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8. (★★)在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别是$a,b,c$，且满足$(a-b)^2 + |b - c| = 0$，则$△ ABC$是三角形。
答案
等边
解析
解：
∵ $(a-b)^2 ≥ 0$，$|b-c| ≥ 0$，且 $(a-b)^2 + |b-c| = 0$，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，
即 $a=b$，$b=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ $△ ABC$ 是等边三角形。
∵ $(a-b)^2 ≥ 0$，$|b-c| ≥ 0$，且 $(a-b)^2 + |b-c| = 0$，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，
即 $a=b$，$b=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ $△ ABC$ 是等边三角形。
9. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为边AB的中点,$DE ⊥ AC$于点E,$DF ⊥ BC$于点F,$DE=DF$.求证:$△ ABC$是等边三角形.
答案
证明：
∵ D为AB的中点，
∴ AD = BD。
∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ ∠DEA = ∠DFB = 90°。
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
$\{\begin{array}{l}AD = BD \\DE = DF\end{array} $
∴ Rt△ADE ≌ Rt△BDF（HL）。
∴ ∠A = ∠B。
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∴ ∠A = ∠B = ∠C。
∴ AB = BC = AC。
∴ △ABC是等边三角形。
∵ D为AB的中点，
∴ AD = BD。
∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ ∠DEA = ∠DFB = 90°。
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
$\{\begin{array}{l}AD = BD \\DE = DF\end{array} $
∴ Rt△ADE ≌ Rt△BDF（HL）。
∴ ∠A = ∠B。
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∴ ∠A = ∠B = ∠C。
∴ AB = BC = AC。
∴ △ABC是等边三角形。
10. (★) 如图,在等边三角形ABC中, BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF的度数是【 】
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
答案
B
解析
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDC=90°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵BF=BD，
∴△BDF是等腰三角形，∠BDF=∠BFD，
∴∠BDF=$\frac{1}{2}$×(180°-∠DBC)=$\frac{1}{2}$×(180°-30°)=75°，
∴∠CDF=∠BDC - ∠BDF=90°-75°=15°。
∴∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDC=90°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵BF=BD，
∴△BDF是等腰三角形，∠BDF=∠BFD，
∴∠BDF=$\frac{1}{2}$×(180°-∠DBC)=$\frac{1}{2}$×(180°-30°)=75°，
∴∠CDF=∠BDC - ∠BDF=90°-75°=15°。
11. (★★)一个等边三角形、一个直角三角形和一个锐角三角形如图放置,已知∠3=70°,则∠1+∠2的度数为 【 】
A.$135°$
B.$138°$
C.$140°$
D.$150°$
A.$135°$
B.$138°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
C
解析
等边三角形的内角均为60°，直角三角形的直角为90°。根据平角的定义与三角形内角和性质，可得：
(∠1 + 60°) + (∠2 + 90°) + (∠3 + 60°) = 180°×3
代入∠3=70°，整理得：∠1+∠2+280°=420°，因此∠1+∠2=140°。
(∠1 + 60°) + (∠2 + 90°) + (∠3 + 60°) = 180°×3
代入∠3=70°，整理得：∠1+∠2+280°=420°，因此∠1+∠2=140°。
12. (★★)如图，C为线段AE上一动点(不与点A,E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，有以下五个结论：
①$AD=BE$；②$PQ// AE$；③$AP=BQ$；④$DE=DP$；
⑤$OC$平分$∠ AOE$. 其中一定成立的结论有(填序号).
①$AD=BE$；②$PQ// AE$；③$AP=BQ$；④$DE=DP$；
⑤$OC$平分$∠ AOE$. 其中一定成立的结论有(填序号).
答案
$\boldsymbol{①②③⑤}$
解析
解：
∵ △ABC和△CDE都是等边三角形，
∴ AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴ ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\DC=EC\end{array} $
∴ △ACD≌△BCE(SAS)，
∴ AD=BE，∠CAD=∠CBE，结论①成立。
在△ACP和△BCQ中，
$\{\begin{array}{l}∠CAP=∠CBQ \\AC=BC \\∠ACP=∠BCQ=60°\end{array} $
∴ △ACP≌△BCQ(ASA)，
∴ AP=BQ，PC=QC，结论③成立。
∵ PC=QC，∠PCQ=60°，
∴ △PCQ是等边三角形，
∴ ∠PQC=60°=∠DCE，
∴ PQ//AE，结论②成立。
∵ ∠DPC=∠PAC+∠ACP＞60°，∠CDP＜60°，
∴ DP≠DC，又DE=DC，
∴ DE≠DP，结论④不成立。
过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵ △ACD≌△BCE，
∴ $S_{△ ACD}=S_{△ BCE}$，又AD=BE，
∴ CM=CN，
又CM⊥OA，CN⊥OE，
∴ 点C在∠AOE的平分线上，即OC平分∠AOE，结论⑤成立。
综上，一定成立的结论是①②③⑤。
∵ △ABC和△CDE都是等边三角形，
∴ AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴ ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\DC=EC\end{array} $
∴ △ACD≌△BCE(SAS)，
∴ AD=BE，∠CAD=∠CBE，结论①成立。
在△ACP和△BCQ中，
$\{\begin{array}{l}∠CAP=∠CBQ \\AC=BC \\∠ACP=∠BCQ=60°\end{array} $
∴ △ACP≌△BCQ(ASA)，
∴ AP=BQ，PC=QC，结论③成立。
∵ PC=QC，∠PCQ=60°，
∴ △PCQ是等边三角形，
∴ ∠PQC=60°=∠DCE，
∴ PQ//AE，结论②成立。
∵ ∠DPC=∠PAC+∠ACP＞60°，∠CDP＜60°，
∴ DP≠DC，又DE=DC，
∴ DE≠DP，结论④不成立。
过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵ △ACD≌△BCE，
∴ $S_{△ ACD}=S_{△ BCE}$，又AD=BE，
∴ CM=CN，
又CM⊥OA，CN⊥OE，
∴ 点C在∠AOE的平分线上，即OC平分∠AOE，结论⑤成立。
综上，一定成立的结论是①②③⑤。
13. (★★) 如图, 在$△ ABC$中, $AB = AC$, $∠ BAC=100°$, 以$AC$为边, 在$△ ABC$的外部作等边三角形$ACD$, $E$是$AC$的中点, 连接$DE$并延长交$BC$于点$F$. 求$∠ DFC$的度数.
答案
解：
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴ ∠B=∠ACB = $\frac{1}{2}×(180°−∠BAC) = \frac{1}{2}×80° = 40°$。
∵ △ACD是等边三角形，
∴ AD=CD，∠ADC=60°。
∵ E是AC的中点，
∴ DE⊥AC（等边三角形底边上的中线与底边上的高重合），即∠FEC=90°。
在△EFC中，∠EFC + ∠FEC + ∠ECF = 180°，
∵ ∠ECF=∠ACB=40°，
∴ ∠EFC=180°−90°−40°=50°，
即∠DFC=50°。
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴ ∠B=∠ACB = $\frac{1}{2}×(180°−∠BAC) = \frac{1}{2}×80° = 40°$。
∵ △ACD是等边三角形，
∴ AD=CD，∠ADC=60°。
∵ E是AC的中点，
∴ DE⊥AC（等边三角形底边上的中线与底边上的高重合），即∠FEC=90°。
在△EFC中，∠EFC + ∠FEC + ∠ECF = 180°，
∵ ∠ECF=∠ACB=40°，
∴ ∠EFC=180°−90°−40°=50°，
即∠DFC=50°。
