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探究1：填写下表。
探究2：从五边形的一个顶点出发可以画
类比归纳：从n边形的一个顶点出发可以引
新知生成：n边形的内角和等于
探究2：从五边形的一个顶点出发可以画
2
条对角线，这些对角线把这个五边形分别分成了3
个三角形。类比归纳：从n边形的一个顶点出发可以引
n-3
条对角线，这些对角线把这个n边形分别分成了n-2
个三角形。新知生成：n边形的内角和等于
(n-2)·180°
。答案
探究2 2 3
类比归纳 (n-3) (n-2)
新知生成 (n-2)·180°
类比归纳 (n-3) (n-2)
新知生成 (n-2)·180°
解析
【分析】
解决本题我们可以从特殊多边形入手推导规律，首先明确多边形对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线。从一个顶点出发时，无法和自身、相邻的2个顶点连对角线，因此可连的对角线条数=总顶点数-3；对角线分出的三角形个数比对角线条数多1；再结合三角形内角和为180°，就能推出多边形内角和公式，最后从特殊情况归纳得到n边形的通用规律即可。
【解析】
表格填写：
1. 边数为3（三角形）：没有不相邻的顶点，从一个顶点出发的对角线条数为$\boxed{0}$，可分成$\boxed{1}$个三角形，内角和为$\boxed{180°}$；
2. 边数为4（四边形）：不相邻顶点有$4-3=1$个，从一个顶点出发的对角线条数为$\boxed{1}$，可分成$\boxed{2}$个三角形，内角和为$2×180°=\boxed{360°}$；
3. 边数为5（五边形）：不相邻顶点有$5-3=2$个，从一个顶点出发的对角线条数为$\boxed{2}$，可分成$\boxed{3}$个三角形，内角和为$3×180°=\boxed{540°}$；
4. 边数为6（六边形）：不相邻顶点有$6-3=3$个，从一个顶点出发的对角线条数为$\boxed{3}$，可分成$\boxed{4}$个三角形，内角和为$4×180°=\boxed{720°}$；
5. 边数为$n$（$n$边形）：不相邻顶点有$n-3$个，从一个顶点出发的对角线条数为$\boxed{n-3}$，可分成$\boxed{n-2}$个三角形，内角和为$\boxed{(n-2)·180°}$。
各问题解答：
探究2：五边形从一个顶点出发可画$5-3=2$条对角线，这些对角线把五边形分成$2+1=3$个三角形。
类比归纳：结合上述规律，$n$边形从一个顶点出发可引$(n-3)$条对角线，把$n$边形分成$(n-2)$个三角形。
新知生成：每个三角形内角和为$180°$，因此$n$边形内角和等于$(n-2)·180°$。
【答案】
表格内容（按行依次填写）：
从一个顶点出发的对角线条数：$0,1,2,3,\dots,n-3$
分成的三角形个数：$1,2,3,4,\dots,n-2$
多边形内角和：$180°,360°,540°,720°,\dots,(n-2)·180°$
探究2：$\boxed{2}$；$\boxed{3}$
类比归纳：$\boxed{(n-3)}$；$\boxed{(n-2)}$
新知生成：$\boxed{(n-2)·180°}$
【知识点】
多边形的对角线，多边形内角和公式，规律探究
【点评】
本题是基础的概念推导类题目，通过对特殊多边形的分析归纳得到通用结论，考查对多边形相关公式来源的理解，掌握从特殊到一般的归纳方法、牢记相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题我们可以从特殊多边形入手推导规律，首先明确多边形对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线。从一个顶点出发时，无法和自身、相邻的2个顶点连对角线，因此可连的对角线条数=总顶点数-3；对角线分出的三角形个数比对角线条数多1；再结合三角形内角和为180°，就能推出多边形内角和公式，最后从特殊情况归纳得到n边形的通用规律即可。
【解析】
表格填写：
1. 边数为3（三角形）：没有不相邻的顶点，从一个顶点出发的对角线条数为$\boxed{0}$，可分成$\boxed{1}$个三角形，内角和为$\boxed{180°}$；
2. 边数为4（四边形）：不相邻顶点有$4-3=1$个，从一个顶点出发的对角线条数为$\boxed{1}$，可分成$\boxed{2}$个三角形，内角和为$2×180°=\boxed{360°}$；
