登录
1. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形。如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中$∠ 5 = 35°$，则$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 =$（）
A.$180°$
B.$360°$
C.$325°$
D.$145°$
A.$180°$
B.$360°$
C.$325°$
D.$145°$
答案
C
解析
【分析】
首先观察图形，可知∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是凸五边形ABCDE的五个外角，回忆凸多边形的外角和性质：任意凸多边形的外角和恒为360°，因此五个外角的和为360°，已知∠5的度数，用总和减去∠5的度数即可求出其余四个角的和，无需被题干中“完美五边形”的背景信息干扰。
【解析】
解：
∵任意凸多边形的外角和都等于360°，
由图可得∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是五边形ABCDE的5个外角，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
又
∵∠5=35°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-35°=325°。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识别多边形的外角，牢记多边形外角和恒为360°的性质即可快速计算得到结果，题干中的完美五边形背景仅为情境引入，不影响解题。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，可知∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是凸五边形ABCDE的五个外角，回忆凸多边形的外角和性质：任意凸多边形的外角和恒为360°，因此五个外角的和为360°，已知∠5的度数，用总和减去∠5的度数即可求出其余四个角的和，无需被题干中“完美五边形”的背景信息干扰。
【解析】
解：
∵任意凸多边形的外角和都等于360°，
由图可得∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是五边形ABCDE的5个外角，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
又
∵∠5=35°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-35°=325°。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识别多边形的外角，牢记多边形外角和恒为360°的性质即可快速计算得到结果，题干中的完美五边形背景仅为情境引入，不影响解题。
【难度系数】
0.7
2. (1)在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大$20°$，求这个多边形的内角和；
(2)粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为$1180°$。请直接写出这个多加的外角度数及多边形的边数。
(2)粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为$1180°$。请直接写出这个多加的外角度数及多边形的边数。
答案
解：(1)设这个多边形的每个外角的度数为$x$，则相邻的内角度数为$3x+20°$。
根据内角与相邻外角的和为$180°$，列方程：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得：$x=40°$。
∵多边形的外角和恒为$360°$，
∴该多边形的边数为：$360° ÷ 40° = 9$。
∴这个多边形的内角和为：$(9-2)×180° = 1260°$。
(2)多加的外角度数为$100°$，这个多边形的边数为8。
根据内角与相邻外角的和为$180°$，列方程：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得：$x=40°$。
∵多边形的外角和恒为$360°$，
∴该多边形的边数为：$360° ÷ 40° = 9$。
∴这个多边形的内角和为：$(9-2)×180° = 1260°$。
(2)多加的外角度数为$100°$，这个多边形的边数为8。
解析
【分析】
（1）第一问可利用多边形相邻内角与外角互补的性质求解：首先设该多边形的一个外角为x，根据题意表示出对应的内角，结合内角+相邻外角=180°列方程求出外角度数；再利用任意多边形外角和恒为360°，用360°除以单个外角的度数得到多边形边数；最后代入内角和公式计算即可。
（2）第二问解题核心是多边形内角和一定是180°的整数倍：先找到小于1180°的最大的180°的整数倍，即为正确的内角和；用1180°减去正确内角和得到多加的外角度数，再根据内角和公式反推边数即可。
【解析】
(1)设这个多边形的每个外角的度数为$x$，则相邻的内角度数为$3x+20°$。
根据内角与相邻外角的和为$180°$，列方程：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得：$x=40°$。
∵多边形的外角和恒为$360°$，
∴该多边形的边数为：$360° ÷ 40° = 9$。
