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1. (★)如图,在等边三角形ABC中,D是边BC的中点,则∠BAD的度数为。
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60°，且等边三角形是特殊的等腰三角形，满足等腰三角形的相关性质。已知D是BC的中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD是顶角∠BAC的角平分线，因此∠BAD的度数为∠BAC的一半，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°，AB=AC
又
∵D是边BC的中点
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是基础类几何题，侧重考查特殊三角形的性质应用，熟练掌握等腰三角形三线合一的特点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60°，且等边三角形是特殊的等腰三角形，满足等腰三角形的相关性质。已知D是BC的中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD是顶角∠BAC的角平分线，因此∠BAD的度数为∠BAC的一半，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°，AB=AC
又
∵D是边BC的中点
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是基础类几何题，侧重考查特殊三角形的性质应用，熟练掌握等腰三角形三线合一的特点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. (★)在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边等于.
答案
解：斜边的一半
解析
【分析】
这道题是对含30°锐角的直角三角形特殊性质的直接考察，解题时首先回忆直角三角形的相关特殊结论，若对性质记忆不清晰，可通过构造等边三角形的方法推导：将含30°角的直角三角形沿长直角边翻折，即可得到等边三角形，由此就能推出30°角所对直角边和斜边的数量关系。
【解析】
我们可以通过几何推导验证结论：
1. 设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则30°角∠A所对的直角边为BC，剩余锐角∠B=60°；
2. 将△ABC沿长直角边AC翻折，得到△ADC，由翻折性质可得AB=AD，∠BAD=2∠BAC=60°；
3. 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此△ABD为等边三角形，即AB=BD；
4. 由翻折性质可得BC=CD，即BC=½BD，代入BD=AB，可得BC=½AB，即30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
斜边的一半
【知识点】
含30°角直角三角形的性质、等边三角形的判定、翻折的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对含30°角的直角三角形特殊性质的记忆与理解，该性质是几何中求解边长、证明线段倍分关系的常用基础结论，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
这道题是对含30°锐角的直角三角形特殊性质的直接考察，解题时首先回忆直角三角形的相关特殊结论，若对性质记忆不清晰，可通过构造等边三角形的方法推导：将含30°角的直角三角形沿长直角边翻折，即可得到等边三角形，由此就能推出30°角所对直角边和斜边的数量关系。
【解析】
我们可以通过几何推导验证结论：
1. 设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则30°角∠A所对的直角边为BC，剩余锐角∠B=60°；
2. 将△ABC沿长直角边AC翻折，得到△ADC，由翻折性质可得AB=AD，∠BAD=2∠BAC=60°；
3. 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此△ABD为等边三角形，即AB=BD；
4. 由翻折性质可得BC=CD，即BC=½BD，代入BD=AB，可得BC=½AB，即30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
斜边的一半
【知识点】
含30°角直角三角形的性质、等边三角形的判定、翻折的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对含30°角的直角三角形特殊性质的记忆与理解，该性质是几何中求解边长、证明线段倍分关系的常用基础结论，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
3. (★)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,点D在线段BC上,且$∠ B=30°$,$∠ ADC=60°$,$DC=3$,则BD的长度为.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，结合已知角度条件思考：①先在Rt△ADC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC=30°，再根据直角三角形30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AD的长度；②再利用三角形外角的性质求出∠BAD的度数，可发现∠BAD=∠B，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到BD=AD，从而求出BD的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，
由三角形内角和为$180°$可得：$∠ DAC=180°-90°-60°=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AD=2DC$，
已知$DC=3$，因此$AD=2×3=6$。
∵$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
∴$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，
代入$∠ ADC=60°$，$∠ B=30°$，可得：
$∠ BAD=60°-30°=30°$，
∴$∠ BAD=∠ B$，
根据等角对等边，可得$BD=AD=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
直角三角形30°角性质、三角形外角性质、等腰三角形判定
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是结合角度关系推导边的等量关系，解题的关键是熟练掌握直角三角形和等腰三角形的相关性质，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，结合已知角度条件思考：①先在Rt△ADC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC=30°，再根据直角三角形30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AD的长度；②再利用三角形外角的性质求出∠BAD的度数，可发现∠BAD=∠B，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到BD=AD，从而求出BD的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，
