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14. (★★)一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100 n mile到达C地，则A,C两地相距
【 】
A.100 n mile
B.80 n mile
C.60 n mile
D.40 n mile
【 】
A.100 n mile
B.80 n mile
C.60 n mile
D.40 n mile
答案
A
解析
【分析】
解题时先结合方位角的定义，利用两条正北方向线互相平行的特点，计算出∠ABC的度数；再结合已知AB=BC=100n mile的条件，判断△ABC的形状，进而求出AC的长度。
【解析】
由题意可知：AB=BC=100 n mile，
∵A、B两地的正北方向互相平行，结合方位角的度数可得：
∠ABC=40°+20°=60°，
又
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AC=AB=100 n mile。
【答案】
A
【知识点】
方位角的应用，等边三角形的判定
【点评】
本题将方位角和三角形知识结合考查，解题关键是准确求出夹角∠ABC的度数，再结合等边三角形的判定即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
解题时先结合方位角的定义，利用两条正北方向线互相平行的特点，计算出∠ABC的度数；再结合已知AB=BC=100n mile的条件，判断△ABC的形状，进而求出AC的长度。
【解析】
由题意可知：AB=BC=100 n mile，
∵A、B两地的正北方向互相平行，结合方位角的度数可得：
∠ABC=40°+20°=60°，
又
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AC=AB=100 n mile。
【答案】
A
【知识点】
方位角的应用，等边三角形的判定
【点评】
本题将方位角和三角形知识结合考查，解题关键是准确求出夹角∠ABC的度数，再结合等边三角形的判定即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
15. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AF为边BC上的中线,D为AF上的一点,且BD的垂直平分线过点C交BD于点E. 求证:$△ BCD$是等边三角形.
答案
证明：
∵ $AB=AC$，$AF$为边$BC$上的中线，
∴ $AF$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一的性质）。
∵ 点$D$在$AF$上，
∴ $DB=DC$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又∵ $CE$是$BD$的垂直平分线，点$C$在$CE$上，
∴ $CB=CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴ $DB=DC=CB$，
∴ $△ BCD$是等边三角形。
∵ $AB=AC$，$AF$为边$BC$上的中线，
∴ $AF$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一的性质）。
∵ 点$D$在$AF$上，
∴ $DB=DC$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又∵ $CE$是$BD$的垂直平分线，点$C$在$CE$上，
∴ $CB=CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴ $DB=DC=CB$，
∴ $△ BCD$是等边三角形。
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：首先由AB=AC、AF是BC的中线，结合等腰三角形三线合一的性质，可推出AF垂直平分BC；点D在AF上，根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC；再结合CE是BD的垂直平分线，点C在CE上，再次利用线段垂直平分线的性质可得CB=CD；由此推出△BCD三边相等，即可判定其为等边三角形。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$AF$为边$BC$上的中线，
∴ $AF$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一的性质）。
∵ 点$D$在$AF$上，
∴ $DB=DC$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又
∵ $CE$是$BD$的垂直平分线，点$C$在$CE$上，
∴ $CB=CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴ $DB=DC=CB$，
∴ $△ BCD$是等边三角形。
【答案】
∵ $AB=AC$，$AF$为边$BC$上的中线，
∴ $AF$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一的性质）。
∵ 点$D$在$AF$上，
∴ $DB=DC$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又
∵ $CE$是$BD$的垂直平分线，点$C$在$CE$上，
∴ $CB=CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴ $DB=DC=CB$，
∴ $△ BCD$是等边三角形。
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是灵活运用等腰三角形性质和线段垂直平分线的性质，推导得到三角形三边相等的关系，能够帮助学生巩固基础几何定理，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件逐步推导：首先由AB=AC、AF是BC的中线，结合等腰三角形三线合一的性质，可推出AF垂直平分BC；点D在AF上，根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC；再结合CE是BD的垂直平分线，点C在CE上，再次利用线段垂直平分线的性质可得CB=CD；由此推出△BCD三边相等，即可判定其为等边三角形。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$AF$为边$BC$上的中线，
∴ $AF$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一的性质）。