∴这个多边形的内角和为：$(9-2)×180° = 1260°$。
(2)设多边形的边数为$n$，多加的外角度数为$α$（$0°＜α＜180°$），由题意得：
$(n-2)×180° + α = 1180°$
可知$1180° - α$是180°的整数倍，计算得$1180° ÷ 180° = 6······100°$，即1180°除以180°商6余100°，因此$α = 100°$。
将$α = 100°$代入得：$(n-2)×180° = 1080°$，解得$n=8$。
【答案】
(1)这个多边形的内角和为$1260°$；
(2)多加的外角度数为$100°$，多边形的边数为8。
【知识点】
多边形内角与外角的关系；多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题围绕多边形角的性质设置问题，第一问属于基础应用，直接结合内角外角的互补关系和外角和定理即可求解；第二问需要灵活利用内角和是180°整数倍的特点推导，能较好考查学生对多边形相关公式的理解和运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可利用多边形相邻内角与外角互补的性质求解：首先设该多边形的一个外角为x，根据题意表示出对应的内角，结合内角+相邻外角=180°列方程求出外角度数；再利用任意多边形外角和恒为360°，用360°除以单个外角的度数得到多边形边数；最后代入内角和公式计算即可。
（2）第二问解题核心是多边形内角和一定是180°的整数倍：先找到小于1180°的最大的180°的整数倍，即为正确的内角和；用1180°减去正确内角和得到多加的外角度数，再根据内角和公式反推边数即可。
【解析】
(1)设这个多边形的每个外角的度数为$x$，则相邻的内角度数为$3x+20°$。
根据内角与相邻外角的和为$180°$，列方程：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得：$x=40°$。
∵多边形的外角和恒为$360°$，
∴该多边形的边数为：$360° ÷ 40° = 9$。
∴这个多边形的内角和为：$(9-2)×180° = 1260°$。
(2)设多边形的边数为$n$，多加的外角度数为$α$（$0°＜α＜180°$），由题意得：
$(n-2)×180° + α = 1180°$
可知$1180° - α$是180°的整数倍，计算得$1180° ÷ 180° = 6······100°$，即1180°除以180°商6余100°，因此$α = 100°$。
将$α = 100°$代入得：$(n-2)×180° = 1080°$，解得$n=8$。
【答案】
(1)这个多边形的内角和为$1260°$；
(2)多加的外角度数为$100°$，多边形的边数为8。
【知识点】
多边形内角与外角的关系；多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题围绕多边形角的性质设置问题，第一问属于基础应用，直接结合内角外角的互补关系和外角和定理即可求解；第二问需要灵活利用内角和是180°整数倍的特点推导，能较好考查学生对多边形相关公式的理解和运用能力。
【难度系数】
0.7
例 如图，淇淇从点A出发，前进10 m后向右转$20°$，再前进10 m后又向右转$20°$，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形。
（1）淇淇一共走了多少米？请说明理由。
（2）求这个多边形的内角和。
（1）淇淇一共走了多少米？请说明理由。
（2）求这个多边形的内角和。
答案
解：
(1) 淇淇一共走了180米，理由如下：
任意多边形的外角和都为$360°$，由题意可知该多边形的每个外角都等于$20°$，
因此这个多边形的边数为 $360° ÷ 20° = 18$。
又因为该多边形每条边的长度都是10 m，
所以总路程为 $10 × 18 = 180$（m）。
(2) 由(1)可知该多边形是十八边形，
根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，将$n=18$代入得：
$(18-2)×180° = 2880°$。
答：(1) 淇淇一共走了180米；(2) 这个多边形的内角和为$2880°$。
(1) 淇淇一共走了180米，理由如下：
任意多边形的外角和都为$360°$，由题意可知该多边形的每个外角都等于$20°$，
因此这个多边形的边数为 $360° ÷ 20° = 18$。
又因为该多边形每条边的长度都是10 m，
所以总路程为 $10 × 18 = 180$（m）。
(2) 由(1)可知该多边形是十八边形，
根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，将$n=18$代入得：
$(18-2)×180° = 2880°$。
答：(1) 淇淇一共走了180米；(2) 这个多边形的内角和为$2880°$。
解析
【分析】
首先分析淇淇的行走特征：每次前进的距离相等，右转的角度也相等，回到出发点时行走路径刚好构成一个正多边形，每次右转的20°就是这个正多边形的外角度数。
对于（1）：任意多边形的外角和固定为360°，用外角和除以单个外角度数即可得到多边形的边数，再乘每条边的长度10m就能得到总路程。
对于（2）：求出多边形边数后，直接代入多边形内角和公式$(n-2)×180°$（n为多边形边数）计算即可得到内角和。
【解析】
（1）已知任意多边形的外角和均为$360°$，由题意可知该路径构成的正多边形每个外角都为$20°$，
因此该多边形的边数为：$360° ÷ 20° = 18$，
又因为该多边形每条边长均为10m，所以总路程为：$10 × 18 = 180$（米）。