由三角形内角和为$180°$可得：$∠ DAC=180°-90°-60°=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AD=2DC$，
已知$DC=3$，因此$AD=2×3=6$。
∵$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
∴$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，
代入$∠ ADC=60°$，$∠ B=30°$，可得：
$∠ BAD=60°-30°=30°$，
∴$∠ BAD=∠ B$，
根据等角对等边，可得$BD=AD=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
直角三角形30°角性质、三角形外角性质、等腰三角形判定
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是结合角度关系推导边的等量关系，解题的关键是熟练掌握直角三角形和等腰三角形的相关性质，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
4. (★)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$∠ ACB=60°$,$BD⊥ AC$,垂足为$D$.若$CD=2$,则$AD$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
解：
∵ $BD⊥AC$，
∴ $∠ BDC=90°$。
∵ $∠ ACB=60°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC=90°-60°=30°$，
∴ $BC=2CD$。
∵ $CD=2$，
∴ $BC=4$。
又∵ 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ A=90°-60°=30°$，
∴ $AC=2BC=8$，
∴ $AD=AC-CD=8-2=6$。
$\underline{6}$
∵ $BD⊥AC$，
∴ $∠ BDC=90°$。
∵ $∠ ACB=60°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC=90°-60°=30°$，
∴ $BC=2CD$。
∵ $CD=2$，
∴ $BC=4$。
又∵ 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ A=90°-60°=30°$，
∴ $AC=2BC=8$，
∴ $AD=AC-CD=8-2=6$。
$\underline{6}$
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直和60°角条件入手，首先在小直角三角形Rt△BDC中，利用直角三角形两锐角互余求出30°角，再根据30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出BC的长度；接着在大直角三角形Rt△ABC中，同样用直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，再次运用30°直角三角形的性质求出AC的总长，最后用AC减去CD的长度即可得到AD的长。
【解析】
∵ $BD⊥AC$，
∴ $∠ BDC=90°$。
∵ $∠ ACB=60°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC=90°-60°=30°$，
∴ $BC=2CD$。
∵ $CD=2$，
∴ $BC=2×2=4$。
又
∵ 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ A=90°-60°=30°$，
∴ $AC=2BC=2×4=8$，
∴ $AD=AC-CD=8-2=6$。
【答案】
$\underline{6}$
【知识点】
30°直角三角形性质、直角三角形两锐角互余、线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是两次运用30°角直角三角形的性质求解对应边长，解题时要注意找准不同直角三角形中30°角对应的对边、斜边的关系，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的垂直和60°角条件入手，首先在小直角三角形Rt△BDC中，利用直角三角形两锐角互余求出30°角，再根据30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出BC的长度；接着在大直角三角形Rt△ABC中，同样用直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，再次运用30°直角三角形的性质求出AC的总长，最后用AC减去CD的长度即可得到AD的长。
【解析】
∵ $BD⊥AC$，
∴ $∠ BDC=90°$。
∵ $∠ ACB=60°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC=90°-60°=30°$，
∴ $BC=2CD$。
∵ $CD=2$，
∴ $BC=2×2=4$。
又
∵ 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ A=90°-60°=30°$，
∴ $AC=2BC=2×4=8$，
∴ $AD=AC-CD=8-2=6$。
【答案】
$\underline{6}$
【知识点】
30°直角三角形性质、直角三角形两锐角互余、线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是两次运用30°角直角三角形的性质求解对应边长，解题时要注意找准不同直角三角形中30°角对应的对边、斜边的关系，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. (★)如图，$△ ABC$是等边三角形，D是边BC上一点，$DE ⊥ AC$于点E.若$EC=3$，则DC的长为 【 】
A.4
B.5
C.6
D.7
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60°，由此可得∠C=60°。再结合DE⊥AC的条件，可知△DEC是直角三角形，可推出∠EDC=30°，最后利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”这一性质，就能通过已知的EC长度求出DC的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴在Rt△DEC中，∠EDC=90°-∠C=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
DC=2EC，
又
∵EC=3，
∴DC=2×3=6。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将等边三角形的内角性质和特殊直角三角形的边的性质结合考查，难度较低，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60°，由此可得∠C=60°。再结合DE⊥AC的条件，可知△DEC是直角三角形，可推出∠EDC=30°，最后利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”这一性质，就能通过已知的EC长度求出DC的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴在Rt△DEC中，∠EDC=90°-∠C=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
