10. (★)如图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离,在学校附近选一点C,利用测量仪器测得∠A = 60°, ∠C = 90°,AC=3 km.据此,可求得学校A与工厂B之间的距离AB等于km.

$\boldsymbol{6}$

【分析】
首先观察△ABC，已知∠C=90°，可知△ABC是直角三角形。先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A=60°，计算出∠B的度数为30°；再利用直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，已知30°角对的直角边AC的长度，即可求出斜边AB的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A=60°，
∴∠B = 180° - ∠C - ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC = $\frac{1}{2}$AB，
∵AC=3 km，
∴AB = 2AC = 2×3 = 6（km）。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
直角三角形30°角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题的关键是先求出30°的内角，再结合对应性质求解斜边长度，熟练掌握直角三角形的特殊角相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

11. (★★)如图是一个高铁站入口双翼闸机的示意图,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm,双翼的边缘AC=BD=62 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°,当双翼收起时,可以通过闸机的物体最大宽度为.

70 cm

【分析】
要计算双翼收起时可通过闸机的物体最大宽度，本质是求两个闸机箱之间的水平总距离。我们可以通过构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质，分别求出双翼AC、BD在水平方向的投影长度，再加上端点A、B之间的距离，即可得到总宽度。
【解析】
分别过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F。
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=30°，AC=62cm，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×62 = 31\mathrm{cm}$，
同理可得，$BF = 31\mathrm{cm}$。
已知A、B之间的距离为8cm，因此可通过闸机的最大宽度为：
$AE + AB + BF = 31 + 8 + 31 = 70\mathrm{cm}$。
【答案】
70 cm
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中常见的闸机场景命题，考查了直角三角形相关性质的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为几何计算问题，通过作辅助线构造符合条件的直角三角形即可求解，侧重考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7

12. (★★)如图，$△ ABC$是等边三角形，点D在边AC上，点E在AB的延长线上，若$ED⊥ AC$交BC于点P，且$AD=4$，$BP=2$，则PC的长为。

$\boldsymbol{4}$

【分析】
首先根据等边三角形的性质可得三个内角均为60°、三边相等，结合ED⊥AC的条件，在Rt△ADE中可求出∠E=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出AE的长度；再通过角度推导得出△BPE为等腰三角形，得到BE=BP，进而求出等边三角形的边长，最后用BC的长度减去BP的长度即可得到PC的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC
∵ED⊥AC，
∴∠ADE=90°
在Rt△ADE中，∠E=90°-∠A=90°-60°=30°
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE=2AD
∵AD=4，
∴AE=2×4=8
∵∠ABC是△BEP的外角，
∴∠ABC=∠E+∠BPE
代入数据得：60°=30°+∠BPE，解得∠BPE=30°
∴∠E=∠BPE，根据等角对等边可得BE=BP
∵BP=2，
∴BE=2
∵AE=AB+BE，
∴AB=AE-BE=8-2=6
∴BC=AB=6
∴PC=BC-BP=6-2=4
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过角度关系推导得到边的等量关系，既考查了基础性质的识记，也考查了逻辑推导能力，掌握特殊三角形的角、边性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6

13. (★★)如图,已知$∠ AOB=60°$,点$P$在边$OA$上,$OP=8\ \mathrm{cm}$,点$M,N$在边$OB$上,$PM=PN$,若$MN=2\ \mathrm{cm}$,则$OM=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

$\boldsymbol{3}$

【分析】
首先观察到PM=PN，可联想到等腰三角形三线合一的性质，因此先过点P作OB的垂线，即可得到MN的中点，求出MN一半的长度；再结合∠AOB=60°，在构造出的直角三角形中，利用含30°角的直角三角形的性质求出O到垂足的线段长度，最后用该线段长度减去MN长度的一半，即可得到OM的长度。
【解析】
过点P作$PC⊥ OB$，垂足为C。
1. 因为$PM=PN$，$PC⊥ MN$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$MC=NC=\frac{1}{2}MN$。
已知$MN=2\ \mathrm{cm}$，所以$MC=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，$∠ O=60°$，所以$∠ OPC=90°-60°=30°$。
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$OC=\frac{1}{2}OP$。
已知$OP=8\ \mathrm{cm}$，所以$OC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
3. 因此$OM=OC-MC=4-1=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
等腰三角形性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过作垂线构造等腰三角形和特殊直角三角形，利用常见几何性质转化线段关系，是等腰三角形章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

14. (★★) 如图，在△ABC中，AB=12 cm，AC=10 cm，∠A=60°，点P从点B出发以每秒2 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。设运动时间为t s，当△APQ为直角三角形时，t的值为。

解：由题意得，BP=2t cm，AQ=t cm，
∴ AP = AB - BP = (12 - 2t) cm，
由动点运动限制可知：2t ≤12，t ≤10，即0 ≤ t ≤6。
已知∠A=60°，△APQ为直角三角形分两种情况：
① 当∠AQP=90°时，∠APQ=90°-∠A=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AQ = $\frac{1}{2}$AP，
即 $t = \frac{1}{2}(12 - 2t)$，
解得 $t=3$；
② 当∠APQ=90°时，∠AQP=90°-∠A=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AP = $\frac{1}{2}$AQ，
即 $12 - 2t = \frac{1}{2}t$，
解得 $t=\frac{24}{5}$。
综上，t的值为$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$。