（2）由（1）可知该多边形是十八边形，根据多边形内角和公式：$(n-2)×180°$（n为边数，$n≥3$且为整数），
将$n=18$代入公式得：$(18-2)×180° = 16×180° = 2880°$。
【答案】
（1）淇淇一共走了180米；（2）这个多边形的内角和为$2880°$
【知识点】
多边形外角和定理；多边形内角和公式；正多边形的性质
【点评】
本题结合实际行走场景考查多边形内外角和的应用，解题的核心是理解转向角度对应多边形的外角，结合外角和固定为$360°$求出边数后即可顺利求解，是多边形基础性质的典型应用题目。
【难度系数】
0.7
首先分析淇淇的行走特征：每次前进的距离相等，右转的角度也相等，回到出发点时行走路径刚好构成一个正多边形，每次右转的20°就是这个正多边形的外角度数。
对于（1）：任意多边形的外角和固定为360°，用外角和除以单个外角度数即可得到多边形的边数，再乘每条边的长度10m就能得到总路程。
对于（2）：求出多边形边数后，直接代入多边形内角和公式$(n-2)×180°$（n为多边形边数）计算即可得到内角和。
【解析】
（1）已知任意多边形的外角和均为$360°$，由题意可知该路径构成的正多边形每个外角都为$20°$，
因此该多边形的边数为：$360° ÷ 20° = 18$，
又因为该多边形每条边长均为10m，所以总路程为：$10 × 18 = 180$（米）。
（2）由（1）可知该多边形是十八边形，根据多边形内角和公式：$(n-2)×180°$（n为边数，$n≥3$且为整数），
将$n=18$代入公式得：$(18-2)×180° = 16×180° = 2880°$。
【答案】
（1）淇淇一共走了180米；（2）这个多边形的内角和为$2880°$
【知识点】
多边形外角和定理；多边形内角和公式；正多边形的性质
【点评】
本题结合实际行走场景考查多边形内外角和的应用，解题的核心是理解转向角度对应多边形的外角，结合外角和固定为$360°$求出边数后即可顺利求解，是多边形基础性质的典型应用题目。
【难度系数】
0.7
1. (1)若一个多边形的内角和为$1620°$，求此多边形的边数；
(2)一个$n$边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为$3:1$，求$n$的值。
(2)一个$n$边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为$3:1$，求$n$的值。
答案
(1) 此多边形的边数为 11。
(2) n 的值为 8。
(2) n 的值为 8。
解析
【分析】
(1) 求多边形边数可直接利用多边形内角和公式列方程求解。首先回忆多边形内角和定理：n边形内角和为$(n-2)×180°$，已知内角和为$1620°$，将其代入公式得到关于边数n的一元一次方程，解方程即可得到边数。
(2) 解题分两步：首先，多边形的内角与相邻外角是邻补角，二者和为$180°$，结合二者度数比$3:1$可先求出单个外角的度数；其次，任意多边形的外角和恒为$360°$，用外角和除以单个外角的度数即可得到边数n。
【解析】
(1) 设此多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=1620°$
方程两边同时除以$180°$得：$n-2=9$
解得：$n=11$
(2) 设多边形的每个外角的度数为$x$，则对应相邻内角的度数为$3x$，由邻补角的性质可得：
$x+3x=180°$
合并同类项得：$4x=180°$
解得：$x=45°$
因为多边形外角和为$360°$，且每个外角都相等，所以：
$n=360°÷45°=8$
【答案】
(1) 此多边形的边数为 11。
(2) n 的值为 8。
【知识点】
1. 多边形内角和公式
2. 多边形外角和性质
3. 邻补角的性质
【点评】
本题属于多边形的基础应用题，解题核心是熟练掌握多边形内角和公式与外角和的固定值，理清内角与相邻外角的互补关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求多边形边数可直接利用多边形内角和公式列方程求解。首先回忆多边形内角和定理：n边形内角和为$(n-2)×180°$，已知内角和为$1620°$，将其代入公式得到关于边数n的一元一次方程，解方程即可得到边数。
(2) 解题分两步：首先，多边形的内角与相邻外角是邻补角，二者和为$180°$，结合二者度数比$3:1$可先求出单个外角的度数；其次，任意多边形的外角和恒为$360°$，用外角和除以单个外角的度数即可得到边数n。
【解析】
(1) 设此多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=1620°$
方程两边同时除以$180°$得：$n-2=9$
解得：$n=11$
(2) 设多边形的每个外角的度数为$x$，则对应相邻内角的度数为$3x$，由邻补角的性质可得：
$x+3x=180°$
合并同类项得：$4x=180°$
解得：$x=45°$
因为多边形外角和为$360°$，且每个外角都相等，所以：
$n=360°÷45°=8$
【答案】
(1) 此多边形的边数为 11。
(2) n 的值为 8。
【知识点】
1. 多边形内角和公式
2. 多边形外角和性质
3. 邻补角的性质
【点评】
本题属于多边形的基础应用题，解题核心是熟练掌握多边形内角和公式与外角和的固定值，理清内角与相邻外角的互补关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数。
答案
解：
∵由三角形外角的性质，得∠AGH=∠B+∠C，∠FHG=∠D+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠F+∠AGH+∠FHG=180°×(4-2)=360°。