3. 边数为5（五边形）：不相邻顶点有$5-3=2$个，从一个顶点出发的对角线条数为$\boxed{2}$，可分成$\boxed{3}$个三角形，内角和为$3×180°=\boxed{540°}$；
4. 边数为6（六边形）：不相邻顶点有$6-3=3$个，从一个顶点出发的对角线条数为$\boxed{3}$，可分成$\boxed{4}$个三角形，内角和为$4×180°=\boxed{720°}$；
5. 边数为$n$（$n$边形）：不相邻顶点有$n-3$个，从一个顶点出发的对角线条数为$\boxed{n-3}$，可分成$\boxed{n-2}$个三角形，内角和为$\boxed{(n-2)·180°}$。
各问题解答：
探究2：五边形从一个顶点出发可画$5-3=2$条对角线，这些对角线把五边形分成$2+1=3$个三角形。
类比归纳：结合上述规律，$n$边形从一个顶点出发可引$(n-3)$条对角线，把$n$边形分成$(n-2)$个三角形。
新知生成：每个三角形内角和为$180°$，因此$n$边形内角和等于$(n-2)·180°$。
【答案】
表格内容（按行依次填写）：
从一个顶点出发的对角线条数：$0,1,2,3,\dots,n-3$
分成的三角形个数：$1,2,3,4,\dots,n-2$
多边形内角和：$180°,360°,540°,720°,\dots,(n-2)·180°$
探究2：$\boxed{2}$；$\boxed{3}$
类比归纳：$\boxed{(n-3)}$；$\boxed{(n-2)}$
新知生成：$\boxed{(n-2)·180°}$
【知识点】
多边形的对角线，多边形内角和公式，规律探究
【点评】
本题是基础的概念推导类题目，通过对特殊多边形的分析归纳得到通用结论，考查对多边形相关公式来源的理解，掌握从特殊到一般的归纳方法、牢记相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 给出的下列各角度能作为一个多边形的内角和的是（
A.4 320°
B.4 340°
C.4 343°
D.4 350°
A
）A.4 320°
B.4 340°
C.4 343°
D.4 350°
答案
1. A
解析
【分析】
要判断哪个角度可以作为多边形的内角和，首先回忆多边形内角和公式：$n$边形（$n≥ 3$且$n$为整数）的内角和为$(n-2)×180°$。因为边数$n$必须是正整数，所以内角和一定是$180°$的整数倍，解题核心就是验证四个选项的度数能否被$180°$整除，若能整除且对应的$n$为大于等于3的正整数，就符合要求。
【解析】
设多边形的边数为$n$（$n≥ 3$且$n$为整数），根据多边形内角和公式，其内角和为$(n-2)×180°$，因此内角和必定是$180°$的整数倍。
对各选项逐一验证：
选项A：$4320°÷180°=24$，则$n-2=24$，解得$n=26$，是符合要求的正整数，符合条件；
选项B：$4340°÷180°\approx24.11$，不是整数，不符合条件；
选项C：$4343°÷180°\approx24.13$，不是整数，不符合条件；
选项D：$4350°÷180°\approx24.17$，不是整数，不符合条件。
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和定理
【点评】
本题考查对多边形内角和公式的理解，无需计算具体边数，只需抓住内角和是$180°$的整数倍这一核心特征即可快速解题，侧重对公式本质的灵活运用。
【难度系数】
0.8
要判断哪个角度可以作为多边形的内角和，首先回忆多边形内角和公式：$n$边形（$n≥ 3$且$n$为整数）的内角和为$(n-2)×180°$。因为边数$n$必须是正整数，所以内角和一定是$180°$的整数倍，解题核心就是验证四个选项的度数能否被$180°$整除，若能整除且对应的$n$为大于等于3的正整数，就符合要求。
【解析】
设多边形的边数为$n$（$n≥ 3$且$n$为整数），根据多边形内角和公式，其内角和为$(n-2)×180°$，因此内角和必定是$180°$的整数倍。
对各选项逐一验证：
选项A：$4320°÷180°=24$，则$n-2=24$，解得$n=26$，是符合要求的正整数，符合条件；
选项B：$4340°÷180°\approx24.11$，不是整数，不符合条件；
选项C：$4343°÷180°\approx24.13$，不是整数，不符合条件；
选项D：$4350°÷180°\approx24.17$，不是整数，不符合条件。
