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探究1：一组对边
如图，
两腰相等的梯形叫作
平行
，另一组对边不平行
的四边形叫作梯形。如图，
平行
的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底，不平行的两边称为梯形的腰。两腰相等的梯形叫作
等腰
梯形，有一个角是直角的梯形叫作直角
梯形。答案
1. 平行 不平行 平行 等腰 直角
解析
【分析】
本题考查梯形的相关基础定义，解题时需回忆课本中梯形及特殊梯形的概念逐一填空：首先回忆梯形的定义明确前两个空的内容；再回忆梯形底的定义填写第三个空；最后根据特殊梯形的分类填写最后两个空即可。
【解析】
根据梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形。
在梯形中，互相平行的两边称为梯形的底，按长度区分上底和下底，较短的为上底，较长的为下底；
根据特殊梯形的分类：两腰相等的梯形叫作等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
平行；不平行；平行；等腰；直角
【知识点】
梯形的定义；等腰梯形的概念；直角梯形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对梯形相关基础定义的识记，只要熟练掌握课本中的基础概念即可快速正确作答，是学习梯形相关知识的必备基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查梯形的相关基础定义，解题时需回忆课本中梯形及特殊梯形的概念逐一填空：首先回忆梯形的定义明确前两个空的内容；再回忆梯形底的定义填写第三个空；最后根据特殊梯形的分类填写最后两个空即可。
【解析】
根据梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形。
在梯形中，互相平行的两边称为梯形的底，按长度区分上底和下底，较短的为上底，较长的为下底；
根据特殊梯形的分类：两腰相等的梯形叫作等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
平行；不平行；平行；等腰；直角
【知识点】
梯形的定义；等腰梯形的概念；直角梯形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对梯形相关基础定义的识记，只要熟练掌握课本中的基础概念即可快速正确作答，是学习梯形相关知识的必备基础题型。
【难度系数】
0.9
探究2：如图，在梯形$ABCD$中，$AB// CD$，若$S_{△ ABC}=9\ \mathrm{cm}^2$，求$S_{△ ADB}$的值。
答案
$S_{△ ADB}=9\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要计算△ADB的面积，先观察它和已知面积的△ABC的关系：两个三角形有公共底AB；再结合AB//CD的条件，根据平行线间的距离处处相等，可知点C和点D到AB的距离相等，也就是两个三角形AB边上的高相等。根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，即可直接得到△ADB的面积。
【解析】
解：
∵$AB// CD$，
∴点D和点C到直线AB的距离相等（平行线间的距离处处相等），
即△ADB中AB边上的高与△ABC中AB边上的高相等，
又
∵△ADB和△ABC共有底边AB，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× 底× 高$可知，同底等高的三角形面积相等，
∴$S_{△ ADB}=S_{△ ABC}=9\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$S_{△ ADB}=9\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行线间距离的性质；三角形面积计算；同底等高三角形面积相等
【点评】
本题是几何基础题，解题的核心是找到两个三角形同底等高的关系，结合平行线的性质即可快速求解，能够帮助学生巩固三角形面积与底高的对应关系。
【难度系数】
0.8
要计算△ADB的面积，先观察它和已知面积的△ABC的关系：两个三角形有公共底AB；再结合AB//CD的条件，根据平行线间的距离处处相等，可知点C和点D到AB的距离相等，也就是两个三角形AB边上的高相等。根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，即可直接得到△ADB的面积。
【解析】
解：
∵$AB// CD$，
∴点D和点C到直线AB的距离相等（平行线间的距离处处相等），
即△ADB中AB边上的高与△ABC中AB边上的高相等，
又
∵△ADB和△ABC共有底边AB，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× 底× 高$可知，同底等高的三角形面积相等，
∴$S_{△ ADB}=S_{△ ABC}=9\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$S_{△ ADB}=9\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行线间距离的性质；三角形面积计算；同底等高三角形面积相等
【点评】
本题是几何基础题，解题的核心是找到两个三角形同底等高的关系，结合平行线的性质即可快速求解，能够帮助学生巩固三角形面积与底高的对应关系。
【难度系数】
0.8
探究3: 如图，在梯形ABCD中，∠B = 90°，AD=1，BC=CD=5，求AB的长。
答案
$AB=3$。
解析
【分析】
本题是直角梯形的边长计算问题，可通过梯形常用的辅助线作法求解：首先观察到梯形有直角，我们过点D作BC的垂线，就能将直角梯形分割为矩形和直角三角形。利用矩形的性质可以把待求的AB转化为直角三角形的一条直角边，再结合已知边长用勾股定理计算即可。
【解析】
过点D作$DE ⊥ BC$，垂足为E。
∵四边形ABCD是梯形，
∴$AD // BC$，
又
∵$∠ B=90°$，$DE ⊥ BC$，
∴四边形ABED是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴$AD=BE=1$，$AB=DE$。
∵$BC=5$，
∴$EC=BC-BE=5-1=4$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$CD=5$，$EC=4$，根据勾股定理：