∵ 点$D$在$AF$上，
∴ $DB=DC$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又
∵ $CE$是$BD$的垂直平分线，点$C$在$CE$上，
∴ $CB=CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴ $DB=DC=CB$，
∴ $△ BCD$是等边三角形。
【答案】
∵ $AB=AC$，$AF$为边$BC$上的中线，
∴ $AF$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一的性质）。
∵ 点$D$在$AF$上，
∴ $DB=DC$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又
∵ $CE$是$BD$的垂直平分线，点$C$在$CE$上，
∴ $CB=CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴ $DB=DC=CB$，
∴ $△ BCD$是等边三角形。
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是灵活运用等腰三角形性质和线段垂直平分线的性质，推导得到三角形三边相等的关系，能够帮助学生巩固基础几何定理，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
16. (★★★)如图，O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB = 110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究:当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
(1)求证:△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究:当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
答案
解：
(1) 证明：
∵ △BOC≌△ADC，
∴ OC = DC，∠BCO = ∠ACD。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB = 60°，即∠BCO + ∠OCA = 60°，
∴ ∠OCD = ∠OCA + ∠ACD = ∠OCA + ∠BCO = ∠ACB = 60°。
又∵ OC = DC，
∴ △OCD是等边三角形。
(2) △AOD是直角三角形，理由如下：
∵ △BOC≌△ADC，
∴ ∠ADC = ∠BOC = 150°。
由(1)知△OCD是等边三角形，
∴ ∠ODC = 60°，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 150° - 60° = 90°，
∴ △AOD是直角三角形。
(3) 由周角的定义得：
∠AOC = 360° - ∠AOB - ∠BOC = 360° - 110° - α = 250° - α。
∵ △OCD是等边三角形，
∴ ∠COD = ∠ODC = 60°，
∴ ∠AOD = ∠AOC - ∠COD = (250° - α) - 60° = 190° - α。
∵ △BOC≌△ADC，
∴ ∠ADC = ∠BOC = α，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = α - 60°。
在△AOD中，由三角形内角和为180°得：
∠OAD = 180° - ∠AOD - ∠ADO = 180° - (190° - α) - (α - 60°) = 50°。
△AOD为等腰三角形分三种情况：
① 若AO = AD，则∠AOD = ∠ADO，
即190° - α = α - 60°，
解得α = 125°；
② 若AO = OD，则∠OAD = ∠ADO，
即50° = α - 60°，
解得α = 110°；
③ 若AD = OD，则∠OAD = ∠AOD，
即50° = 190° - α，
解得α = 140°。
综上，当α为110°、125°或140°时，△AOD是等腰三角形。
(1) 证明：
∵ △BOC≌△ADC，
∴ OC = DC，∠BCO = ∠ACD。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB = 60°，即∠BCO + ∠OCA = 60°，
∴ ∠OCD = ∠OCA + ∠ACD = ∠OCA + ∠BCO = ∠ACB = 60°。
又∵ OC = DC，
∴ △OCD是等边三角形。
(2) △AOD是直角三角形，理由如下：
∵ △BOC≌△ADC，
∴ ∠ADC = ∠BOC = 150°。
由(1)知△OCD是等边三角形，
∴ ∠ODC = 60°，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 150° - 60° = 90°，
∴ △AOD是直角三角形。
(3) 由周角的定义得：
∠AOC = 360° - ∠AOB - ∠BOC = 360° - 110° - α = 250° - α。
∵ △OCD是等边三角形，
∴ ∠COD = ∠ODC = 60°，
∴ ∠AOD = ∠AOC - ∠COD = (250° - α) - 60° = 190° - α。
∵ △BOC≌△ADC，
∴ ∠ADC = ∠BOC = α，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = α - 60°。
在△AOD中，由三角形内角和为180°得：
∠OAD = 180° - ∠AOD - ∠ADO = 180° - (190° - α) - (α - 60°) = 50°。
△AOD为等腰三角形分三种情况：
① 若AO = AD，则∠AOD = ∠ADO，
即190° - α = α - 60°，
解得α = 125°；
② 若AO = OD，则∠OAD = ∠ADO，
即50° = α - 60°，
解得α = 110°；
③ 若AD = OD，则∠OAD = ∠AOD，
即50° = 190° - α，
解得α = 140°。
综上，当α为110°、125°或140°时，△AOD是等腰三角形。
解析
【分析】
(1) 要证明△OCD是等边三角形，可利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理：首先由△BOC≌△ADC得到OC=DC，确定△OCD是等腰三角形，再结合等边△ABC的内角为60°，通过角的等量代换推出∠OCD=60°即可完成证明。