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和定理
【点评】
本题考查对多边形内角和公式的理解，无需计算具体边数，只需抓住内角和是$180°$的整数倍这一核心特征即可快速解题，侧重对公式本质的灵活运用。
【难度系数】
0.8
2. 如图，一张多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为$2340°$的新多边形，则原多边形的边数为 （
A.13
B.14
C.15
D.16
B
）A.13
B.14
C.15
D.16
答案
2. B
解析
【分析】
解题首先要明确图示剪法的特点：沿相邻两边上的点（不含顶点）剪去一个内角，得到的新多边形边数比原多边形多1。接下来我们可以先利用多边形内角和公式，根据新多边形的内角和求出新多边形的边数，再结合边数的变化规律推算出原多边形的边数。
【解析】
设新多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，可得方程：
$(n-2)×180°=2340°$
解方程：
$n-2=2340°÷180°=13$
$n=13+2=15$
由图示剪法可知，新多边形边数比原多边形多1，因此原多边形边数为$15-1=14$。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和计算，多边形截角规律
【点评】
本题侧重考查多边形内角和公式的灵活应用，解题的核心是准确判断截去一个内角后边数的变化情况，结合公式计算即可得到结果，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确图示剪法的特点：沿相邻两边上的点（不含顶点）剪去一个内角，得到的新多边形边数比原多边形多1。接下来我们可以先利用多边形内角和公式，根据新多边形的内角和求出新多边形的边数，再结合边数的变化规律推算出原多边形的边数。
【解析】
设新多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，可得方程：
$(n-2)×180°=2340°$
解方程：
$n-2=2340°÷180°=13$
$n=13+2=15$
由图示剪法可知，新多边形边数比原多边形多1，因此原多边形边数为$15-1=14$。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和计算，多边形截角规律
【点评】
本题侧重考查多边形内角和公式的灵活应用，解题的核心是准确判断截去一个内角后边数的变化情况，结合公式计算即可得到结果，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
任务二 多边形内角和定理的应用
阅读材料，完成下列探究。
小虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小虎认真地检查了一遍。
探究1：若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数。
探究2：若他检查发现漏算了一个内角，则漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
阅读材料，完成下列探究。
小虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小虎认真地检查了一遍。
探究1：若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数。
探究2：若他检查发现漏算了一个内角，则漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
答案
探究1 这个多边形的边数是12。
探究2 漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形。
探究2 漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形。
解析
【分析】
解决本题的核心依据是：n边形内角和为$(n-2)×180°$（n为≥3的正整数），且多边形任意内角的度数满足$0°＜α＜180°$。
对于探究1：多算1个内角时，1840°与正确内角和的差值就是多算的内角，因此正确内角和小于1840°，且二者差值小于180°，据此列不等式求出边数的取值范围，结合边数为正整数即可确定边数。