DC=2EC，
又
∵EC=3，
∴DC=2×3=6。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将等边三角形的内角性质和特殊直角三角形的边的性质结合考查，难度较低，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. (★)如图,在等边三角形ABC中,BC=8,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于点E,则BE的长为【】
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质得到三边长度和内角的度数，再结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的定理逐步推导：第一步先根据D是AB中点求出AD的长度；第二步在Rt△ADF中利用30°角的性质求出AF的长度，进而得到FC的长度；第三步在Rt△EFC中利用30°角的性质求出EC的长度，最后通过BC与EC的差计算出BE的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，BC=8，
∴AB=AC=BC=8，∠A=∠C=60°，
∵D是AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=4$，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°-∠A=30°，
∴$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$FC=AC-AF=8-2=6$，
∵EF⊥BC，
∴∠FEC=90°，
在Rt△EFC中，∠EFC=90°-∠C=30°，
∴$EC=\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2}×6=3$，
∴$BE=BC-EC=8-3=5$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是灵活运用特殊三角形的性质求解线段长度，解题时要注意理清各线段之间的和差关系，避免混淆对应边的比例。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等边三角形的性质得到三边长度和内角的度数，再结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的定理逐步推导：第一步先根据D是AB中点求出AD的长度；第二步在Rt△ADF中利用30°角的性质求出AF的长度，进而得到FC的长度；第三步在Rt△EFC中利用30°角的性质求出EC的长度，最后通过BC与EC的差计算出BE的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，BC=8，
∴AB=AC=BC=8，∠A=∠C=60°，
∵D是AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=4$，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在Rt△ADF中，∠ADF=90°-∠A=30°，
∴$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$FC=AC-AF=8-2=6$，
∵EF⊥BC，
∴∠FEC=90°，
在Rt△EFC中，∠EFC=90°-∠C=30°，
∴$EC=\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2}×6=3$，
∴$BE=BC-EC=8-3=5$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是灵活运用特殊三角形的性质求解线段长度，解题时要注意理清各线段之间的和差关系，避免混淆对应边的比例。
【难度系数】
0.7
7. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$DE$垂直平分$AB$,$DE=3$,$∠ B=30°$,则$BC$的长为.
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件DE垂直平分AB入手，首先利用线段垂直平分线的性质得到BD=AD且DE⊥AB；然后在Rt△BDE中，根据直角三角形30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BD的长度；接下来结合等腰三角形等边对等角的性质求出∠DAB的度数，结合△ABC内角和推出AD是∠CAB的角平分线；最后利用角平分线的性质得到CD=DE，将BD和CD相加即可得到BC的长。
【解析】
解：
1.
∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD，∠DEB=90°。
2. 在Rt△BDE中，∠B=30°，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$BD=2DE=2×3=6$。
3.
∵BD=AD，
∴∠DAB=∠B=30°。
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=60°-30°=30°，即AD平分∠CAB。
5.
∵∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，AD为∠CAB的角平分线，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CD=DE=3$。
6.
∴$BC=BD+CD=6+3=9$。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将多个三角形性质定理结合考查，解题的关键是梳理各条件之间的关联，一步步推导边的数量关系，熟练掌握相关性质定理可快速解题。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件DE垂直平分AB入手，首先利用线段垂直平分线的性质得到BD=AD且DE⊥AB；然后在Rt△BDE中，根据直角三角形30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BD的长度；接下来结合等腰三角形等边对等角的性质求出∠DAB的度数，结合△ABC内角和推出AD是∠CAB的角平分线；最后利用角平分线的性质得到CD=DE，将BD和CD相加即可得到BC的长。
【解析】
解：
1.
∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD，∠DEB=90°。
2. 在Rt△BDE中，∠B=30°，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$BD=2DE=2×3=6$。
3.
∵BD=AD，
∴∠DAB=∠B=30°。
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=60°-30°=30°，即AD平分∠CAB。
5.
∵∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，AD为∠CAB的角平分线，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CD=DE=3$。
6.
