9. (★)如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE//BC.若∠A=35°,∠C=24°,则∠D的度数是 【 】

A.24°
B.59°
C.60°
D.69°
（第9题）

B

根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠CBD=∠A+∠C=35°+24°=59°。又因为DE//BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠D=∠CBD=59°。

10. (★★)如图，∠A,∠1,∠2的大小关系是
【 】

A.$∠ A＞∠1＞∠2$
B.$∠2＞∠1＞∠ A$
C.$∠ A＞∠2＞∠1$
D.$∠2＞∠ A＞∠1$

B

根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。
1. ∠1是△ADC的外角，因此∠1＞∠A；
2. ∠2是△EDC的外角，因此∠2＞∠1。
综上可得∠2＞∠1＞∠A。

11. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=50°$,点D,E分别在AC,AB上,则$∠1+∠2$的度数为
【 】

A.$130°$
B.$230°$
C.$180°$
D.$310°$

B

在△ADE中，根据三角形内角和定理，∠AED + ∠ADE + ∠A = 180°，已知∠A=50°，可得∠AED + ∠ADE = 180° - 50° = 130°。
由邻补角的性质可知：∠1 = 180° - ∠AED，∠2 = 180° - ∠ADE，因此∠1 + ∠2 = 360° - (∠AED + ∠ADE) = 360° - 130° = 230°。

12. (★★)如图,已知∠A=60°,∠B=30°,∠C=20°,则∠BDC的度数为.

$\boldsymbol{110°}$

解：延长BD，交AC于点E。
∵ ∠BEC是△ABE的外角，
∴ ∠BEC = ∠A + ∠B = 60° + 30° = 90°。
∵ ∠BDC是△CDE的外角，
∴ ∠BDC = ∠BEC + ∠C = 90° + 20° = 110°。

13. (★★)如图,在$△ ABC$中,$D,E$分别在$BC,AB$的延长线上,若$∠ EBD=107°,∠ CAD=26°,∠ D=39°$,求$∠ BAC$的度数.

解：
∵ ∠EBD是△ABD的外角，
∴ ∠EBD = ∠BAD + ∠D，
∴ ∠BAD = ∠EBD - ∠D = 107° - 39° = 68°，
又∵ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD，
∴ ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 68° - 26° = 42°。
答：∠BAC的度数为42°。

14. (★★★)在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，$∠ B=30°$，点D在边AB上，连接CD，若$△ ACD$为直角三角形，则$∠ BCD$的度数为 【 】

A.$60°$
B.$10°$
C.$45°$
D.$10°$或$60°$

D

首先根据三角形内角和定理，在△ABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-30°=100°。
因为△ACD是直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当∠ADC=90°时，在△ACD中，∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-50°-90°=40°，此时∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-40°=60°；
2. 当∠ACD=90°时，此时∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-90°=10°。
综上，∠BCD的度数为10°或60°。

15. (★★★)(1)【初步认识】如图①,在$△ ABC$中,$BP$平分$∠ ABC$,$CP$平分$∠ ACB$.若$∠ A=100°$,则$∠ P$的度数为;如图②,$BM$平分$∠ ABC$,$CM$平分外角$∠ ACD$,则$∠ A$与$∠ M$的数量关系是.
(2)【继续探索】如图③,$BN$平分外角$∠ EBC$,$CN$平分外角$∠ FCB$.请探索$∠ A$与$∠ N$之间的数量关系.
(3)【拓展应用】如图④,$P$是$△ ABC$两内角平分线的交点,$N$是$△ ABC$两外角平分线的交点,请判断$∠ P$和$∠ N$的数量关系,并说明理由.

(1) $\boldsymbol{140°}$；$\boldsymbol{∠A=2∠M}$

解：
(1) 在△ABC中，∠A=100°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 80°，
∵ BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠PBC + ∠PCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = 40°，
∴ ∠P = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 140°；
∵ ∠ACD是△ABC的外角，∴ ∠ACD = ∠A + ∠ABC，
∵ BM平分∠ABC，CM平分∠ACD，
∴ ∠MBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠MCD = $\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵ ∠MCD是△MBC的外角，∴ ∠MCD = ∠M + ∠MBC，
代入得：$\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC) = ∠M + $\frac{1}{2}$∠ABC，
化简得∠A = 2∠M。
(2) ∠N与∠A的数量关系为：$\boldsymbol{∠N = 90° - \frac{1}{2}∠A}$，推导如下：
∵ ∠EBC、∠FCB是△ABC的外角，
∴ ∠EBC = ∠A + ∠ACB，∠FCB = ∠A + ∠ABC，
∴ ∠EBC + ∠FCB = 2∠A + ∠ACB + ∠ABC，
又∵ ∠ACB + ∠ABC = 180° - ∠A，
∴ ∠EBC + ∠FCB = 180° + ∠A，
∵ BN平分∠EBC，CN平分∠FCB，
∴ ∠NBC = $\frac{1}{2}$∠EBC，∠NCB = $\frac{1}{2}$∠FCB，
∴ ∠NBC + ∠NCB = $\frac{1}{2}$(∠EBC + ∠FCB) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A，
在△NBC中，∠N = 180° - (∠NBC + ∠NCB) = 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A。
(3) ∠P和∠N的数量关系为：$\boldsymbol{∠P + ∠N = 180°}$，理由如下：
∵ BP平分∠ABC，BN平分∠EBC，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠EBN = $\frac{1}{2}$∠EBC，
又∵ ∠ABC + ∠EBC = 180°，
∴ ∠PBC + ∠EBN = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠EBC) = 90°，即∠PBN = 90°，
同理可得∠PCN = 90°，
在四边形PBNC中，内角和为360°，
∴ ∠P + ∠N + ∠PBN + ∠PCN = 360°，
代入得∠P + ∠N + 90° + 90° = 360°，
∴ ∠P + ∠N = 180°。