∵由三角形外角的性质，得∠AGH=∠B+∠C，∠FHG=∠D+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠F+∠AGH+∠FHG=180°×(4-2)=360°。
解析
【分析】
遇到多个分散角的求和问题时，可借助三角形外角的性质，将分散的角转化到同一个规则多边形中，再利用多边形内角和公式计算总和。本题可先把∠B+∠C、∠D+∠E分别转化为四边形AGHF的两个内角，这样待求的6个角的和就等价于四边形的内角和，直接套用四边形内角和公式即可得到结果。
【解析】
根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），可得：
$∠ AGH=∠ B+∠ C$，$∠ FHG=∠ D+∠ E$
代入原式得：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=∠ A+∠ F+∠ AGH+∠ FHG$
∵$∠ A$、$∠ F$、$∠ AGH$、$∠ FHG$是四边形AGHF的四个内角，四边形内角和为$180°×(4-2)=360°$
∴$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360°$
【答案】
$\boxed{360°}$
【知识点】
三角形外角的性质；多边形内角和公式
【点评】
本题考查转化思想在角度计算中的应用，将分散的角通过等量代换整合到同一多边形中是解题的核心思路，需要熟练掌握三角形外角性质和多边形内角和公式的应用。
【难度系数】
0.7
遇到多个分散角的求和问题时，可借助三角形外角的性质，将分散的角转化到同一个规则多边形中，再利用多边形内角和公式计算总和。本题可先把∠B+∠C、∠D+∠E分别转化为四边形AGHF的两个内角，这样待求的6个角的和就等价于四边形的内角和，直接套用四边形内角和公式即可得到结果。
【解析】
根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），可得：
$∠ AGH=∠ B+∠ C$，$∠ FHG=∠ D+∠ E$
代入原式得：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=∠ A+∠ F+∠ AGH+∠ FHG$
∵$∠ A$、$∠ F$、$∠ AGH$、$∠ FHG$是四边形AGHF的四个内角，四边形内角和为$180°×(4-2)=360°$
∴$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360°$
【答案】
$\boxed{360°}$
【知识点】
三角形外角的性质；多边形内角和公式
【点评】
本题考查转化思想在角度计算中的应用，将分散的角通过等量代换整合到同一多边形中是解题的核心思路，需要熟练掌握三角形外角性质和多边形内角和公式的应用。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系。
答案
反向延长线
外角和
360°
外角和
360°
解析
【分析】
本题考查多边形外角和相关的基础概念，解题时只需回忆对应课本定义与定理内容逐一填空即可：①首先回忆多边形外角的定义，对应填第一个空；②再回忆多边形外角和的定义，对应填第二个空；③最后回忆多边形外角和定理的内容，填第三个空。
【解析】
1. 第一个空：根据多边形外角的定义，多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角，因此此处填反向延长线；
2. 第二个空：根据多边形外角和的定义，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和，因此此处填外角和；
3. 第三个空：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和都等于360°，因此此处填360°。
【答案】
反向延长线；外角和；360°
【知识点】
多边形外角定义；多边形外角和定义；多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对多边形外角和板块基础概念、定理的记忆掌握情况，是后续运用外角和相关知识解决计算、实际应用类问题的基础，需牢牢掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查多边形外角和相关的基础概念，解题时只需回忆对应课本定义与定理内容逐一填空即可：①首先回忆多边形外角的定义，对应填第一个空；②再回忆多边形外角和的定义，对应填第二个空；③最后回忆多边形外角和定理的内容，填第三个空。
【解析】
1. 第一个空：根据多边形外角的定义，多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角，因此此处填反向延长线；
2. 第二个空：根据多边形外角和的定义，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和，因此此处填外角和；
3. 第三个空：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和都等于360°，因此此处填360°。
【答案】
反向延长线；外角和；360°
【知识点】
多边形外角定义；多边形外角和定义；多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对多边形外角和板块基础概念、定理的记忆掌握情况，是后续运用外角和相关知识解决计算、实际应用类问题的基础，需牢牢掌握。
【难度系数】
0.9
