例 如图，E，F 是四边形ABCD的对角线BD的三等分点，CE，CF的延长线分别平分AB，AD，交点分别为点G，H。求证：
(1)$CE=2EG$；
(2)四边形ABCD是平行四边形。

证明：
(1) 连接AF，AE。
∵ G是AB的中点，E，F是BD的三等分点，
∴ AG = GB，BE = EF。
∴ EG是△ABF的中位线，
∴ EG // AF，$EG = \frac{1}{2}AF$。
∵ 点C、E、G共线，
∴ CE // AF。
同理，∵ H是AD的中点，
∴ AH = HD，DF = EF，
∴ FH是△ADE的中位线，
∴ FH // AE。
∵ 点C、F、H共线，
∴ CF // AE。
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ CE = AF。
又∵ $EG = \frac{1}{2}AF$，
∴ $CE = 2EG$。
(2) 设AC交BD于点O。
∵ 四边形AECF是平行四边形，
∴ OA = OC，OE = OF。
∵ E，F是BD的三等分点，
∴ BE = FD，
∴ BE + OE = FD + OF，
即 OB = OD。
又∵ OA = OC，
∴ 四边形ABCD的对角线互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。

【分析】
对于(1)，要证$CE=2EG$，首先连接AE、AF构造辅助线，结合已知的中点、三等分点条件，可先推出EG是$△ ABF$的中位线，得到EG和AF的数量、位置关系；再同理推出CF和AE平行，判定四边形AECF是平行四边形，得到CE=AF，即可推导CE和EG的倍数关系。
对于(2)，要证四边形ABCD是平行四边形，可通过证明对角线互相平分实现，设AC交BD于点O，先由平行四边形AECF的性质得到OA=OC、OE=OF，再结合E、F是BD三等分点的条件，推出OB=OD，即可由对角线互相平分判定四边形ABCD是平行四边形。
【解析】
(1) 连接AF，AE。
∵ G是AB的中点，E，F是BD的三等分点，
∴ $AG = GB$，$BE = EF$。
∴ EG是$△ ABF$的中位线，
∴ $EG // AF$，$EG = \frac{1}{2}AF$。
∵ 点C、E、G共线，
∴ $CE // AF$。
同理，
∵ H是AD的中点，
∴ $AH = HD$，$DF = EF$，
∴ FH是$△ ADE$的中位线，
∴ $FH // AE$。
∵ 点C、F、H共线，
∴ $CF // AE$。
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ $CE = AF$。
又
∵ $EG = \frac{1}{2}AF$，
∴ $CE = 2EG$。
(2) 设AC交BD于点O。
∵ 四边形AECF是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OE = OF$。
∵ E，F是BD的三等分点，
∴ $BE = FD$，
∴ $BE + OE = FD + OF$，
即 $OB = OD$。
又
∵ $OA = OC$，
∴ 四边形ABCD的对角线互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
(1) $CE=2EG$成立；
(2) 四边形ABCD是平行四边形成立。
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题是平行四边形相关的典型几何证明题，核心是合理构造辅助线，将中点、三等分点的已知条件转化为线段的平行与等量关系，既考察了基础定理的应用，也对辅助线构造的逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

如图，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，顺次连接E，F，G，H。
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若$□ ABCD$的周长为$2(AB+BC)=32$，求四边形EFGH的周长。

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA，OF=$\frac{1}{2}$OB，OG=$\frac{1}{2}$OC，OH=$\frac{1}{2}$OD。
∴OE=OG，OF=OH。
∴四边形EFGH是平行四边形。
(2) 四边形EFGH的周长为16。

【分析】
(1) 要证明四边形EFGH是平行四边形，可选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质得到对角线互相平分，即OA=OC、OB=OD，再结合E、F、G、H是各线段中点的条件，推出OE=OG、OF=OH，即可完成证明。
(2) 要求四边形EFGH的周长，观察可知EFGH的各边分别是对应三角形的中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于对应第三边的一半，因此EFGH的周长是平行四边形ABCD周长的一半，代入已知周长计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD。
∵ E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴ OE=$\frac{1}{2}$OA，OF=$\frac{1}{2}$OB，OG=$\frac{1}{2}$OC，OH=$\frac{1}{2}$OD，
∴ OE=OG，OF=OH，
∴ 四边形EFGH是平行四边形。
(2) 解：
∵ E、F分别是OA、OB的中点，
∴ EF是△OAB的中位线，
∴ EF=$\frac{1}{2}$AB，
同理可得：FG=$\frac{1}{2}$BC，GH=$\frac{1}{2}$CD，HE=$\frac{1}{2}$AD，
∴ 四边形EFGH的周长 = EF+FG+GH+HE = $\frac{1}{2}$(AB+BC+CD+AD)，
∵ 平行四边形ABCD的周长为32，即AB+BC+CD+AD=32，
∴ 四边形EFGH的周长 = $\frac{1}{2}$×32 = 16。
【答案】
(1) 已证四边形EFGH是平行四边形；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 平行四边形的判定
3. 三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查平行四边形的性质与判定的综合应用，以及三角形中位线定理的运用，解题的关键是找准新四边形与原平行四边形的关联，灵活选择判定定理简化证明过程。
【难度系数】
0.7