(2) 判断△AOD的形状，先根据全等三角形对应角相等得∠ADC=∠BOC=150°，再结合(1)的结论得到等边△OCD的内角∠ODC=60°，计算∠ADO的度数，若为90°即可判定△AOD是直角三角形。
(3) 探究△AOD为等腰三角形时α的度数，首先用含α的代数式表示出△AOD的三个内角，再分AO=AD、AO=OD、AD=OD三种情况，根据等腰三角形“等边对等角”的性质列方程求解，即可得到所有符合条件的α值。
【解析】
(1) 证明：
∵ △BOC≌△ADC，
∴ OC = DC，∠BCO = ∠ACD。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB = 60°，即∠BCO + ∠OCA = 60°，
∴ ∠OCD = ∠OCA + ∠ACD = ∠OCA + ∠BCO = ∠ACB = 60°。
又
∵ OC = DC，
∴ △OCD是等边三角形。
(2) △AOD是直角三角形，理由如下：
∵ △BOC≌△ADC，
∴ ∠ADC = ∠BOC = 150°。
由(1)知△OCD是等边三角形，
∴ ∠ODC = 60°，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 150° - 60° = 90°，
∴ △AOD是直角三角形。
(3) 由周角的定义得：
∠AOC = 360° - ∠AOB - ∠BOC = 360° - 110° - α = 250° - α。
∵ △OCD是等边三角形，
∴ ∠COD = ∠ODC = 60°，
∴ ∠AOD = ∠AOC - ∠COD = (250° - α) - 60° = 190° - α。
∵ △BOC≌△ADC，
∴ ∠ADC = ∠BOC = α，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = α - 60°。
在△AOD中，由三角形内角和为180°得：
∠OAD = 180° - ∠AOD - ∠ADO = 180° - (190° - α) - (α - 60°) = 50°。
△AOD为等腰三角形分三种情况：
① 若AO = AD，则∠AOD = ∠ADO，
即190° - α = α - 60°，
解得α = 125°；
② 若AO = OD，则∠OAD = ∠ADO，
即50° = α - 60°，
解得α = 110°；
③ 若AD = OD，则∠OAD = ∠AOD，
即50° = 190° - α，
解得α = 140°。
综上，当α为110°、125°或140°时，△AOD是等腰三角形。
【答案】
(1) △OCD是等边三角形，证明成立；
(2) △AOD是直角三角形；
(3) α的度数为110°、125°或140°。
【知识点】
全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形综合应用类题目，融合了全等、等边、等腰三角形的核心性质，第三问的分类讨论是解题难点，需注意不要遗漏等腰三角形的三种情况，解题过程中要熟练运用角的等量代换技巧。
【难度系数】
0.4
(1) 要证明△OCD是等边三角形，可利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理：首先由△BOC≌△ADC得到OC=DC，确定△OCD是等腰三角形，再结合等边△ABC的内角为60°，通过角的等量代换推出∠OCD=60°即可完成证明。
(2) 判断△AOD的形状，先根据全等三角形对应角相等得∠ADC=∠BOC=150°，再结合(1)的结论得到等边△OCD的内角∠ODC=60°，计算∠ADO的度数，若为90°即可判定△AOD是直角三角形。
(3) 探究△AOD为等腰三角形时α的度数，首先用含α的代数式表示出△AOD的三个内角，再分AO=AD、AO=OD、AD=OD三种情况，根据等腰三角形“等边对等角”的性质列方程求解，即可得到所有符合条件的α值。
【解析】
(1) 证明：
∵ △BOC≌△ADC，
∴ OC = DC，∠BCO = ∠ACD。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB = 60°，即∠BCO + ∠OCA = 60°，
∴ ∠OCD = ∠OCA + ∠ACD = ∠OCA + ∠BCO = ∠ACB = 60°。
又
∵ OC = DC，
∴ △OCD是等边三角形。
(2) △AOD是直角三角形，理由如下：
∵ △BOC≌△ADC，
∴ ∠ADC = ∠BOC = 150°。
由(1)知△OCD是等边三角形，
∴ ∠ODC = 60°，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 150° - 60° = 90°，
∴ △AOD是直角三角形。
(3) 由周角的定义得：
∠AOC = 360° - ∠AOB - ∠BOC = 360° - 110° - α = 250° - α。
∵ △OCD是等边三角形，
∴ ∠COD = ∠ODC = 60°，
∴ ∠AOD = ∠AOC - ∠COD = (250° - α) - 60° = 190° - α。
∵ △BOC≌△ADC，
∴ ∠ADC = ∠BOC = α，
∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = α - 60°。
在△AOD中，由三角形内角和为180°得：
∠OAD = 180° - ∠AOD - ∠ADO = 180° - (190° - α) - (α - 60°) = 50°。
△AOD为等腰三角形分三种情况：
① 若AO = AD，则∠AOD = ∠ADO，
即190° - α = α - 60°，
解得α = 125°；
② 若AO = OD，则∠OAD = ∠ADO，
即50° = α - 60°，
解得α = 110°；
③ 若AD = OD，则∠OAD = ∠AOD，
即50° = 190° - α，
解得α = 140°。
综上，当α为110°、125°或140°时，△AOD是等腰三角形。
【答案】
(1) △OCD是等边三角形，证明成立；
(2) △AOD是直角三角形；
(3) α的度数为110°、125°或140°。
【知识点】
全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形综合应用类题目，融合了全等、等边、等腰三角形的核心性质，第三问的分类讨论是解题难点，需注意不要遗漏等腰三角形的三种情况，解题过程中要熟练运用角的等量代换技巧。
【难度系数】
0.4
17.(★★★)已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)如图①,当E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE (填“＞”“＜”或“=”)DB.
