多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题属于多边形章节的基础巩固类习题，侧重考查核心概念和公式的应用，所有题目均可通过套用基础公式或列简单一元一次方程解答，掌握核心定理就能轻松得分。
【难度系数】
0.8