$DE=\sqrt{CD^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴$AB=DE=3$。
【答案】
$AB=3$
【知识点】
梯形的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题重点考察梯形边长计算的常规思路，通过作高将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形，把未知边的求解转化到直角三角形中完成计算，掌握这类辅助线的用法可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7
本题是直角梯形的边长计算问题，可通过梯形常用的辅助线作法求解：首先观察到梯形有直角，我们过点D作BC的垂线，就能将直角梯形分割为矩形和直角三角形。利用矩形的性质可以把待求的AB转化为直角三角形的一条直角边，再结合已知边长用勾股定理计算即可。
【解析】
过点D作$DE ⊥ BC$，垂足为E。
∵四边形ABCD是梯形，
∴$AD // BC$，
又
∵$∠ B=90°$，$DE ⊥ BC$，
∴四边形ABED是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴$AD=BE=1$，$AB=DE$。
∵$BC=5$，
∴$EC=BC-BE=5-1=4$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$CD=5$，$EC=4$，根据勾股定理：
$DE=\sqrt{CD^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴$AB=DE=3$。
【答案】
$AB=3$
【知识点】
梯形的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题重点考察梯形边长计算的常规思路，通过作高将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形，把未知边的求解转化到直角三角形中完成计算，掌握这类辅助线的用法可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7
如图是一块梯形铁片的残余部分，量得$∠ A = 100°$，则$∠ D$的度数是（
A.$65°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$115°$
B
）A.$65°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$115°$
答案
B
解析
【分析】
首先观察图形，可知原图形是梯形ABCD，梯形的上下底互相平行，即$AB// CD$。要求$∠ D$的度数，可结合平行线的性质求解：两直线平行，同旁内角互补，$∠ A$与$∠ D$是AB、CD被AD所截形成的同旁内角，二者之和为$180°$，已知$∠ A$的度数，代入计算即可得到$∠ D$的度数。
【解析】
$\because$四边形ABCD是梯形，
$\therefore AB// CD$，
根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
$∠ A + ∠ D = 180°$，
又$\because ∠ A = 100°$，
$\therefore ∠ D = 180° - 100° = 80°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
梯形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，结合梯形的特征考查平行线的性质，解题的关键是明确梯形上下底平行的特点，熟练运用平行线的角度关系计算。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，可知原图形是梯形ABCD，梯形的上下底互相平行，即$AB// CD$。要求$∠ D$的度数，可结合平行线的性质求解：两直线平行，同旁内角互补，$∠ A$与$∠ D$是AB、CD被AD所截形成的同旁内角，二者之和为$180°$，已知$∠ A$的度数，代入计算即可得到$∠ D$的度数。
【解析】
$\because$四边形ABCD是梯形，
$\therefore AB// CD$，
根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
$∠ A + ∠ D = 180°$，
又$\because ∠ A = 100°$，
$\therefore ∠ D = 180° - 100° = 80°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
梯形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，结合梯形的特征考查平行线的性质，解题的关键是明确梯形上下底平行的特点，熟练运用平行线的角度关系计算。
【难度系数】
0.8
例 如图，在梯形ABCD中，BC//AD，延长CB到点E，使BE=AD，∠E=∠ACE。
(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形。
(2)连接BD，试判断BD与AE的数量关系，并说明理由。
(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形。
(2)连接BD，试判断BD与AE的数量关系，并说明理由。
答案
(1) 证明略
(2) $BD=AE$。理由略。
(2) $BD=AE$。理由略。
解析
【分析】
(1) 要证明梯形ABCD是等腰梯形，可通过证明梯形对角线相等推导。首先利用AD//BC、BE=AD的条件，判定四边形AEBD是平行四边形，得到AE=BD；再结合∠E=∠ACE，利用等角对等边得到AE=AC，进而推出AC=BD，即可根据对角线相等的梯形是等腰梯形完成证明。
(2) 判断BD与AE的数量关系，可直接利用(1)中得到的平行四边形AEBD的性质，由平行四边形对边相等即可得出二者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ BC//AD，即BE//AD，且BE=AD，
∴ 四边形AEBD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ AE=BD。
∵ ∠E=∠ACE，
∴ AE=AC（等角对等边），
∴ AC=BD。
又
∵ 四边形ABCD是梯形，
∴ 梯形ABCD是等腰梯形（对角线相等的梯形是等腰梯形）。
(2) 解：BD=AE，理由如下：
由(1)可知四边形AEBD是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可得BD=AE。