(2)如图②,当E为边AB上任意一点时,请判断线段AE与DB的大小关系,并说明理由.(提示:过点E作EF//BC,交AC于点F)
(3)如图③,在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为3,AE=6,求线段CD的长.
(1)如图①,当E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE (填“＞”“＜”或“=”)DB.
(2)如图②,当E为边AB上任意一点时,请判断线段AE与DB的大小关系,并说明理由.(提示:过点E作EF//BC,交AC于点F)
(3)如图③,在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为3,AE=6,求线段CD的长.
答案
(1)
$AE \boldsymbol{=} DB$
---
(2)
解：$AE=DB$，理由如下：
过点$E$作$EF// BC$，交$AC$于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF$，且$BE=CF$。
$\because ED=EC$，
$\therefore ∠ D=∠ ECD$。
$\because ∠ D+∠ DEB=∠ ABC=60°$，$∠ ECD+∠ ECF=∠ ACB=60°$，
$\therefore ∠ DEB=∠ ECF$。
在$△ EBD$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ DEB=∠ ECF \\∠ EBD=∠ CFE=120° \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=EF$，
又$\because AE=EF$，
$\therefore AE=BD$。
---
(3)
解：过点$E$作$EF// BC$，交$CA$的延长线于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF=6$。
$\therefore ∠ EBD=180°-∠ ABC=120°$，$∠ EFC=180°-∠ AFE=120°$，
$\therefore ∠ EBD=∠ EFC$。
$\because ED=EC$，
$\therefore ∠ D=∠ ECD$。
在$△ EBD$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ ECF \\∠ EBD=∠ CFE \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=EF=6$。
$\because CD=BD+BC$，$BC=3$，
$\therefore CD=6+3=9$。
答：线段$CD$的长为$9$。
$AE \boldsymbol{=} DB$
---
(2)
解：$AE=DB$，理由如下：
过点$E$作$EF// BC$，交$AC$于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF$，且$BE=CF$。
$\because ED=EC$，
$\therefore ∠ D=∠ ECD$。
$\because ∠ D+∠ DEB=∠ ABC=60°$，$∠ ECD+∠ ECF=∠ ACB=60°$，
$\therefore ∠ DEB=∠ ECF$。
在$△ EBD$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ DEB=∠ ECF \\∠ EBD=∠ CFE=120° \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=EF$，
又$\because AE=EF$，
$\therefore AE=BD$。
---
(3)
解：过点$E$作$EF// BC$，交$CA$的延长线于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF=6$。
$\therefore ∠ EBD=180°-∠ ABC=120°$，$∠ EFC=180°-∠ AFE=120°$，
$\therefore ∠ EBD=∠ EFC$。
$\because ED=EC$，
$\therefore ∠ D=∠ ECD$。
在$△ EBD$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ ECF \\∠ EBD=∠ CFE \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=EF=6$。
$\because CD=BD+BC$，$BC=3$，
$\therefore CD=6+3=9$。
答：线段$CD$的长为$9$。
解析
【分析】
(1) 当E为AB中点时，先利用等边三角形三线合一的性质得到∠ECB=30°，结合ED=EC推出∠D=30°，再根据三角形外角性质推导∠DEB=30°，可得DB=BE，结合AE=BE即可得到AE与DB的大小关系。
(2) 按照提示作EF//BC，先利用平行线性质和等边三角形的判定得到△AEF为等边三角形，推出AE=EF，再结合ED=EC的等腰三角形底角相等的性质推导对应角相等，证明△EBD≌△CFE，得到BD=EF，等量代换即可得到AE与DB的关系。
(3) 类比第(2)问的解题方法，过E作EF//BC交CA的延长线于F，先证△AEF是等边三角形得EF=AE=6，再证明△EBD≌△CFE得到BD=EF=6，最后结合CD=BD+BC代入边长计算即可得到结果。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，E为AB中点，
∴CE平分∠ACB，AE=BE，∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠ECB=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB=60°，
∴∠DEB=30°=∠D，
∴DB=BE，
又
∵AE=BE，
∴AE=DB。
(2) 解：$AE=DB$，理由如下：
过点$E$作$EF// BC$，交$AC$于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF$，$AB-AE=AC-AF$即$BE=CF$。
$\because ED=EC$，
$\therefore ∠ D=∠ ECD$。