【分析】
解题时首先根据点P、Q的运动速度和时间t，分别表示出BP、AQ、AP的长度，再结合动点的运动限制确定t的取值范围。已知∠A=60°，△APQ为直角三角形时，直角顶点只能是P或Q（∠A为60°不可能是直角），因此分两种情况讨论：①∠AQP=90°；②∠APQ=90°，再利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质列方程求解，最后检验解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
解：由题意得，BP=2t cm，AQ=t cm，
∴ AP = AB - BP = (12 - 2t) cm，
由动点运动限制可知：2t ≤12且t ≤10，解得0 ≤ t ≤6。
已知∠A=60°，△APQ为直角三角形分两种情况：
① 当∠AQP=90°时，∠APQ=90°-∠A=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AQ = $\frac{1}{2}$AP，
即 $t = \frac{1}{2}(12 - 2t)$，
解得 $t=3$，符合0≤t≤6的范围；
② 当∠APQ=90°时，∠AQP=90°-∠A=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AP = $\frac{1}{2}$AQ，
即 $12 - 2t = \frac{1}{2}t$，
解得 $t=\frac{24}{5}$，符合0≤t≤6的范围。
综上，t的值为3或$\frac{24}{5}$。
【答案】
$3$或$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$
【知识点】
动点问题计算，含30°角直角三角形性质，分类讨论
【点评】
本题是动点与直角三角形结合的常见题型，解题的关键是根据直角顶点的不同合理分类讨论，列方程求解后要注意验证解是否符合动点的实际运动范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

15. (★★)如图,灯塔C在海岛A的北偏东75°方向,某天上午8时,一条船从海岛A出发,以15 n mile/h的速度由西向东方向航行,10时整到达B处,此时,测得灯塔C在B处的北偏东60°方向.
(1)求B处到灯塔C的距离.
(2)已知在以灯塔C为中心,周围16 n mile的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险?请说明理由.

解：
(1) 由题意得，$AB = 15 × (10-8) = 30\ \mathrm{n mile}$。
根据方向角的定义：
$∠ CAB = 90° - 75° = 15°$，
$∠ CBD = 90° - 60° = 30°$。
因为$∠ CBD$是$△ ABC$的外角，
所以$∠ ACB = ∠ CBD - ∠ CAB = 30° - 15° = 15°$。
因此$∠ ACB = ∠ CAB$，
可得$BC = AB = 30\ \mathrm{n mile}$。
即B处到灯塔C的距离为$30\ \mathrm{n mile}$。
(2) 该船继续由西向东航行，有触礁的危险，理由如下：
过点$C$作$CD ⊥ AE$，垂足为$D$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CBD = 30°$，
所以$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 30 = 15\ \mathrm{n mile}$。
因为$15 ＜ 16$，
所以该船继续由西向东航行，有触礁的危险。

【分析】
(1) 要求B处到灯塔C的距离即BC的长，首先根据船的航行速度和时间先算出AB的长度；接下来结合方向角的定义分别求出∠CAB和∠CBD的度数，再利用三角形外角的性质推导∠ACB的度数，发现∠ACB=∠CAB，根据等角对等边即可得到BC=AB，求出BC的长度。
(2) 要判断船继续向东航行是否有触礁危险，本质是求灯塔C到航线AE的最短距离，根据点到直线的距离中垂线段最短，过C作CD⊥AE于D，求出CD的长度再与16n mile比较即可；在Rt△BCD中，已知∠CBD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可直接求出CD的长度，再比较大小得出结论。
【解析】
(1) 由题意得，船的航行时间为$10-8=2\ \mathrm{h}$，所以$AB = 15 × 2 = 30\ \mathrm{n mile}$。
根据方向角的定义：
$∠ CAB = 90° - 75° = 15°$，
$∠ CBD = 90° - 60° = 30°$。
因为$∠ CBD$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，
所以$∠ ACB = ∠ CBD - ∠ CAB = 30° - 15° = 15°$。
因此$∠ ACB = ∠ CAB$，根据等角对等边，
可得$BC = AB = 30\ \mathrm{n mile}$。
(2) 该船继续由西向东航行有触礁的危险，理由如下：
过点$C$作$CD ⊥ AE$，垂足为$D$，CD即为C到航线AE的最短距离。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CBD = 30°$，根据含30°角的直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
所以$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 30 = 15\ \mathrm{n mile}$。
因为$15 ＜ 16$，说明最短距离小于暗礁范围半径，
所以该船继续由西向东航行，有触礁的危险。
【答案】
(1) B处到灯塔C的距离为$30\ \mathrm{n mile}$；
(2) 该船继续由西向东航行有触礁的危险。
【知识点】
方向角的应用；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的综合应用，解题核心是将方向角准确转化为三角形的内角，灵活运用等腰三角形和特殊直角三角形的性质求解，可有效提升学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7