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1. (★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=130°$,$DA ⊥ AC$,则$∠ ADB$的度数为 【 】
A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
答案
B
解析
∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴△ABC为等腰三角形，∠C=(180°-130°)÷2=25°，
∵DA⊥AC，∴∠DAC=90°，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°+25°=115°
∴△ABC为等腰三角形，∠C=(180°-130°)÷2=25°，
∵DA⊥AC，∴∠DAC=90°，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°+25°=115°
2. (★)(1)等边三角形的三个角都，并且每一个角都等于。
(2)三个角都相等的三角形是。
(3)有一个角是$60°$的是等边三角形。
(2)三个角都相等的三角形是。
(3)有一个角是$60°$的是等边三角形。
答案
解：
(1) 相等；$60°$
(2) 等边三角形
(3) 等腰三角形
(1) 相等；$60°$
(2) 等边三角形
(3) 等腰三角形
3. (★) 如图, 直线$l// m$,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若$∠ ABE=21°$,则$∠ ACD$的度数是
【 】
A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
【 】
A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
答案
B
解析
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°。∵l//m，根据两直线平行，同旁内角互补，得∠EBC + ∠BCD = 180°。∵∠EBC = ∠ABE + ∠ABC = 21° + 60° = 81°，∴∠BCD = 180° - 81° = 99°。又∵∠BCD = ∠ACB + ∠ACD，∴∠ACD = 99° - 60° = 39°。
4. (★)在$△ ABC$中，$AB=AC$，添加下列条件不能判定$△ ABC$是等边三角形的是【 】
A.$∠ A=60°$
B.$AC=BC$
C.$∠ B$的外角等于$∠ C$的外角
D.$AB$边上的高也是$AB$边上的中线
A.$∠ A=60°$
B.$AC=BC$
C.$∠ B$的外角等于$∠ C$的外角
D.$AB$边上的高也是$AB$边上的中线
答案
C
解析
已知△ABC中AB=AC，△ABC为等腰三角形，逐一分析选项：
1. 选项A：根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，∠A=60°可判定△ABC是等边三角形。
2. 选项B：由AC=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，三边相等可判定△ABC是等边三角形。
3. 选项C：∠B的外角等于∠C的外角，可推出180°-∠B=180°-∠C，即∠B=∠C，这是原本AB=AC的等腰三角形就具备的性质，无法推出三个角都为60°或三边相等，不能判定△ABC是等边三角形。
4. 选项D：AB边上的高也是AB边上的中线，由线段垂直平分线的性质可得AC=BC，结合AB=AC得AB=AC=BC，可判定△ABC是等边三角形。
1. 选项A：根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，∠A=60°可判定△ABC是等边三角形。
2. 选项B：由AC=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，三边相等可判定△ABC是等边三角形。
3. 选项C：∠B的外角等于∠C的外角，可推出180°-∠B=180°-∠C，即∠B=∠C，这是原本AB=AC的等腰三角形就具备的性质，无法推出三个角都为60°或三边相等，不能判定△ABC是等边三角形。
4. 选项D：AB边上的高也是AB边上的中线，由线段垂直平分线的性质可得AC=BC，结合AB=AC得AB=AC=BC，可判定△ABC是等边三角形。
5. (★)如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB的长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数为
【 】
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
【 】
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
C
解析
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。
∵BD是AC边上的中线，由等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，可得∠DBC=½∠ABC=30°。
由作图可知DB=DE，∴△DBE为等腰三角形，∠DEC=∠DBC=30°。
∵BD是AC边上的中线，由等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，可得∠DBC=½∠ABC=30°。
由作图可知DB=DE，∴△DBE为等腰三角形，∠DEC=∠DBC=30°。
6. (★)如图,直线$m// n$, $△ ABC$是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若$∠ 1=140°$,则$∠ 2$的度数是
【 】
A.$80°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$140°$
【 】
A.$80°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$140°$
答案
B
解析
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°。
∵∠1=140°，∴∠AFE=180°-∠1=40°。
在△AEF中，∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-60°-40°=80°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=100°。
又∵m//n，∴∠2=∠BEF=100°。
∵∠1=140°，∴∠AFE=180°-∠1=40°。
在△AEF中，∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-60°-40°=80°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=100°。
又∵m//n，∴∠2=∠BEF=100°。
7. (★★)如图,在等边三角形ABC中, $BE ⊥ AC$,垂足为E,延长BC到点D,使$CD=CE$,$AB=10$ cm.
(1)求BD的长;
(2)求证:$△ BDE$是等腰三角形.
(1)求BD的长;
(2)求证:$△ BDE$是等腰三角形.
答案
解：
(1) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC = AC = AB = 10 cm，∠ACB = 60°。
∵ BE⊥AC，由等边三角形三线合一可得E为AC中点，
∴ CE = $\frac{1}{2}$AC = 5 cm。
又∵ CD = CE，
∴ CD = 5 cm。
∴ BD = BC + CD = 10 + 5 = 15 cm。
(2) 证明：∵ CD = CE，
∴ ∠D = ∠CED。
∵ ∠ACB是△CDE的外角，
∴ ∠ACB = ∠D + ∠CED = 2∠D。
∵ ∠ACB = 60°，
∴ 2∠D = 60°，解得∠D = 30°。
∵ △ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴ BE平分∠ABC，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°$ = 30°。
∴ ∠EBC = ∠D，
∴ BE = DE，
∴ △BDE是等腰三角形。
(1) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC = AC = AB = 10 cm，∠ACB = 60°。
∵ BE⊥AC，由等边三角形三线合一可得E为AC中点，
∴ CE = $\frac{1}{2}$AC = 5 cm。
又∵ CD = CE，
∴ CD = 5 cm。
∴ BD = BC + CD = 10 + 5 = 15 cm。
(2) 证明：∵ CD = CE，
∴ ∠D = ∠CED。
∵ ∠ACB是△CDE的外角，
∴ ∠ACB = ∠D + ∠CED = 2∠D。
∵ ∠ACB = 60°，
∴ 2∠D = 60°，解得∠D = 30°。
∵ △ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴ BE平分∠ABC，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°$ = 30°。
∴ ∠EBC = ∠D，
∴ BE = DE，
∴ △BDE是等腰三角形。
