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1. (★)如图,在等边三角形ABC中,D是边BC的中点,则∠BAD的度数为。
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC = 60°，AB = AC。
∵ D是边BC的中点，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线互相重合），
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×60° = 30°$。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC = 60°，AB = AC。
∵ D是边BC的中点，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线互相重合），
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×60° = 30°$。
2. (★)在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边等于.
答案
解：斜边的一半
3. (★)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,点D在线段BC上,且$∠ B=30°$,$∠ ADC=60°$,$DC=3$,则BD的长度为.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
在$Rt△ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，
$\therefore ∠ DAC = 90° - 60° = 30°$，
$\therefore AD = 2DC = 2×3 = 6$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$，
又$\because ∠ B=30°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ ADC - ∠ B = 60° - 30° = 30°$，
$\therefore ∠ B = ∠ BAD$，
$\therefore BD = AD = 6$。
在$Rt△ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，
$\therefore ∠ DAC = 90° - 60° = 30°$，
$\therefore AD = 2DC = 2×3 = 6$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$，
又$\because ∠ B=30°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ ADC - ∠ B = 60° - 30° = 30°$，
$\therefore ∠ B = ∠ BAD$，
$\therefore BD = AD = 6$。
4. (★)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$∠ ACB=60°$,$BD⊥ AC$,垂足为$D$.若$CD=2$,则$AD$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
解：
∵ $BD⊥AC$，
∴ $∠ BDC=90°$。
∵ $∠ ACB=60°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC=90°-60°=30°$，
∴ $BC=2CD$。
∵ $CD=2$，
∴ $BC=4$。
又∵ 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ A=90°-60°=30°$，
∴ $AC=2BC=8$，
∴ $AD=AC-CD=8-2=6$。
$\underline{6}$
∵ $BD⊥AC$，
∴ $∠ BDC=90°$。
∵ $∠ ACB=60°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC=90°-60°=30°$，
∴ $BC=2CD$。
∵ $CD=2$，
∴ $BC=4$。
又∵ 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=60°$，
∴ $∠ A=90°-60°=30°$，
∴ $AC=2BC=8$，
∴ $AD=AC-CD=8-2=6$。
$\underline{6}$
5. (★)如图，$△ ABC$是等边三角形，D是边BC上一点，$DE ⊥ AC$于点E.若$EC=3$，则DC的长为 【 】
A.4
B.5
C.6
D.7
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
C
解析
∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°。
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，在Rt△DEC中，∠CDE=90°-∠C=30°。
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得DC=2EC。
∵EC=3，∴DC=2×3=6。
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，在Rt△DEC中，∠CDE=90°-∠C=30°。
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得DC=2EC。
∵EC=3，∴DC=2×3=6。
6. (★)如图,在等边三角形ABC中,BC=8,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于点E,则BE的长为【】
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=8，∠A=∠C=60°。
∵D是AB中点，∴AD=½AB=4。
∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，在Rt△ADF中，∠A=60°，则∠ADF=30°，∴AF=½AD=2，
∴FC=AC-AF=8-2=6。
∵EF⊥BC，∴∠FEC=90°，在Rt△FEC中，∠C=60°，则∠CFE=30°，∴EC=½FC=3，
∴BE=BC-EC=8-3=5。
∵D是AB中点，∴AD=½AB=4。
∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，在Rt△ADF中，∠A=60°，则∠ADF=30°，∴AF=½AD=2，
∴FC=AC-AF=8-2=6。
∵EF⊥BC，∴∠FEC=90°，在Rt△FEC中，∠C=60°，则∠CFE=30°，∴EC=½FC=3，
∴BE=BC-EC=8-3=5。
7. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$DE$垂直平分$AB$,$DE=3$,$∠ B=30°$,则$BC$的长为.
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
解：
∵ DE垂直平分AB，
∴ AD=BD，DE⊥AB，
∴ ∠DEA=∠DEB=90°。
在Rt△BDE中，∠B=30°，DE=3，
∴ BD=2DE=6。
∵ AD=BD，
∴ ∠DAE=∠B=30°。
∵ 在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴ ∠BAC=90°-∠B=60°，
∴ ∠DAC=∠BAC - ∠DAE=60°-30°=30°，
即AD平分∠BAC。
又∵ DE⊥AB，DC⊥AC，
∴ DC=DE=3。
∴ BC=BD+DC=6+3=9。
∵ DE垂直平分AB，
∴ AD=BD，DE⊥AB，
∴ ∠DEA=∠DEB=90°。
在Rt△BDE中，∠B=30°，DE=3，
∴ BD=2DE=6。
∵ AD=BD，
∴ ∠DAE=∠B=30°。
∵ 在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴ ∠BAC=90°-∠B=60°，
∴ ∠DAC=∠BAC - ∠DAE=60°-30°=30°，
即AD平分∠BAC。
又∵ DE⊥AB，DC⊥AC，
∴ DC=DE=3。
∴ BC=BD+DC=6+3=9。
8. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=15°$,$DE$垂直平分$AB$,交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$,$BE=6\ \mathrm{cm}$,则$AC$的长为$\mathrm{cm}$.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
解：
连接AE，
∵ DE垂直平分AB，
∴ AE = BE = 6 cm，
∴ ∠EAB = ∠B = 15°，
∴ ∠AEC = ∠EAB + ∠B = 30°，
又∵ ∠ACB = 90°，
∴ 在Rt△ACE中，$AC=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
连接AE，
∵ DE垂直平分AB，
∴ AE = BE = 6 cm，
∴ ∠EAB = ∠B = 15°，
∴ ∠AEC = ∠EAB + ∠B = 30°，
又∵ ∠ACB = 90°，
∴ 在Rt△ACE中，$AC=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
9. (★★) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, $∠ BAC=120°$, $AB$ 的垂直平分线交底 $BC$ 于点 $D$, 垂足为 $E$.
(1) 求 $∠ BAD$ 的度数;
(2) 若 $DB=2\ \mathrm{cm}$, 求 $BC$ 的长.
(1) 求 $∠ BAD$ 的度数;
(2) 若 $DB=2\ \mathrm{cm}$, 求 $BC$ 的长.
答案
解：
(1) ∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C = $\frac{1}{2}×(180°−∠BAC)$ = $\frac{1}{2}×(180°−120°)=30°$。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，
∴ ∠BAD=∠B=30°。
(2) ∵ ∠BAC=120°，∠BAD=30°，
∴ ∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−30°=90°。
又∵ ∠C=30°，AD=BD=2 cm，
∴ 在Rt△CAD中，CD=2AD=4 cm，
∴ BC=CD+BD=4+2=6 cm。
(1) ∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C = $\frac{1}{2}×(180°−∠BAC)$ = $\frac{1}{2}×(180°−120°)=30°$。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AD=BD，
∴ ∠BAD=∠B=30°。
(2) ∵ ∠BAC=120°，∠BAD=30°，
∴ ∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−30°=90°。
又∵ ∠C=30°，AD=BD=2 cm，
∴ 在Rt△CAD中，CD=2AD=4 cm，
∴ BC=CD+BD=4+2=6 cm。