$\because ∠ D+∠ DEB=∠ ABC=60°$，$∠ ECD+∠ ECF=∠ ACB=60°$，
$\therefore ∠ DEB=∠ ECF$。
$\because ∠ EBD=180°-∠ ABC=120°$，$∠ CFE=180°-∠ AFE=120°$，
$\therefore ∠EBD=∠CFE$
在$△ EBD$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ DEB=∠ ECF \\∠ EBD=∠ CFE \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=EF$，
又$\because AE=EF$，
$\therefore AE=BD$。
(3) 解：过点$E$作$EF// BC$，交$CA$的延长线于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$，$BC=3$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF=6$。
$\therefore ∠ EBD=180°-∠ ABC=120°$，$∠ EFC=180°-∠ AFE=120°$，
$\therefore ∠ EBD=∠ EFC$。
$\because ED=EC$，
$\therefore ∠ D=∠ ECD$。
在$△ EBD$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ ECF \\∠ EBD=∠ CFE \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=EF=6$。
$\because CD=BD+BC$，
$\therefore CD=6+3=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{=}$；
(2) $AE=DB$；
(3) 线段$CD$的长为$\boldsymbol{9}$。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用题，通过作平行线构造等边三角形转化线段关系是解题的核心思路，三个小问由特殊到一般、由点在线段上到点在延长线上层层递进，既考察了基础几何性质的应用，也锻炼了类比推理和逻辑论证的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 当E为AB中点时，先利用等边三角形三线合一的性质得到∠ECB=30°，结合ED=EC推出∠D=30°，再根据三角形外角性质推导∠DEB=30°，可得DB=BE，结合AE=BE即可得到AE与DB的大小关系。
(2) 按照提示作EF//BC，先利用平行线性质和等边三角形的判定得到△AEF为等边三角形，推出AE=EF，再结合ED=EC的等腰三角形底角相等的性质推导对应角相等，证明△EBD≌△CFE，得到BD=EF，等量代换即可得到AE与DB的关系。
(3) 类比第(2)问的解题方法，过E作EF//BC交CA的延长线于F，先证△AEF是等边三角形得EF=AE=6，再证明△EBD≌△CFE得到BD=EF=6，最后结合CD=BD+BC代入边长计算即可得到结果。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，E为AB中点，
∴CE平分∠ACB，AE=BE，∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠ECB=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB=60°，
∴∠DEB=30°=∠D，
∴DB=BE，
又
∵AE=BE，
∴AE=DB。
(2) 解：$AE=DB$，理由如下：
过点$E$作$EF// BC$，交$AC$于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF$，$AB-AE=AC-AF$即$BE=CF$。
$\because ED=EC$，
$\therefore ∠ D=∠ ECD$。
$\because ∠ D+∠ DEB=∠ ABC=60°$，$∠ ECD+∠ ECF=∠ ACB=60°$，
$\therefore ∠ DEB=∠ ECF$。
$\because ∠ EBD=180°-∠ ABC=120°$，$∠ CFE=180°-∠ AFE=120°$，
$\therefore ∠EBD=∠CFE$
在$△ EBD$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ DEB=∠ ECF \\∠ EBD=∠ CFE \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=EF$，
又$\because AE=EF$，
$\therefore AE=BD$。
(3) 解：过点$E$作$EF// BC$，交$CA$的延长线于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$，$BC=3$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF=6$。
$\therefore ∠ EBD=180°-∠ ABC=120°$，$∠ EFC=180°-∠ AFE=120°$，
$\therefore ∠ EBD=∠ EFC$。
$\because ED=EC$，
$\therefore ∠ D=∠ ECD$。
在$△ EBD$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ ECF \\∠ EBD=∠ CFE \\ED=EC\end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=EF=6$。
$\because CD=BD+BC$，
$\therefore CD=6+3=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{=}$；
(2) $AE=DB$；
(3) 线段$CD$的长为$\boldsymbol{9}$。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用题，通过作平行线构造等边三角形转化线段关系是解题的核心思路，三个小问由特殊到一般、由点在线段上到点在延长线上层层递进，既考察了基础几何性质的应用，也锻炼了类比推理和逻辑论证的能力。
【难度系数】
0.6