∴$BC=BD+CD=6+3=9$。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将多个三角形性质定理结合考查，解题的关键是梳理各条件之间的关联，一步步推导边的数量关系，熟练掌握相关性质定理可快速解题。
【难度系数】
0.6
8. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=15°$,$DE$垂直平分$AB$,交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$,$BE=6\ \mathrm{cm}$,则$AC$的长为$\mathrm{cm}$.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件DE垂直平分AB入手，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而得到等腰△ABE，推出∠BAE=∠B=15°；再利用三角形外角的性质求出∠AEC的度数为30°，最后在Rt△AEC中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，
∴AE = BE = 6cm，
∴∠BAE = ∠B = 15°，
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC = ∠B + ∠BAE = 15° + 15° = 30°，
又
∵∠ACB = 90°，即△AEC是直角三角形，
∴在Rt△AEC中，30°角所对的直角边AC等于斜边AE的一半，
∴AC = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{1}{2}$×6 = 3（cm）。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过线段垂直平分线的性质完成等边、等角的转化，得到特殊角度后利用直角三角形的性质计算边长，是等腰三角形和直角三角形性质结合考查的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件DE垂直平分AB入手，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而得到等腰△ABE，推出∠BAE=∠B=15°；再利用三角形外角的性质求出∠AEC的度数为30°，最后在Rt△AEC中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，
∴AE = BE = 6cm，
∴∠BAE = ∠B = 15°，
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC = ∠B + ∠BAE = 15° + 15° = 30°，
又
∵∠ACB = 90°，即△AEC是直角三角形，
∴在Rt△AEC中，30°角所对的直角边AC等于斜边AE的一半，
∴AC = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{1}{2}$×6 = 3（cm）。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过线段垂直平分线的性质完成等边、等角的转化，得到特殊角度后利用直角三角形的性质计算边长，是等腰三角形和直角三角形性质结合考查的典型题型。
【难度系数】
0.7
9. (★★) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, $∠ BAC=120°$, $AB$ 的垂直平分线交底 $BC$ 于点 $D$, 垂足为 $E$.
(1) 求 $∠ BAD$ 的度数;
(2) 若 $DB=2\ \mathrm{cm}$, 求 $BC$ 的长.
(1) 求 $∠ BAD$ 的度数;
(2) 若 $DB=2\ \mathrm{cm}$, 求 $BC$ 的长.
答案
解：
(1) ∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C = $\frac{1}{2}×(180°−∠BAC)$ = $\frac{1}{2}×(180°−120°)=30°$。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，
∴ ∠BAD=∠B=30°。
(2) ∵ ∠BAC=120°，∠BAD=30°，
∴ ∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−30°=90°。
又∵ ∠C=30°，AD=BD=2 cm，
∴ 在Rt△CAD中，CD=2AD=4 cm，
∴ BC=CD+BD=4+2=6 cm。
(1) ∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C = $\frac{1}{2}×(180°−∠BAC)$ = $\frac{1}{2}×(180°−120°)=30°$。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，
∴ ∠BAD=∠B=30°。
(2) ∵ ∠BAC=120°，∠BAD=30°，
∴ ∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−30°=90°。
又∵ ∠C=30°，AD=BD=2 cm，
∴ 在Rt△CAD中，CD=2AD=4 cm，
∴ BC=CD+BD=4+2=6 cm。
解析
【分析】
(1) 求解∠BAD的度数时，首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和，先计算出底角∠B的度数；再结合线段垂直平分线的性质可推出AD=BD，最后利用“等边对等角”即可得到∠BAD与∠B相等。
(2) 求BC的长度时，先通过角度差计算出∠CAD=90°，得到Rt△CAD，再结合∠C=30°，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”算出CD的长度，最后将CD与BD相加即可得到BC的总长度。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C = $\frac{1}{2}×(180°−∠BAC)$ = $\frac{1}{2}×(180°−120°)=30°$。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，
∴ ∠BAD=∠B=30°。
(2)
∵ ∠BAC=120°，∠BAD=30°，
∴ ∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−30°=90°。
又
∵ ∠C=30°，AD=BD=2 cm，
∴ 在Rt△CAD中，CD=2AD=4 cm，
∴ BC=CD+BD=4+2=6 cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$
(2) $\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察等腰三角形、线段垂直平分线、特殊直角三角形的性质应用，解题关键是熟练掌握相关性质，快速完成边、角的等量转化，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠BAD的度数时，首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和，先计算出底角∠B的度数；再结合线段垂直平分线的性质可推出AD=BD，最后利用“等边对等角”即可得到∠BAD与∠B相等。
(2) 求BC的长度时，先通过角度差计算出∠CAD=90°，得到Rt△CAD，再结合∠C=30°，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”算出CD的长度，最后将CD与BD相加即可得到BC的总长度。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C = $\frac{1}{2}×(180°−∠BAC)$ = $\frac{1}{2}×(180°−120°)=30°$。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，
∴ ∠BAD=∠B=30°。
(2)
∵ ∠BAC=120°，∠BAD=30°，
∴ ∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−30°=90°。
又
∵ ∠C=30°，AD=BD=2 cm，
∴ 在Rt△CAD中，CD=2AD=4 cm，
∴ BC=CD+BD=4+2=6 cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$
(2) $\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察等腰三角形、线段垂直平分线、特殊直角三角形的性质应用，解题关键是熟练掌握相关性质，快速完成边、角的等量转化，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