【答案】
(1) 梯形ABCD是等腰梯形，证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{BD=AE}$，理由见上述解析。
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 等腰梯形的判定
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是梯形相关的基础常考题，核心是通过构造平行四边形实现线段的等量转化，将已知条件和待证结论建立关联，解题时需要熟练掌握平行四边形、等腰梯形、等腰三角形的相关判定及性质，灵活进行边角转化。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明梯形ABCD是等腰梯形，可通过证明梯形对角线相等推导。首先利用AD//BC、BE=AD的条件，判定四边形AEBD是平行四边形，得到AE=BD；再结合∠E=∠ACE，利用等角对等边得到AE=AC，进而推出AC=BD，即可根据对角线相等的梯形是等腰梯形完成证明。
(2) 判断BD与AE的数量关系，可直接利用(1)中得到的平行四边形AEBD的性质，由平行四边形对边相等即可得出二者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ BC//AD，即BE//AD，且BE=AD，
∴ 四边形AEBD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ AE=BD。
∵ ∠E=∠ACE，
∴ AE=AC（等角对等边），
∴ AC=BD。
又
∵ 四边形ABCD是梯形，
∴ 梯形ABCD是等腰梯形（对角线相等的梯形是等腰梯形）。
(2) 解：BD=AE，理由如下：
由(1)可知四边形AEBD是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可得BD=AE。
【答案】
(1) 梯形ABCD是等腰梯形，证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{BD=AE}$，理由见上述解析。
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 等腰梯形的判定
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是梯形相关的基础常考题，核心是通过构造平行四边形实现线段的等量转化，将已知条件和待证结论建立关联，解题时需要熟练掌握平行四边形、等腰梯形、等腰三角形的相关判定及性质，灵活进行边角转化。
【难度系数】
0.7
在梯形ABCD中，AD//BC，有下面四个条件：①∠A=∠D；②AB=CD；③∠B=∠C；④AC=BD。其中，能判断梯形ABCD为等腰梯形的是
①②③④
。（填序号）答案
①②③④
解析
【分析】
首先明确题目已经给出四边形ABCD是梯形且AD//BC，解题时只需结合等腰梯形的判定方法逐一验证四个条件即可。等腰梯形的判定方法有三种：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形。接下来逐个分析四个条件是否符合上述判定规则即可得出结论。
【解析】
已知四边形ABCD是梯形，且AD//BC，逐一分析各条件：
1. 若①∠A=∠D：
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A=∠D，
∴∠B=∠C（等角的补角相等）
根据“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”，可判定梯形ABCD为等腰梯形，故①符合要求。
2. 若②AB=CD：
AB、CD是梯形ABCD的两条腰，根据“两腰相等的梯形是等腰梯形”，可直接判定梯形ABCD为等腰梯形，故②符合要求。
3. 若③∠B=∠C：
∠B、∠C是梯形下底BC上的两个内角，根据“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”，可判定梯形ABCD为等腰梯形，故③符合要求。
4. 若④AC=BD：
AC、BD是梯形的两条对角线，根据“对角线相等的梯形是等腰梯形”，可判定梯形ABCD为等腰梯形，故④符合要求。
综上，①②③④都能判定梯形ABCD为等腰梯形。
【答案】
①②③④
【知识点】
1. 等腰梯形的判定
2. 平行线的性质
3. 补角的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查等腰梯形判定定理的灵活运用，解题时注意题目已经明确给出四边形是梯形，无需额外证明四边形为梯形，只需结合判定规则逐一验证条件即可，易错点是部分同学会忽略已知梯形的前提，额外增加证明步骤。
【难度系数】
0.8
首先明确题目已经给出四边形ABCD是梯形且AD//BC，解题时只需结合等腰梯形的判定方法逐一验证四个条件即可。等腰梯形的判定方法有三种：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形。接下来逐个分析四个条件是否符合上述判定规则即可得出结论。
【解析】
已知四边形ABCD是梯形，且AD//BC，逐一分析各条件：
1. 若①∠A=∠D：
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A=∠D，
∴∠B=∠C（等角的补角相等）
根据“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”，可判定梯形ABCD为等腰梯形，故①符合要求。
2. 若②AB=CD：
AB、CD是梯形ABCD的两条腰，根据“两腰相等的梯形是等腰梯形”，可直接判定梯形ABCD为等腰梯形，故②符合要求。
3. 若③∠B=∠C：
∠B、∠C是梯形下底BC上的两个内角，根据“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”，可判定梯形ABCD为等腰梯形，故③符合要求。
4. 若④AC=BD：
AC、BD是梯形的两条对角线，根据“对角线相等的梯形是等腰梯形”，可判定梯形ABCD为等腰梯形，故④符合要求。
综上，①②③④都能判定梯形ABCD为等腰梯形。
【答案】
①②③④
【知识点】
1. 等腰梯形的判定
2. 平行线的性质
3. 补角的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查等腰梯形判定定理的灵活运用，解题时注意题目已经明确给出四边形是梯形，无需额外证明四边形为梯形，只需结合判定规则逐一验证条件即可，易错点是部分同学会忽略已知梯形的前提，额外增加证明步骤。
【难度系数】
0.8