对于探究2：漏算1个内角时，正确内角和与1840°的差值就是漏算的内角，因此正确内角和大于1840°，且二者差值小于180°，同理列不等式求出边数后，再计算漏算的角度即可。
【解析】
探究1：求多算一个内角时的多边形边数
设多边形的边数为$n$，多算的内角度数为$x$，则$0°＜x＜180°$。
根据题意列等式：
$(n-2)×180° + x = 1840°$
整理得：$(n-2)×180° = 1840° - x$
结合$0°＜x＜180°$，可得不等式：
$1840°-180° ＜ (n-2)×180° ＜1840°$
即$1660° ＜ 180°(n-2) ＜1840°$，两边同时除以$180°$得：
$9.22 ＜ n-2 ＜10.22$
因为$n$为正整数，所以$n-2=10$，解得$n=12$。
探究2：求漏算的内角度数和多边形边数
设多边形的边数为$m$，漏算的内角度数为$y$，则$0°＜y＜180°$。
根据题意列等式：
$(m-2)×180° = 1840° + y$
结合$0°＜y＜180°$，可得不等式：
$1840° ＜ (m-2)×180° ＜1840°+180°$
即$1840° ＜ 180°(m-2) ＜2020°$，两边同时除以$180°$得：
$10.22 ＜ m-2 ＜11.22$
因为$m$为正整数，所以$m-2=11$，解得$m=13$。
漏算的内角度数：$y=11×180° -1840°=140°$。
【答案】
探究1：这个多边形的边数是12。
探究2：漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形。
【知识点】
多边形内角和公式；一元一次不等式应用；多边形内角取值范围
【点评】
本题考查多边形内角和定理的灵活应用，解题关键是抓住多算/漏算内角的取值范围，结合内角和为180°的整数倍、边数为正整数的特点，通过列不等式确定边数后求解，能有效锻炼逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心依据是：n边形内角和为$(n-2)×180°$（n为≥3的正整数），且多边形任意内角的度数满足$0°＜α＜180°$。
对于探究1：多算1个内角时，1840°与正确内角和的差值就是多算的内角，因此正确内角和小于1840°，且二者差值小于180°，据此列不等式求出边数的取值范围，结合边数为正整数即可确定边数。
对于探究2：漏算1个内角时，正确内角和与1840°的差值就是漏算的内角，因此正确内角和大于1840°，且二者差值小于180°，同理列不等式求出边数后，再计算漏算的角度即可。
【解析】
探究1：求多算一个内角时的多边形边数
设多边形的边数为$n$，多算的内角度数为$x$，则$0°＜x＜180°$。
根据题意列等式：
$(n-2)×180° + x = 1840°$
整理得：$(n-2)×180° = 1840° - x$
结合$0°＜x＜180°$，可得不等式：
$1840°-180° ＜ (n-2)×180° ＜1840°$
即$1660° ＜ 180°(n-2) ＜1840°$，两边同时除以$180°$得：
$9.22 ＜ n-2 ＜10.22$
因为$n$为正整数，所以$n-2=10$，解得$n=12$。
探究2：求漏算的内角度数和多边形边数
设多边形的边数为$m$，漏算的内角度数为$y$，则$0°＜y＜180°$。
根据题意列等式：
$(m-2)×180° = 1840° + y$
结合$0°＜y＜180°$，可得不等式：
$1840° ＜ (m-2)×180° ＜1840°+180°$
即$1840° ＜ 180°(m-2) ＜2020°$，两边同时除以$180°$得：
$10.22 ＜ m-2 ＜11.22$
因为$m$为正整数，所以$m-2=11$，解得$m=13$。
漏算的内角度数：$y=11×180° -1840°=140°$。
【答案】
探究1：这个多边形的边数是12。
探究2：漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形。
【知识点】
多边形内角和公式；一元一次不等式应用；多边形内角取值范围
【点评】
本题考查多边形内角和定理的灵活应用，解题关键是抓住多算/漏算内角的取值范围，结合内角和为180°的整数倍、边数为正整数的特点，通过列不等式确定边数后求解，能有效锻炼逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
